Repaso: Examen #3 I. Ecuación de Planos y Rectas en el espacio 1

Repaso: Examen #3
I. Ecuación de Planos y Rectas en el espacio
1. Halla la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntos (2,3) y (1,-1)
2. Halla la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (2,3) y es
paralela al vector u = [-1,-4]
3. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto (2,3,1) y es perpendicular
(normal) al vector n = [ -2,0,4 ]
II. Transformación Lineal
Para la siguiente transformación T(x) = (
)
contesta las preguntas 4-6
4. Evalúa T(u) para u = ( )
5. Demuestra que es una transformación lineal
6. Halla la matriz de la transformación A
7. Para trasladar puntos p = ( ), de esta forma “1 unidad para derecha y 4
unidades hacia abajo”, se define la matriz de traslación así: A = [
demuestra que Ap = (
],
) = T(p), donde las primeras dos componentes son
el punto trasladado. (NOTA: La traslación de puntos se puede representar de
esta forma como esta matriz pero No es una transformación lineal).
III. Espacios Vectoriales
Determina si los siguientes subconjuntos de vectores H forman un subespacio
vectorial de V
8. H = { (x, x, x)| donde x es un número}, V =ℝ3
9. Conjunto de matrices de la forma H= {(
10. Conjunto de matrices de la forma H= {
2 x 2 con componente: a 1,2 = 0, V = M 2 2
11. Menciona tres (3) subespacios de ℝ3
)
} , V = M 2 2
}, esto es las matrices
IV. Independencia Lineal, Base y dimensión, Generar un Espacio Vectorial
Determina si los siguientes
independientes o dependientes
conjuntos
de
vectores
son
linealmente
12. (1, -1, 2), (3, 0, 1) y (0, 0, 0)
13. (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 0, 0)
14. (1,2), (-1,-3)
15. (-3,2), (1,10) y (4,-5)
16. (2,-1,4) y (4,-2,8)
Se podrá expresar el vector dado como una combinación lineal de los otros dos:
17. (1, -2, -8) ℝ3 con los vectores (3, 0, -2) y (2, -1, -5)
Determina si el siguiente conjunto de vectores genera al espacio vectorial indicado
18. {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-2, 0, 1)} a ℝ3
19. {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (-2, 0, 1)} a ℝ3
20. Determina si (1, 2, 3), (1, 1, 1) y (2, -1, 1) forman una base para el espacio
vectorial R3.
¿Cuál es la base canónica (estándar, o natural) y dimensión de los siguientes espacios
vectoriales V = ?
21. Base Canónica de
a. ℝ2
b. ℝ3
c. M32
d. P4
e. Pn
22. La dimensión de los espacios vectoriales del ejercicio 21.
23. Un conjunto de 4 vectores en ℝ3, ¿puede ser una base?
24. Dada la siguiente matriz en forma escalonada reducida (rref), indique el rango y
nulidad de la matriz:
. . (Utiliza el Teorema 6.12 pág. 333, que
dice que rango A + nulidad A = n para toda matriz m x n)
contestaciones