Semana 7 - Universidad Técnica Federico Santa María

Coordinación de Matemática II (MAT022)
Primer semestre de 2013
Semana 7: Lunes 29 de Abril – Viernes 03 de Mayo
CÁLCULO
Contenidos
• Clase 1: Técnicas de Integración: Fracciones Parciales.
• Clase 2: Sustituciones trigonométricas. Sustitución z=tg(x/2).
CLASE 1
1.1 Integración por fracciones parciales
El cociente de dos polinomios se denomina función racional. La derivación de una función racional conduce a una nueva
función racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integración de una
función racional puede conducirnos a funciones que no son racionales por ejemplo:
Z
Z
dx
dx
= ln |x | + C y
= arctan (x ) + C
x
1+x2
ahora daremos un método para calcular la integral de una función racional cualquiera y se verá que el resultado puede
expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arcotangentes y logaritmos.
La idea del método es descomponer la función racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de
técnicas ya conocidas (de debe realizar la descomposición en fracciones parciales de la función racional considerada).
Supongamos entonces que
f (x )
es
g (x )
una función racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda
f (x )
R (x )
= Q (x ) +
g (x )
g (x )
donde Q es un polinomio (el cociente de la división) y R (x ) es el resto de la división (note que el grado del resto es menor
que el del divisor g (x )), de esta forma toda función racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una
función racional propia.
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Departamento de Matemática
Del curso de complementos de MAT021 sabemos que toda función racional propia se puede descomponer en suma
de fracciones de la forma
A
(1)
k
↵x +
y
Bx + C
(2)
m
ax2 +bx + c
donde k , m 2 N, a ,b, c , A, B,C , ↵,
son constates y
b2
4a c < 0
en (2) lo que nos dice que es una cuadrática sin raíces reales.
Luego el calculo de la integral de una función racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a cálculo de integrales de la forma
Z
Ad x
↵x +
y
Z
k
(Bx + C ) d x
ax2 +bx + c
m
aprenderemos a calcular este tipo de integrales.
Ejemplo 1.1. Consideremos la integral
Z
(5x + 3) d x
x 2 + 2x 3
La función racional
5x + 3
x 2 + 2x
3
es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones
parciales, para ello necesitamos conocer las raíces reales del denominador, como
x 2 + 2x
se sigue que
3 = (x + 3) (x
5x + 3
x 2 + 2x
3
=
1)
5x + 3
(x + 3) (x 1)
luego por el método de las fracciones parciales, existen constantes A y B tales que
5x + 3
A
B
=
+
x 2 + 2x 3 x + 3 x 1
para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados
de la expresión por el denominador
5x + 3 = A (x 1) + B (x + 3)
evaluando la igualdad en x = 1 obtenemos
evaluando la igualdad en x = 3 se obtiene
8 = A · 0 + 4B =) B = 2
15 + 3 = A ( 4) + B · 0 =) A = 3
se sigue
MAT022 (Cálculo)
5x + 3
3
2
=
+
x 2 + 2x 3 x + 3 x 1
2
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luego
Z ✓
Z ✓
◆
5x + 3
dx
x 2 + 2x 3
◆
3
2
+
dx
x +3 x 1
Z
Z
dx
dx
3
+2
x +3
x 1
=
=
3 ln |x + 3| + 2 ln |x
=
1| + C
el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas raíces reales
como el grado del polinomio y todas las raíces distintas.
Ejercicios propuestos
1. Calcular
Z
x
1 (x
x2
2. Calcular
Z
Z
dx
2x + 1
dx
1) (2x + 5)
(3x
3. Calcular
2)
2x 2 + x 1
2x 3 + x 2 5x + 2
Veamos ahora que pasa si la raíces se repiten:
Ejemplo 1.2. Calcular
Z
x 2 + 2x + 3 d x
1) (x + 1)2
(x
notemos que es una función racional propia, luego podemos efectuar directamente la descomposición en fracciones
parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego
x 2 + 2x + 3
(x
1) (x + 1)2
desarrollando encontramos
=
A
x
3
A = ,B =
2
1
+
B
C
+
x + 1 (x + 1)2
1
yC = 1
2
se sigue
Z
MAT022 (Cálculo)
x 2 + 2x + 3 d x
Z
1) (x + 1)2
Z
dx
1
dx
x 1 2 x +1
(x
=
3
2
=
3
ln |x
2
1|
Z
dx
(x + 1)2
1
1
ln |x + 1| +
+C
2
x +1
3
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Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo
Z
Ad x
k
↵x +
para k = 1 la integral es
Z
Ad x
A
= ln ↵x +
↵x +
↵
+C
para k > 1 podemos efectuar un cambio de variables u = ↵x + eso implica d u = ↵d x de donde
Z
Z
Ad x
du
A u ( k +1)
=
A
=
+C
k
↵ ( k + 1)
↵u k
↵x +
( k +1)
A ↵x +
( k + 1)
↵
=
Ejemplo 1.3. Calcular
Z
+C
3d x
(2x
1)3
Desarrollo: Podemos hacer la sustitución u = 2x 1 =) d u = 2d x se sigue
Z
Z
Z
3d x
du
3
= 3
=
u
2u 3 2
(2x 1)3
=
=
=
Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo
Z
3 u 3+1
+C
2 3+1
3 2
u +C
4
3
1)2
4 (2x
(Bx + C ) d x
ax2 +bx + c
con b 2
3
du
+C
m
4a c < 0.
Ejemplo 1.4. Calcular
Z
xdx
x 2 + 2x
note que en este caso, es denominador no posee raíces reales
+2
=4
8= 4<0y
x
x 2 + 2x + 2
ya es una fracción parcial (no tenemos que aplicar la técnica de descomposición), para calcular este tipo de integrales
intentamos llevarla a una de la forma
Z
dv
v2 +1
que sabemos calcular (arctan v ) completemos cuadrados en el denominador,
x
x 2 + 2x
MAT022 (Cálculo)
+2
=
x
(x + 1)2 + 1
4
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luego
Z
Z
xdx
2
(x + 1) + 1
=
xdx
x 2 + 2x
+2
si hacemos el cambio de variable
u = x + 1 =) d u = d x
luego
Z
Z
xdx
(u 1) d u
u2 +1
Z
Z
udu
du
2
u +1
u2 +1
=
2
(x + 1) + 1
=
note que la primera es calculable por una simple sustitución v = u 2 + 1 (esto es general para las integrales del tipo
Z
xdx
x 2 + ↵2
m
las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v = x 2 + ↵2 =) d2v = x d x ) y la segunda es conocida,
luego
Z
Z
udu
du
1
= ln u 2 + 1 arctan (u ) + C
u2 +1
u2 +1 2
volvemos a la variable original
Z
xdx
2
(x + 1) + 1
Toda integral de la forma
=
1
ln (x + 1)2 + 1
2
Z
arctan (x + 1) + C
(Bx + C ) d x
ax2 +bx + c
la podemos escribir como
Z
m
Z
Bx d x
m
ax2 +bx + c
dx
+C
ax2 +bx + c
m
pero
Z
Bx d x
ax2 +bx
Z
B
2a
=
=
de esta forma
Z
(Bx + C ) d x
ax2 +bx + c
la integral
B
2a
m
Z
=
+c
(2a x + b
ax2 +bx
m
b)d x
+c
m
(2a x + b ) d x
ax2 +bx + c
B
2a
Z
m
(2a x + b ) d x
ax2 +bx + c
Z
Bb
2a
m
Z
✓
+ C
(2a x + b ) d x
ax2 +bx + c
dx
ax2 +bx + c
Bb
2a
◆Z
m
dx
ax2 +bx + c
m
m
se puede calcular mediante la sustitución u = a x 2 +b x +c =) d u = (2a x + b ) d x , por lo que no presenta mayor dificultad.
MAT022 (Cálculo)
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El problema ahora, es calcular integrales del tipo
Z
dx
m
ax2 +bx + c
completemos cuadrado de binomio
2
ax +bx + c
=
=
note que b 2
b 2 > 0 obtenemos
Z
dx
4a c < 0 =) 4a c
ax2 +bx
+c
✓
◆
b
b2
b2
2
a x +2 x +
+c
2a
4a 2
4a
✓
◆2
b
4a c b 2
a x+
+
2a
4a
Z
m
dx
⇣ Ä
⌘m
ä
b 2
c b2
a x + 2a
+ 4a 4a
Z
1
dx
⇣Ä
⌘m
ä
m
2
2
a
x+ b
+ 4a c b
=
=
4a 2
2a
hagamos el cambio de variables
b
x+
=
2a
entonces
r
dx =
r
4a c b 2
v
4a 2
4a c b 2
dv
4a 2
se sigue
1
am
Z
dx
⇣Ä
⌘m
ä
b 2
c b2
x + 2a
+ 4a4a
2
=
1
am
∆
Z
ÄÄ 4a c
∆
=
b2
4a 2
4a c b 2
4a 2
ä
b2 m
1
Ä
a m 4a c
4a 2
ä
Z
4a c b 2
dv
4a 2
v2 +
Ä 4a c
b2
4a 2
ääm
dv
v2 +1
m
de donde obtenemos que el cálculo de las integrales de la forma
Z
dx
ax2 +bx + c
puede ser reducido al cálculo de integrales de la forma
Z
m
dv
m
v2 +1
y estas pueden ser enfrentadas por sustituciones trigonométricas o integración por partes.
Ejemplo 1.5. Calcular
Z
dx
2
x2 +1
Desarrollo: Pongamos x = tan u ) d x = sec2 u d u entonces
Z
Z
Z
dx
sec2 u d u
1
1
=
= cos2 u d u = u + sin 2u + C
2
4u
2
sec
2
4
x +1
volvemos a la variable original
x
2
MAT022 (Cálculo)
x2 +1
+
1
arctan x + C
2
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Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una función racional cualquiera (aunque nuestros
cálculos se ven limitados por tener que encontrar las raíces que nos permitan hacer la descomposición en fracciones
parciales)
1.1.1 Ejercicios propuestos
Z
Z
(2x + 3) d x
x dx
a)
b)
(x 2) (x + 5)
(x + 1) (x + 2) (x + 3)
Z
d)
Z
g)
Z
x2 dx
x4 +1
e)
x2
1
x3
Z
dx
x2 +3
Z
dx
4
x
2x 3
x dx
3x + 2
x4 dx
f)
(x + 1) x 2 + 1 (x + 2)2
h)
2
c)
2
Z
(x + 1) d x
Z
2
x2 dx
i)
x 2 + 2x + 2
2
CLASE 2
2.1 Sustituciones trigonométricas
p
p
p
Primitivas de funciones que involucran expresiones del tipo x 2 a 2 , a 2 x 2 y x 2 + a 2 pueden ser calculadas en
algunas ocasiones mediante sustituciones trigonométricas. La siguiente tabla indica el cambio adecuado en cada caso:
Expresión
p
p
pero si ✓ 2
î
⇡ ⇡
,
2 2
ó
x = a sen ✓ , ✓ 2
a2 +x2
x = a tan ✓ , ✓ 2
p
a2
a2
entonces cos ✓
Ejemplo 2.1. Calcular
Identidad
x2
a2
p
x2
Por ejemplo, al considerar
Sustitución
î
ó
⇡ ⇡
,
2 2
⇡ ⇡
,
2 2
ó
1
î
sen2 ✓ = cos2 ✓
1 + tan2 ✓ = sec2 ✓
î
î î
î
x = a sec ✓ , ✓ 2 0, ⇡2 [ ⇡, 3⇡
2
sec2 ✓
1 = tan2 ✓
î ⇡ ⇡ó
x 2 y hacer x = a sen ✓ con ✓ 2
,
entonces
2 2
p
p
p
a2 x2 =
a 2 a 2 sen2 ✓ = |a | 1 sen2 ✓
p
= |a | cos2 ✓ = |a | |cos ✓ |
0 entonces
p
a2
x 2 = |a | cos ✓
Z p
9 x2
dx
x2
Desarrollo: Ponemos x = 3 sen ✓ entonces d x = 3 cos ✓ d ✓ así
Z p
Z
9 x2
3 cos ✓
dx =
3 cos ✓ d ✓
2
x
9 sen2 ✓
Z
Z
cos2 ✓
=
d ✓ = cot2 ✓ d ✓
sen2 ✓
Z
Ä
ä
=
csc2 ✓ 1 d ✓
=
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cot ✓
✓ +C
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para retornar a la variable original notar que sen ✓ = x /3 de donde obtenemos cot ✓ =
Z p
Z
Ejemplo 2.2. Calcular
Z
Ejemplo 2.3. Calcular
p
9 x2
dx =
x2
9 x2
x
arcsen
p
9 x2
x
así
Å ã
x
+C
3
dx
p
x2 x2 +4
dx
p
x2 4
p
Observación 2.1. No siempre que aparecen las expresiones x 2
son el camino más conveniente, por ejemplo la integral
Z
xdx
p
x2 +1
a 2,
p
a2
x2 y
p
x 2 + a 2 las sustituciones anteriores
puede ser calculada rápidamente mediante la sustitución u = x 2 + 1 en lugar de hacer una sustitución trigonométrica.
2.2 Sustitución tangente del ángulo medio
Para integrales de la forma
Z
R (sin (x ) , cos (x )) d x
donde R es una función racional, utilizamos la sustitución
t = tan
Å ã
x
2
de ella obtenemos lo siguiente:
2 arctan t = x )
2d t
=dx
1+t2
además
Å ã
x
2
Å ã
x
cos
2
sin
=
p
=
p
t
1+t2
1
1+t2
entonces
sin (x )
Å ã
Å ã
x
x
cos
2
2
=
2 sin
=
2t
1+t2
y
cos (x )
=
=
así
Å ã
x
2
1 t2
1+t2
cos2
Z
Z
R (sin (x ) , cos (x )) d x =
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✓
R
sin2
Å ã
x
2
2t
1 t2
,
1+t2 1+t2
◆
2d t
1+t2
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Ejemplo 2.4. Calcular la integral
Usamos la sustitución t = tan
Äx ä
2
Z
dx
1 + sin x + cos x
entonces
Z
dx
1 + sin x + cos x
Z
=
Z
=
=
1+
2d t
1+t 2
2
2t
+ 11+tt 2
1+t 2
dt
= ln |t + 1| + C
1+t
Å ã
x
ln tan
+1 +C
2
2.2.1 Ejercicios propuestos
Z
dx
1.
3 + 2 cos x
Z
dx
2.
sin (x ) + cos x
Z
cos x d x
3.
1 + cos x
Observación 2.2. Si queda tiempo calcular integrales con todas las técnicas de integración que tenemos hasta ahora,
relacionar también con integrales definidas.
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Semana 7: Lunes 29 de Abril – Viernes 03 de Mayo
COMPLEMENTO
Contenidos
• Clase 1: Continuación con el tema de Espacio generado comenzado en la clase anterior.
• Clase 2: Bases y bases canónicas. Dimensión.
CLASE 1
1.1 Espacio generado
Recordemos que para los propósitos de estas notas, los cuerpos que estamos considerando son: el cuerpo de los números
reales R, el cuerpo de los números complejos C y el cuerpo de los números racionales Q. Pero las definiciones aquí dadas
funcionan para cualquier cuerpo.
Ejercicio 1.1. Verificar que la intersección de una colección de subespacios de un espacio vectorial V es también un
subespacio vectorial de V .
El propósito del ejercicio anterior es poder justificar la siguiente definición.
Definición 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea X ✓ V, X 6= ;. El espacio generado por X , denotado
por hX i ó por G(X ), es dado por la intersección de todos los subespacios de V que contienen al conjunto X .
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Teorema 1.1. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K.
Los elementos de G(X ) son los elementos del espacio vectorial formado por todas las combinaciones lineales posibles de
elementos de X .
Si X es finito, digamos X = {x1 , x2 , · · · , xk }, entonces
(
hX i =
k
X
i =1
)
↵ i xi ,
↵i 2 K
Observación 1.1. Si W = hv 1 , v 2 , . . . , v n i decimos que v 1 , v 2 , . . . , v n generan a W o que es un conjunto generador de W .
Ejemplo 1.1. Si W = {(x , y ) 2 R2 : (x , y ) = ↵ · (1, 2), ↵ 2 R} entonces W = h(1, 2)i, es decir, (1, 2) genera a W .
Observemos que (2, 4) también genera a W y, de manera más general, si ↵ 6= 0, entonces (↵, 2↵) genera W .
Los vectores (0, 0) y (1, 2) también forman un conjunto generador de W .
Ejemplo 1.2. Si W = {v 2 V : v = ↵ · u0 , ↵ 2 R}
entonces
W = G(u0 ) = hu0 i.
Ejemplo 1.3. En R2 considere los vectores u = (2, 1), v = ( 1, 1), w = (1, 4). Probemos que R2 = G(u, v) = G(u, v, w) y que
R2 6= G(u).
Para probar que R2 = G(u, v), debemos demostrar que dado cualquier (x , y ) 2 R2 , existen ↵, 2 R tal que (x , y ) =
↵ · (2, 1) + · ( 1, 1). La igualdad implica
´
x = 2↵
y =
↵+
x +y
2y x
,
=
.
3
3
Esto significa que dado cualquier vector (x , y ) 2 R2 podemos determinar explícitamente, en función de x e y , los
valores de ↵ y .
Ya que {u , v } ⇢ {u , v, w }, se puede fácilmente concluir que R2 = G (u , v, ) ⇢ G (u , v, w ), de donde concluimos que
G (u , v, w ) = R2 .
Otra manera de concluir lo mismo es proceder de mana análoga al caso anterior. Para probar que R2 = G(u, v, w),
debemos demostrar que dado cualquier (x , y ) 2 R2 , existen ↵, , 2 R tal que
(x , y ) = ↵ · (2, 1) + · ( 1, 1) + · (1, 4). Notar que si tomamos, arbitrariamente, = 0, los valores de ↵ y obtenidos arriba
demuestran la afirmación. Si asignamos otro valor a , también podemos resolver el sistema para ↵ y .
En general,
entonces, podemos decir que:
x +y 5
2y x 7
↵=
,
=
3
3
de donde
↵=
donde es un parámetro real. Por lo tanto, en este caso también es posible determinar explícitamente los valores de ↵,
y .
Para probar que R2 6= G(u) basta encontrar un vector en R2 que no sea combinación lineal de u. Por ejemplo, si
tomamos el vector (1, 0) 2 R2 vemos que no existe ↵ 2 R : (1, 0) = ↵ · (2, 1).
Ejemplo 1.4. Claramente
G((1, 0), (0, 1))
MAT022 (Complemento)
=
=
=
h(1, 0), (0, 1)i
h( 1, 2), (3, 2)i
G((1, 0), ( 1, 2), (5, 3)) = R2
2
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Análogamente,
R2 [x ]
G(1, x , x 2 )
h2, 1 + x , x x 2 i
h1, 1 + x , 1 + x + x 2 i
=
=
=
Ejemplo 1.5. Rn [x ] = G(1, x , x 2 , · · · , x n )
Ejemplo 1.6. hsin(x ), cos(x )i = { f (x ) 2 C 1 (R) : f (x ) = ↵ sin(x ) +
®Ç
Ejemplo 1.7. M 2⇥2 (R) = G
1
0
0
0
å Ç
,
0
0
1
0
å Ç
,
0
1
0
0
å Ç
,
cos(x ), ↵,
0
0
0
1
2 R}.
å´
Ejercicio 1.2. Caracterizar el espacio generado por los vectores (0, 1, 2) , ( 1, 3, 1) y (2, 11/2, 3)
Ejercicio 1.3. Encontrar un conjunto generador del subespacio
®Ç
å
´
a b
: a ,b, c 2 R  M2⇥2 (R)
b c
1.2 Dependencia e independencia lineal
Definición 1.2. Sean u1 , u2 , · · · , un 2 V . Diremos que {u1 , u2 , · · · , un } es un conjunto:
1. linealmente independiente (l.i.) ssi
n
X
i =i
↵i · ui = 0V ) ↵i = 0
8i = 1, · · · , n .
También se dice que los vectores anteriores son linealmente independientes (l.i.).
2. linealmente dependiente (l.d.) ssi
9↵1 , · · · , ↵n 2 K, no todos nulos :
n
X
i =i
↵i · ui = 0V
También se dice que los vectores anteriores son linealmente dependientes (l.d.).
Ejemplo 1.8. El conjunto {(1, 0), (0, 1)} ⇢ R2 es un conjunto l.i.
En efecto, si consideramos
(0, 0) = ↵1 (1, 0) + ↵2 (0, 1) = (↵1 , ↵2 )
entonces obtenemos que ↵1 = 0, ↵2 = 0.
MAT022 (Complemento)
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Ejemplo 1.9. El conjunto {(1, 2), (3, 1)} ⇢ R2 es un conjunto l.i. En efecto, si consideramos
(0, 0) = ↵1 (1, 2) + ↵2 (3, 1) = (↵1 + 3↵2 , 2↵1
↵2 )
entonces, tenemos el sistema lineal a resolver
↵1 + 3↵2 = 0
2↵1 ↵2 = 0
Obtenemos que ↵1 = 0, ↵2 = 0.
Ejemplo 1.10. El conjunto {(1, 2), (3, 1), (5, 1)} ⇢ R2 es un conjunto l.d. Como antes, si tenemos la igualdad
↵1 (1, 2) + ↵2 (3, 1) + ↵3 (5, 1) = (0, 0)
se sigue
↵1 + 3↵2 + 5↵3
2↵1
↵2 + ↵3
=
0
=
0
Este es un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, que tiene infinitas soluciones. Luego, hemos probado que {(1, 2), (3, 1), (5, 1)}
es l.d.
Es importante mencionar que, si bien ↵1 = ↵2 = ↵3 = 0 es una posible solución del sistema, no es la única. Lo que
hemos probado es que existen valores ↵i , no todos nulos, que satisfacen la condición de la definición.
Ejemplo 1.11. El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⇢ R3 es un conjunto l.i.
Ejemplo 1.12. El conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} ⇢ R3 es un conjunto l.d. Basta notar que (1, 1, 0) = (1, 0, 0) + (0, 1, 0). En
otras palabras, existen valores de ↵1 , ↵2 , ↵3 no todos nulos tales que ↵1 (1, 0, 0) + ↵2 (0, 1, 0) + ↵3 (1, 1, 0) = (0, 0, 0).
En efecto, basta tomar ↵1 = 1, ↵2 = 1, ↵3 = 1.
Ejemplo 1.13. El conjunto {(0, 1, 0), (1, 1, 0)} ⇢ R3 es un conjunto l.i.
Ejemplo 1.14. El conjunto {sin(x ), cos(x )} ⇢ C(R) es un conjunto l.i.
reales ↵1 y ↵2 de manera que valga la siguiente igualdad
En efecto, supongamos que tenemos valores
↵1 sin(x ) + ↵2 cos(x ) = 0.
Derivando, obtenemos una segunda ecuación, que nos permite determinar ↵1 y ↵2 , dada por
↵1 cos(x )
↵2 sin(x ) = 0.
Multiplicamos la primera ecuación por ↵2 y la segunda por ↵1 , las sumamos y como este sistema debe satisfacerse
para todos los valores posibles de x 2 R, necesariamente, ↵21 + ↵22 = 0. La única posibilidad es que ↵1 = ↵2 = 0.
Ejemplo 1.15. El conjunto {e ↵x , e
x } ⇢ C 1 [0, 1]
es un conjunto l.i., siempre que ↵ 6= .
Ejemplo 1.16. El conjunto {1, x , x 2 , · · · , x n } ✓ Rn [x ] es un conjunto l.i.
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1.2.1 Observaciones
1. Todo conjunto de vectores que contenga al vector nulo 0V es un conjunto l.d. En particular, el conjunto {0V } es l.d.
2. Si un conjunto M de vectores es l.i., todo subconjunto de M también es l.i.
3. Si un conjunto de vectores N es l.d., todo conjunto que contenga a N será l.d.
4. Si bien en la definición de conjuntos linealmente independientes o dependientes hemos considerado conjuntos
finito, la finitud se puede eliminar. Es decir, si tenemos un conjunto X ⇢ V , X 6= ;, entonces diremos que X es un
conjunto linealmente independiente si todo subconjunto no vacío finito de este es linelamente independiente. En
caso contrario, decimos que este conjunto es linealmente dependiente.
5. Si X es un conjunto finito o infinito, X 6= ;, entonces uno puede considerar todas las combinaciones lineales posibles
usando una cantidad finita de vectores de X . Este conjunto resulta ser el espacio generado por X .
Teorema 1.2. Sea X ⇢ V, X 6=
, X 6= {0V }. Entonces, 9Y ✓ X tal que Y es un conjunto l.i. y G(X ) = G(Y ).
Este teorema afirma que cualquier subconjunto no vacío de vectores, salvo el que contiene sólo al 0V , tiene un subconjunto l.i. de vectores. Notemos también que no hace referencia a si el conjunto X es finito o no. De todas maneras, en
este curso en general trabajaremos con juntos finitos X de vectores.
CLASE 2
2.1 Bases y dimensión.
Definición 2.1. Sea B ✓ V un subconjunto finito (ordenado), B 6= ;. Diremos que B es una base (ordenada) de V si se
satisfacen las siguientes dos condiciones:
1. G(B ) = V
2. B es l.i.
Teorema 2.1. Todo espacio vectorial tiene una base.
2.1.1 Ejemplos
1. B = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 .
2. B = {(1, 2), (3, 1)} es una base de R2 .
3. C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de R3 , es llamada base canónica de R3 .
4. B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} es una base de R3 .
5. C = {1, x , x 2 , · · · , x n } es una base de Rn [x ].
6. B = {sin, cos} es una base de V = G({sin, cos}).
®Ç
å Ç
å Ç
å Ç
å´
1 0
0 1
0 0
0 0
7. B =
,
,
,
es una base de M 2⇥2 (R). Se llama base canónica de M 2⇥2 (R).
0 0
0 0
1 0
0 1
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8. El conjunto B = 3, x
1, x 2 + x es base del espacio vectorial R2 [x ].
Teorema 2.2. Si el espacio vectorial V sobre el cuerpo K tiene una base constituida por n vectores, entonces toda base de V
tiene cardinalidad n .
Idea general de la prueba. Supongamos que tenemos dos bases
B 1 = {v 1 , ..., v n }
B 2 = {w 1 , ..., w m }
de manera que n 6= m .
Supongamos que m > n (el caso n < m es similar). La idea es ver que es posible quitar, de manera astuta n vectores
de W , digamos w 1 , ..., w n (salvo reordenamiento de los índices) de manera que el conjunto {v 1 , ..., v n , w n +1 , ..., w m } siga
siendo un conjunto l.i.. Ahora, como B 1 es una base de V , se puede verificar que o anterior es una contradicción.
El teorema anterior nos permite dar la siguinete definición.
Definición 2.2. Sea V un espacio vectorial sobre K, B = {u1 , · · · , un } una base de V . Diremos que n es la dimensión de V
sobre el cuerpo K. Escribimos dimK V = n .
Corolario 2.1. Sea V un espacio vectorial de dimensión n , entonces, cualquier subconjunto de V de cardinalidad n + 1 es
un conjunto l.d.
2.1.2 Ejemplos
1. C = {(1, 0), (0, 1)} es una base de R2 . Se conoce como la base canónica de R2 . B = {(1, 2), (3, 1)} es otra base de R2 .
Claramente, dimR R2 = 2.
2. C = {(1, 0, · · · , 0), (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 1)} es una base de Rn . Se conoce como la base canónica de Rn . Se acostumbra escribir los vectores de la base canónica como e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, 0, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1). En este
caso, dimR Rn = n . Si el espacio considerado es R3 , en las aplicaciones físicas los vectores de la base canónica se
! ! !
denotan por i , j , k , respectivamente.
3. A = {( 2, 1, 0), (0, 0, 1)} es una base de V = {(x , y , z ) 2 R3 : x + 2y = 0}. Luego, dimR V = 2.
4. C = {1, x , x 2 , · · · , x n } es la base canónica de Rn [x ]. Luego, dimR Rn [x ] = n + 1.
®Ç
å Ç
å Ç
å Ç
å´
1 0
0 1
0 0
0 0
5. C =
,
,
,
es la base canónica de M 2⇥2 (R). Por lo tanto, dimR M 2⇥2 (R) =
0 0
0 0
1 0
0 1
4.
6. Para las matrices reales de orden m ⇥ n se tiene que dimR M m ⇥n (R) = m · n .
7. Si K es un cuerpo, entonces, mirando este cuerpo como espacio vectorial sobre si mismo se tiene dimK K = 1.
8. Mirando Cn como un espacio vectorial sobre C, se tiene que dimC Cn = n .
9. Mirando Cn como un espacio vectorial sobre R, se tiene que dimR Cn = 2n .
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2.1.3 Ejercicios
1. Determine una base y la dimensión de cada uno de los siguientes subespacios:
(a) A = {(x , y , z ) 2 R3 : x
(b) B = {(2x , x , x + 2y ,
y = 0, z
y ) 2 R4
2x = 0}  R3
: x , y 2 R}  R4
(c) C = {(x , y , z , t ) 2 R4 : x + 3t = 0}  R4
2. Determine la dimensión de B \ C del ejercicio anterior. Encuentre, si es posible, una base.
Teorema 2.3. W  V
=)
dimW  dimV
Teorema 2.4 (completación de una base). Sea V un espacio vectorial sobre K, con dimK V = n .
Sea W  V con dimK W = m .
Sea B = {u1 , u2 , · · · , um } una base del subespacio W .
Entonces, existen vectores um+1 , um+2 , · · · , un 2 V de manera que ; B [ {um+1 , um+2 , · · · , un } es una base de V .
2.1.4 Ejercicios
1. Sea A = {(1, 2, 3), (2, 1, 1)}. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 .
2. Sea A = {1, 1 + x , x 2 + x 3 }. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una base de R3 [x ].
®Ç
å Ç
å Ç
å´
1
1
0
1
1 0
3. Sea A =
,
,
. Verifique que A es l.i. y complete este conjunto para obtener una
2
0
3
4
1 1
base de M (R, 2 ⇥ 2).
Corolario 2.2. Sea V un espacio vectorial, dimK V = n . Si B ⇢ V, B = {u1 , · · · , un } es un conjunto l.i., entonces B es una base
de V .
Observación 2.1. El resultado anterior es útil si se conoce la dimensión de un espacio vectorial V . En este caso, para
probar que un conjunto es base de V , basta probar que el conjunto es l.i.
2.1.5 Ejercicios
1. Determine si los siguientes son base de R4 . Si no lo son, vea si es posible extraer una base de R4 en cada caso.
(a) A = {(0, 1, 1, 0), (1, 0, 2, 1), ( 1, 3, 0, 0), (2, 2, 0, 1)}
(b) B = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}
2. Determine si los siguientes son base de R2 [x ]. Si no lo son, vea si es posible extraer una base de R4 en cada caso.
(a) C = {1, 1 + x , 1 + x + x 2 }
(b) D = {x + x 2 , 1 + x , 1 + x 2 }
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Teorema 2.5. Sea B = {u1 , · · · , un } ✓ V . Entonces, B es una base de V si todo vector de V puede ser escrito de manera única
como una combinación lineal de los vectores u1 , · · · , un .
Observación 2.2. Este teorema dice que dado un vector cualquiera en un espacio vectorial V con una base dada B , los
coeficientes del vector con respecto a esa base B son únicos, vale decir, si
v 2 V, 9! ↵i , i = 1, · · · , n : v = ↵1 · u1 + ↵2 · u2 + · · · + ↵n · un
Esto permite definir las coordenadas0de v con
1 respecto a la base ordenada B , usando los coeficientes ↵i que acompañan
↵1
B
C
B ↵2 C
B
a los vectores ui . La matriz columna B . C
se llama matriz de coordenadas de v con respecto a la base B . Usaremos la
. C
@ . A
↵n
notación [v]B .
2.1.6 Ejemplos
1. En R3 , considere la base ordenada B = {(1, 2, 3), (1, 0, 1), (0, 2, 0)} y la base canónica de R3 , es decir, C = {e 1 =
(1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1)}. Determine la matriz de coordenadas del vector (2, 8, 6) con respecto a ambas
bases, es decir, encuentre [(2, 8, 6)] B y [(2, 8, 6)]C .
Como (2, 8, 6) = 1 · (1, 2, 3) + 3 · (1, 0, 1)
Como (2, 8, 6) = 2 · (1, 0, 0) + 8 · (0, 0, 1)
5 · (0, 2, 0),
se tiene que
0
1
1
B
C
[(2, 8, 6)] B = @ 3 A
5
6 · (0, 0, 1),
se tiene que
0
1
2
B
C
[(2, 8, 6)]C = @ 8 A
6
2. En R2 [x ], considere la base ordenada B = { 1, x + 1, x 2 + 1} y la base canónica ordenada de R2 [x ], es decir C =
{1, x , x 2 }.
Determine la matriz de coordenadas del polinomio p (x ) = 2
x + 3x 2 con respecto a ambas bases.
Tenemos que
p (x )
x + 3x 2
=
2
=
↵1 ( 1) + ↵2 (x + 1) + ↵3 ( x 2 + 1)
=
( ↵1 + ↵2 + ↵3 ) · 1 + ↵2 · x
↵3 · x 2
luego,
↵1 + ↵2 + ↵3
↵2
↵3
Resolviendo, obtenemos que
0
B
[p (x )] B = @
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1
6
C
1 A
3
=
=
=
2
1
3
0
B
[p (x )]C = @
1
2
C
1 A
3
8