Matemáticas Financieras

Matemáticas Financieras
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Sesión No. 2
Nombre: Fundamentos Matemáticos
Contextualización
En el área de las inversiones, algunos fundamentos matemáticos son una parte
muy importante, ya que los intereses suelen tener comportamientos que llevan
un patrón a través del tiempo y es ahí donde las progresiones, tanto aritméticas
como geométricas, son la clave para su cálculo.
El conocer el comportamiento futuro de una inversión o deuda adquirida, en la
que se generen intereses, nos permitirá tomar la mejor decisión ante una gama
de planes al cerrar un trato.
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Introducción al Tema
¿Cuál es la aplicación de las progresiones en el área financiera?
Una progresión es una sucesión de números reales ordenados, donde el valor
de un término depende del anterior (excepto el primer término) y de la suma o
producto de una cantidad.
En las progresiones aritméticas esa cantidad se suma o resta y en el caso de las
progresiones geométricas se multiplica.
Su aplicación en las matemáticas financieras nos permite estudiar el
comportamiento del capital en operaciones principalmente bancarias o bursátiles.
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Explicación
Progresiones
¿Qué son las progresiones y qué se obtiene de ellas?
Una progresión o sucesión es un conjunto ordenado de números reales, donde
cada uno es llamado término.
a1, a2, a3, a4, … an
El término general de una sucesión es una expresión algebraica con la cual se
calcula el valor de un término dependiendo del lugar que ocupa. Ejemplo:
1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .
Observamos que cada término es el cuadrado del lugar que ocupa, por lo tanto
el término general es a n = n2, donde n es el lugar que ocupa y si queremos
conocer el valor del término número 15 aplicamos:
a 15 = 152 = 225
Progresiones aritméticas
A partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos
sumando una cantidad fija d, llamada diferencia, al anterior. Ejemplo:
6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, . . .
Donde d = 4, ya que es la diferencia entre un término y el anterior.
Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅
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Si queremos calcular el valor del 5° y 27° términos de la progresión anterior:
A 5 = 6 + (5 – 1 ) 4 = 22
A 27 = 6 + (27 – 1 ) 4 = 110
Otra fórmula muy útil para las matemáticas financieras que nos permite calcular
la suma de los n primeros términos es:
𝑺𝒏 =
𝒏
(𝒂 + 𝒂𝒏 )
𝟐 𝟏
Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, y dado que ya
tenemos calculados los términos a 5 y a 27 , calcularemos la suma de los primeros
5 y 27 términos.
S 5 = 5/2 (6 + 22) = 70
S 27 = 27/2 (6 + 110) = 1 566
Progresiones geométricas
A partir del segundo término, podemos conocer el valor de cualquiera de ellos
multiplicando una cantidad fija r, llamada razón, al anterior. Ejemplo:
4, 12, 36, 108, 324, 972, . . .
Donde r = 3, ya que si multiplicamos cualquier término por 3 obtenemos el
siguiente.
Para calcular el valor de algún término en particular aplicamos la fórmula:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 𝒓𝒏−𝟏
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Si queremos calcular el valor del 6° y 18° términos de la progresión anterior:
a 6 = 4 ( 36-1) = 972
a 18 = 4 ( 318-1) = 516 560 652
Otra fórmula muy útil para las matemáticas financieras que nos permite calcular
la suma de los n primeros términos es:
𝒂𝟏 (𝟏 − 𝒓𝒏 )
𝑺𝒏 =
𝟏−𝒓
Tomando nuevamente como ejemplo la progresión anterior, calcularemos la
suma de los primeros 6 y 18 términos.
S 6 = 4 (1 – 36) / (1 – 3) = 1 456
S 18 = 4 (1 – 318) / (1 – 3) = 258 280 423
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Conclusión
Las progresiones aritméticas son sucesiones de números reales en la que cada
término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior llamada
diferencia.
Las progresiones geométricas son sucesiones de números reales donde cada
término se puede calcular multiplicando el anterior por un valor fijo que se
conoce como razón.
A partir de fórmulas se puede calcular el valor de un término o la suma de los
primeros n términos, conociendo el valor del primero y la diferencia o razón
dependiendo del tipo de progresión que se trate.
Como pudiste revisar durante esta sesión, los fundamentos matemáticos son
herramientas que serán de gran utilidad en aplicaciones más complejas como el
que abordaremos en la siguiente sesión.
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Para saber más
•
Ávalos, M. (2003). Matemáticas Financieras. México: ECAFSA.
•
Tan, S. T. (2005). Matemáticas para administración y economía. México:
Thomson.
•
Ayón, María Concepción. Sucesiones y series.
http://www.unidad094.upn.mx/revista/54/03.html
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Actividad de aprendizaje
Instrucciones:
Con la finalidad de reforzar los conocimientos adquiridos a lo largo de esta
sesión, deberás realizar correctamente los siguientes ejercicios donde aplicarás
los conocimientos y habilidades obtenidos.
Recuerda que esta actividad te ayudará a entender y apropiarte del
conocimiento de los fundamentos matemáticos, los cuales te facilitarán la
aplicación de reglas financieras más complejas.
En esta actividad se tomará en cuenta lo siguiente:
•
Tus datos generales
•
Referencias bibliográficas
•
Ortografía y redacción
•
Título
•
Respuestas completas y correctas
Desarrollo:
1. Completa la siguiente sucesión si se sabe que el término general es:
a n = 3n2
3, 24, ______, 192, 375, ________, 1029, _________, 2187, 3000
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2. Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente
progresión:
-12, -7, -2, 3, 8, 13, . . .
a 11=
a 22=
a 30=
a 45=
3. Obtén la suma de valores de los primeros 15 términos de la sucesión del
punto anterior.
S 15=
4. Calcula el valor de los términos solicitados de acuerdo a la siguiente
progresión:
5, 30, 180, 1080, . . .
a 5=
a 7=
a 10=
5. Obtén la suma de valores de los primeros 10 términos de la sucesión del
punto anterior.
S 10=
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Referencias
•
Díaz,
de:
Juan
M.
(s.f.)
Progresiones.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-
01.html
•
Obtenido
Vidaurri, M. (2004). Matemáticas Financieras. México: Thomson.
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