Progresiones aritméticas y geométricas

República Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Educación
Liceo Bolivariano “Juan Lovera”
Macarao-Caracas
Cátedra De Matemática
Progresiones aritméticas y
geométricas
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada
término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada
diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que
ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del
primero de los términos, a1.
an = a1 + (n - 1) d.
Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse
como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los
reales R.
Progresiones geométricas
Es otra forma común de progresiones,y se definen como aquellas en las que cada
término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce
como razón.
El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:
an = a1 × rn-1
Términos y ecuaciones para:
Progresiones aritméticas
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a
veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de
los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:
donde a1 es el primer término y an el último.
Demostrémoslo.
Sea una progresión aritmética de término general an y de diferencia d:
aplicando la propiedad conmutativa de la suma:
Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad
asociativa de la suma:
pero según IV, y según VI sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis
tienen el mismo valor que a1 + an, de manera que:
(VII)
Ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus
términos extremos, y el número total de aquéllos. La utilidad de (VII) se comprende mejor
cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión. Por
ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos de 5? El resultado es inmediato:
a1 = 5
an = 500.000
n = 100.000
Sn = 100.000
Sn = 2,500025 · 1010
más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.
Así también, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:
lo que también se conoce como número triangular.
Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Gauss cuando su
profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros
números y calculó el resultado de inmediato: 5050.
Esto se puede explicar más detalladamente:
S = 1 + 2 + 3 + ... + (n-2) + (n-1) + n
S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1 (por la propiedad conmutativa de la suma se
pueden expresar los sumandos en este orden)2S = (n+1) + (n+1) + (n+1) + ... +
(n+1) + (n+1) + (n+1) (hay n sumandos)
2S = n(n+1)
S = n(n+1)/2
En el caso del problema de Gauss, n vale 100 y S = 100·101/2 = 5050.
Progresiones geométricas
Si
son los términos de una progresión geométrica con razón
entonces se cumple la regla recursiva
La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier
término por su inmediato anterior:
Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la
razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en
de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo:
Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2
ya que
Dado que a_0=3, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo: