Lista de ejercicios - Claroline

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FCULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
MA-1005 Ecuaciones Diferenciales
Primer Ciclo del 2009
Lista de ejercicios
Conceptos básicos y ecuaciones de primer orden
1. Haga la sustitución u = ln y en la ecuación deiferencial y0 + p(x) y = q(x) y ln y, para obtener una
ecuación lineal de primer orden en u.
Aplique este procedimiento para resolver la ecuación diferencial x y0 = 2 x2 y + y ln y.
2. Use la sustitución u = x ln y para resolver la ecuación diferencial ( x y + 2 x y ln2 y + y ln y ) dx +
( 2 x2 ln y + x ) dy = 0.
3. Muestre que la sustitución v = x y permite separar variables en una ecuación diferencial de la forma
[ f(x) + y g(xy) ] dx + x g(xy) dy = 0.
Use este método para resolver la ecuación diferencial x2 + y sen xy dx + x sen xy dy = 0.
4. Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación, efectuando una sustitución
del tipo indicado:
haciendo la sustitución
y = vx
(d)
(e)
dy
= ( x + y + 1)2
dx
p
dy
y − 2x+ 3
= 2+
dx
dy
2x − y
=
dx
x − 2y
( 2x − y − 4 ) dx − ( x − 2y + 1 ) dy = 0
( 6x + 3y − 5 ) dx − ( 2x + y ) dy = 0
haciendo la sustitución
haciendo la sustitución
x = u+ay y = v + b
v = 2x + y
(f)
( 2 + 3 x y2 ) dx − 4 x2y dy = 0
haciendo la sustitución
(g)
y0 = 3
(a)
(b)
(c)
(h)
haciendo la sustitución adecuada.
haciendo la sustitución adecuada.
y
y3
− 5
x
x
2 2
( 1 + x y ) y + ( xy − 1 )2 xy0 = 0
y = v xn
haciendo la sustitución
y = z xn
haciendo la sustitución
u = xy
5. Obtenga la solución de la ecuación diferencial
y dx + x ( ln x − ln y − 1 ) dy = 0
que cumple con la condición y(1) = e.
6. Muestre que el cambio de variable
y = x
1+v
1−v
convierte a la ecuación diferencial
x2 y 0 − x y = y 2 − x2
en una ecuación diferencial de variables separables y resuélvala.
1
7. Muestre que la sustitución z = ax + by + c transforma la ecuación diferencial
y0 = f(ax + by + c)
En una ecuación de varibles separadas. Aplique este método para resolver las ecuaciones siguientes:
y0 = (x + y)2
8. Considere la ecuación diferencial y0 = f
y0 = sen2 (x − y + 1)
ax + by + h
dx + cy + k
.
(a) Si ac − bd 6= 0, las rectas ax + by + h = 0 y dx + cy + k = 0 se intersectan en un único
punto ( x0, y0 ). Muestre que, en éste caso, la sustitución u = x − x0 y v = y − y0 transforma
la ecuación en una ecuación homogenea en las variables u y v .
(b) Cuando ac − bd = 0, pruebe que la sustitución z = ax + by da por resultado una ecuación en
variables separables.
(c) Aplique lo anterior para resolver el siguiente par de ecuaciones diferenciales:
y0 =
3x − y + 2
6x − 2y
y0 =
12x + 5y − 9
−5x − 2y + 3
9. Compruébese que la ecuación diferencial
y0 =
y f( xy )
x g( xy )
se convierte en una ecuación de variables separables, mediante la transformación z = xy .
Aplique este procedimiento para resolver la ecuación diferencial
y0 =
y ( 2xy + 1 )
x ( xy − 1 )
10. Determine una transformación apropiada que convierta la ecuación dada en una de variables separables:
y (a) xy0 = y f
(b) xy0 − ax + y = x2a
xn
x
0
2
2
n
(d) φ(y) dy + x φ
(c) x + yy = f x + y
( x dy − y dx ) = 0
y
11. Considerando x = x(y), determine la solución general de la ecuación diferencial y − x y0 = y0 y2 ey .
12. Aplique el procedimiento sugerido en el ejercicio anterior, a la ecuación diferencial y0 =
1
.
ey − x
13. Describa un procedimieto que permita hallar la solución general de la ecuación diferencial
dn+1 y
dn y
−2
= 5.
n+1
dx
d xn
14. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli: y0 =
2
1
.
x sen y + x2 sen 2y
0
y = 1 es de Bernoulli, cuando se considera
15. Compruebe que la ecuación diferencial xy + x2y3
x = x(y). También, determine la solución general de esta ecuación.
16. Una forma generalizada de la ecuación de Bernoulli es la ecuación
f 0 (y)
dy
+ p(x) f(y) = q(x)
dx
(a) Haga un cambio de variable que convierta la ecuación anterior en una ecuación lineal.
(b) Usando lo anterior, resuelva la ecuación diferencial y0 + 1 = 4 e−y sen x.
17. Considérese la ecuación diferencial
y0 = 2 ( tan x ) ( sec x ) − ( sen x ) y2
(a) Pruebe que y1 = sec x es solución de esta ecuación diferencial.
(b) Mediante la sustitución y = v + sec x transforme esta ecuación diferencial en una ecuación de
Bernoulli y resuélvala.
(c) Determine la solución general de la ecuación dada inicialmente.
18. Una ecuación diferencial de la forma:
y0 + p(x) y2 + q(x) y = r(x)
(1)
se llama ecuación diferencial de Riccati.
Si p(x) ≡ 0, la ecuación (1) se convierte en una ecuación lineal y si r(x) ≡ 0, se tiene una ecuación de
Bernoulli. En este sentido la Ecuación de Riccati generaliza la ecuación lineal de primer orden y la ecuación
de Bernoulli. Asumiendo que ninguno de los coeficientes de la ecuación de Riccati es identicamente nulo
y que se conoce una solución φ = φ(x) de la ecuación (1), entonces, muestre que el cambio de variable
1
y = φ +
transforma la ecuación considerada en una ecuación lineal de primer orden. Para cada
z
una de las siguientes ecuaciones de Ricatti, aplique el procedimiento sugerido anteriormente, junto con la
indicación dada:
y0 − y2 + 2xy = x2
0
Existe una solución polinomial
2
y = 2 tan x sec x − y sen x
0
2
Vea que φ(x) = sec x es una solución.
3
2
y = −8xy + 4x( 4x + 1 ) y − 8x − 4x + 1
0
2
2
y = 1 + x − 2xy + y
1
y
y0 = − 2 −
+ y2
x
x
2 cos2 x − sen2 x + y2
y0 =
2 cos x
Existe una solución polinomial
Existe una solución polinomial
1
Vea que φ(x) =
es una solución.
x
Vea que φ(x) = sen x es una solución.
19. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial, usando un factor integrante ρ(x, y), de la forma
indicada.
(a) y2 + 2xy dx − x2 dy = 0
ρ(x, y) = yn
(b) 2x3y2 + 4x2y + 2xy2 + xy4 + 2y dx + 2 y3 + x2y + x dy = 0 ρ(x, y) = f(x)
(c) 3xy + y2 dx + 3xy + x2 dy = 0
ρ(x, y) = f(ax + by)
4
2 2
4
(d) x + x + 2x y + y dx + ydy = 0
ρ(x, y) = f(ax2 + by2 )
(e) 3x + 2y + y2 dx + x + 4xy + 5y2 dy = 0
ρ(x, y) = f(x + y2 )
(f) x2 + y2 + 1 dx − 2xydy = 0
ρ(x, y) = f(x2 − y2 )
3
20. Pruebe que si y = φ(x) es una solución de la ecuación diferencial
e−2
R
y2 + q(x) dx + dy = 0, entonces
φdx
(y −φ)
2
es un factor integrante. Halle una solución polinomial de la ecuación diferencial y0 + y2 = 1 + x2 y
úsela, junto con el procedimiento indicado antes, para resolverla.
21. Muestre que si xy [ f(xy) − g(xy) ] no se anula en una región del plano–xy, entonces un factor integrante
1
de la ecuación diferencial y f(xy) + x g(xy) y0 = 0 es ρ(x, y) =
. Si, en cambio,
xy [ f(xy) − g(xy) ]
xy [ f(xy) − g(xy) ] ≡ 0 en una región del plano–xy, entonces pruebe que dicha ecuación es equivalente
a y + xy0 = 0 . Use esto para resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) y x2y2 + 2 + x 2 − 2 x2y2 y0 = 0
(b) y ( 2 xy + 1 ) dx + x 1 + 2 xy − x3y3 dy = 0
22. Halle una función N (y) tal que
h(x, y) = 3 x y2 sea un factor integrante de la ecuación diferencial
x
1
−
dx + N (y) dy = 0.
y2
xy
Luego resuelva la ecuación ası́ obtenida.
23. Considere la ecuación diferencial
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
(a) Pruebe que si existe un factor integrante ρ, que sólo depende de x, entonces
∂
∂
M (x, y) −
N (x, y)
∂y
∂x
= f(x)
N (x, y)
es función de x y en este caso
R
ρ(x) = e
f (x)dx
(b) Pruebe que si existe un factor integrante ρ, que sólo depende de y, entonces
∂
∂
N (x, y) −
M (x, y)
∂x
∂y
= g(y)
M (x, y)
es función de y y en este caso
R
ρ(y) = e
g(y)dy
(c) Pruebe que si existe un factor integrante ρ = ρ(u); con u = xy, entonces
∂
∂
M (x, y) −
N (x, y)
∂y
∂x
= h(xy)
y N (x, y) − x M (x, y)
es función de u = xy
y en este caso
R
ρ(u) = e
h(u)du
4
,
siendo
u = xy
x
, entonces
y
(d) Pruebe que si existe un factor integrante ρ = ρ(u); con u =
y2
es función de u =
x
y
∂
∂
M (x, y) −
N (x, y)
∂y
∂x
x M (x, y) + y N (x, y)
y en este caso
R
ρ(u) = e
r(u)du
,
siendo
u =
(e) Pruebe que si existe un factor integrante ρ = ρ(u); con u =
x2
es función de u =
y
x
x
= r
y
∂
∂
N (x, y) −
M (x, y)
∂x
∂y
x M (x, y) + y N (x, y)
x
y
y
, entonces
x
= t
y x
y en este caso
R
ρ(u) = e
t(u)du
,
siendo
u =
y
x
(f) Halle un factor integrante, ρ(x, y) = f(x2 + y2 ), para la ecuación diferencial
( x − y ) dx + ( x + y ) dy = 0
y resuélvala.
(g) Determine costantes a y b para que h(x, y) = xa yb sea un factor integrante de diferencial
x2 y2 − x y3 dx + 2 x3 y dy = 0
y resuélvala.
(h) Halle un factor integrante de la forma ρ(x, y) = xa yb para la ecuación diferencial
x4 y2 − y dx + x2 y4 − x dy = 0
y resuélvala.
(i) Halle un factor integrante ρ(x, y) = f(y2 − x2 ), para la ecuación diferencial que se da a continuación
y resuélvala. x2 + y2 + 1 dx − 2 x y dy = 0.
(j) Halle un factor integrante, ρ(x, y) de la forma ρ(x, y) = f(x + y2 ), para la ecuación diferencial
3 x + 2 y + y2 dx + x + 4 x y + 5 y2 dy = 0
y resuélvala.
(k) Halle un factor integrante, ρ(x, y) de la forma ρ(x, y) = f(x2 + y2 ), para la ecuación diferencial
p
x − x2 + y2 dx + y dy = 0
y resuélvala.
(l) Halle un factor integrante, que sólo dependa de una variable, para la ecuación diferencial
y ( ln x + ln y ) dx + ( x + 2 y ) dy = 0
y resuélvala.
(m) Halle un factor integrante, de la forma ρ = f(x y2 ), para la ecuación diferencial
x y − 2 y2 dx − x2 − 3 x y dy = 0
y resuélvala.
5
(n) Halle un factor integrante, de la forma f(x2 + y2 ), para la ecuación diferencial
y resuélvala.
y dx − x2 + y2 + x dy = 0
(o) Muestre que la ecuación diferencial
y4 − 2 y2
3 x y3 − 4 x y + y
dx +
admite un factor integrante que es función de
ecuación.
x y2 .
dy = 0
Use tal factor integrante para resolver esta
24. La sustitución y0 = p convierte la ecuación diferencial de segundo orden F ( x, y0 , y00 ) = 0 en una
ecuación de primer orden; a saber F ( x, p, p0 ) .
También, la sustitución y0 = p convierte la ecuación diferencial de segundo orden F ( y, y0 , y00 ) = 0
dp
en una ecuación de primer orden; a saber F ( y, p, p
) = 0.
dy
Aplique los procedimientos antes señalados para resolver:
2
(a) 2 y00 − ( y0 ) + 1 = 0.
(b) x y000 − 2 y00 = 0.
(c) x y00 = y0 .
3
(d) y y00 + ( y0 ) = 0.
2
(e) x2 y00 = 2 x y0 + (y0 ) .
25. Determine la solución de la ecuación diferencial
y y00 = y2 y0 + ( y0 )
que satisface
1
y(0) = − ,
2
2
y0 (0) = 1.
26. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a)
sen (x + y)dx + sen y ( csc xdy − cos xdx ) = 0
(b)
(c)
( y0 ) + 2xy0 = ex − x2
y0 = cos(x − y)
√
√
dy
x+y + x−y
= √
√
dx
x+y − x−y
(d)
2
27. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) ( 1 + ln(xy) )dx + 1 + xy dy = 0
(b) ( yex + ey )dx + ( ex + xey )dy = 0
(c) x(x + y)dy − y2 dx = 0
(d) ( 1 + xy )dx + x2dy = 0
2
00
0
(e) xy − y = 0
(f) yy00 − 2 (y0 ) + 2y0 = 0
2 00
0
0 2
0
(g) x y − 2xy − (y ) = 0
(h) (senx)y R+ (cosx)y = 0
√
x
2
0
2
(i) ( x + 1 )y + xy = (1 − 2x) x + 1
(j) y(x) + 2 0 ty(t)dt = x2
28. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli:
(a) y0 + y = (xy)2
p
√
(c) (x2 + 1) y y0 = xe3x/2 + (1 − x)2 y3
(b) yy0 + xy2 − x = 0
(d) x2y0 − 2xy = 3y4 , y(1) = 0.5
6
29. (Ecuación de Lagrange) Pruebe que al derivar con respecto a x y luego hacer el cambio de varible
dx
+ A(p)x = B(p), la cual es una
y0 = p la ecuación y = xϕ(y0 ) + ψ(y0 ) puede escribirse en la forma
dp
ecuación diferencial lineal de primer orden. Al resolver esta última ecuación, se obtendrá x = f(p, C)
y luego al reemplazar
x en la ecuación inicial
se obtiene la solución general escrita en la siguiente forma
x = f(p, C)
paramétrica:
.(Siendo p el parámetro y C una costante arbitraria.)
y = f(p, C)ϕ(p) + ψ(p)
30. (Ecuación de Clairaut) Pruebe que cuando ϕ(t) = t en la ecuación considerada en el punto anterior,
esta toma la forma y = xy0 + ψ(y0 ) y que en este caso la solución puede escribirse como y = Cx + ψ(C).
NOTA: Este tipo de ecuación puede presentar, además, una solución singular que se obtiene al eliminar
p entre las ecuaciones y = xp + ψ(p) y x + ψ0 (p) = 0.
31. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) 2y = xy0 + y0 ln(y0 )
(c) y = xy0 + (y0 )2
(b) y = x(1 + y0 ) + (y0 )2
(d) x(y0 )2 − yy0 − y0 + 1 = 1
32. (a) Muestre que la sustitución y = ue−
R
P (x)d x
separa variables en la ecuación diferencial
R
y0 + P (x)y = Q(x)F ye P (x)dx
(b) Aplique el resultado anterior para separar variables en los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales.
(Compare con otros métodos ya vistos.)
y
y
i. y0 = + F
ii. y0 + P (x)y = Q(x)
x
x
h
i
R
iii. y0 + P (x)y = Q(x)yn
iv. y0 + P (x)y = R(x) ay2 e2 P (x)dx + 1
Aplicación de ecuaciones de primer orden
1. Halle una familia uniparamétrica de curvas tal que, para cada una de dichas curvas, el segmento de la
tangente desde el punto de tangencia al eje–y es bisectado por el eje–x.
2. Halle una familia uniparamétrica de curvas tal que, para cada una de ellas, el área de la región triangular
limitada por el eje–x, la linea tangente en un punto y la perpendicular por el punto de tangencia sea igual
a a2 .
3. Una curva y = f(x) pasa por el origen. Trazando rectas paralelas a los ejes, por un punto arbitrario de
la curva, se forma un rectángulo con dos lados sobre los ejes coordenados. La curva divide a cualquiera
de estos rectángulos en dos regiones, una de las cuales tiene un área igual a n veces el área de la otra.
Halle la función f.
4. La gráfica de la función no-negativa f(x) pasa por el origen y por el punto ( 1, 2/π ). Para todo x > 0,
al girar, alrededor del eje–x, el conjunto de ordenadas de f(x) situado por encima del intervalo [0, x] se
genera un sólido cuyo volumenn es x2f(x). Halle la función f(x).
5. Halle una ecuación diferencial cuya solución general corresponda a la familia de todas las circunferencias
con centro sobre la lı́nea y = x.
7
6. Halle una ecuación diferencial cuya solución general corresponda a la familia de todas las circunferencias
que pasan por los puntos (1, 0) y (0, 1).
7. Halle las trayectorias ortogonales a la familia de parábolas
y2 = c x.
8. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada por la ecuación x y2 + 1
+ xy2 = c.
9. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias que pasan por el origen y tienen su centro
sobre el eje–x.
10. Muestre que la familia de parábolas y2 = 4cx + 4c2 es ortogonal ası́ misma.
11. Determine n para que la familia de curvas xn + yn = c sea ortogonal a la familia y =
x
.
1 − cx
12. Un objeto de masa m se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0. La resistencia del aire es
proporcional a su velocidad en cada instante, siendo k la costante
de proporcionalidad.
Muestre que la
m v0
k v0
m2 g
altura máxima que alcanza dicho objeto es
ln 1 +
−
.
k
k2
mg
13. Un objeto de masa m cae bajo la acción de la gravedad ( g ) a partir del reposo, encontrando una resistencia
del aire proporcional al cuadrado de su velocidad instantanea.
(a) Determine la velocidad del objeto en función del tiempo.
(b) Determine la posición del objeto como función del tiempo.
14. La ley de enfriamiento de Newton afirma que la razón a la cual la temperatura de un objeto cambia
es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea. Después de estar expuesto,
durante 10 minutos, en el aire a temperatura de 10◦ C, un objeto se enfrió de 100◦C a 55◦ C.
(a) ¿En cuánto tiempo, a partir de este momento, la temperatura del objeto llegará a los 19◦ C?
(b) ¿Cuánto tiempo le tomará al mismo objeto enfriarse de 500◦ C a 250◦C si se coloca en agua que se
mantiene a 0◦ C?
15. Un cuerpo con temperatura de 80◦C se coloca, en el instante t = 0, en un medio cuya temperatura se
mantiene a 50◦ C y luego de 5 minutos la temperatura de dicho cuerpo es de 70◦ C.
(a) ¿Cuál será la temperatura de dicho cuerpo luego de 10 minnutos?
(b) ¿En qué instante su temperatura será de 60◦ C?
16. Un quı́mico C se va a disolver en agua. Experimentalmente se sabe que la tasa a la cual C entra en la
solución varı́a con el producto de:
• La cantidad instantanea de C que permanece sin disolverse.
• La diferencia entre la concentración instantanea del quı́mico disuelto y la máxima concentración
posible a las condiciones dadas de temperatura y presión. (Este máximo ocurre cuando la solución
está saturada y no es posible tener un incremento adicional de quı́mico disuelto.)
Si se colocan 5 lbs. de C en dos galones de agua, se encuentra que 1 lb se disuelve en una hora.
Asumiendo que una solución saturada corresponde a una concentración de 4 lbs. por galón:
(a) ¿Cuánto quı́mico C permanece sin disolverse después de dos horas?
(b) ¿Cuál es la concentración de la solución despues de tres horas?
(c) ¿Cuándo la concentración será de dos libras por galón?
8
17. Un tanque tiene 10 galones de agua salada con 2 libras de sal disuelta. Agua salada, con una concentración
de 1.5 libras de sal por galón, entra a razón de 3 galones por minuto y la mezcla bien agitada sale a
razón de 4 galones por minuto.
(a) Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.
(b) Encuentre la concentración de sal después de 10 minutos.
18. En una reacción quı́mica, la sustancia A se transforma en otra sustancia a una velocidad proporcional a
la cantidad de A no tranformada. Si, en un principio, habı́an 40 gramos de A y una hora más tarde 12
gramos; ¿cuándo se habrá transformado el 90 % de A?
19. En cierta reacción quı́mica una sustancia A se convierte en sustancia B a una tasa proporcional a la
cantidad de sustancia A presente. A su vez, la sustancia B cambia en una sustancia C, también en forma
proporcional a la cantidad de sustancia B presente. Halle la cantidad de sustancia B presente t unidades
de tiempo despues de comenzada la reacción; siendo las razones de cambio son k1 y k2, respectivamente
y la cantidad de sustancia A al momento inicial fue de A0 unidades.
20. Un cultivo de bacterias enfermas crece a una tasa que es inversamente proporcional a la raı́z cuadrada del
número presente. Si inicialmente hay 9 individuos y dos dı́as más tarde 16; ¿cuánto tiempo habrá que
esperar para tener 36 individuos?
Ecuaciones lineales de orden arbitrario
1. Verifique que x2 y x−1 son soluciones de la ecuación diferencial x2y00 − 2y = 0 para x > 0 y escriba
su solución general.
√
00
0 2
2. Verifique
√ que 1 y x son soluciones de la ecuación diferencial yy + (y ) = 0 para x > 0. ¿Es
c1 + c2 x su solución general? (Explique)
3. Muestre que si y = ϕ(x) es una solución de la ecuación diferencial y00 + p(x)y0 + q(x)y = h(x), con
h(x) no identicamente nula, entonces para cualquier costante c, distinta de 1, la función y = cϕ(x) no
es solución.
4. Pruebe que si y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0, en un intervalo
I = {x | α < x < β} y si x0 es un punto de I tal que y1 (x0) = y2 (x0) = 0, entonces las funciones
y1 y y2 son linealmente dependientes.
5. Determine en cuáles intervalos las funciones y1 (x) = x y y2 (x) = x ex forman un conjunto fundamental
de soluciones para la ecuación diferencial x2y00 − x(x + 2)y0 + (x + 2)y = 0.
6. En cada caso, halle una ecuación diferencial tal que los conjuntos de funciones dados constituyan un
conjunto fundamental de soluciones para esa ecuación.
(a) y1 (x) = 1, y2 (x) = x, y3 (x) = x2.
(b) y1 (x) = 2, y2 (x) = cos(x), y3 (x) = sen (x).
(c) y1 (x) = sen (x2), y2 (x) = cos(x2).
(d) y1 (x) = e−3x sen (2x), y2 (x) = e−3x cos(2x).
2
x
(e) y1 (x) = x, y2 (x) = exp −
.
2
9
7. Pruebe que el cambio de variable u =
y0
transforma la ecuación y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 en una
y
ecuación de Ricatti.
8. Si ϕ es una solución de la ecuación diferencial y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0,
(a) Pruebe que la sustitución y = ϕv convierte la ecuación diferencial y00 + p(x)y0 + q(x)y = h(x) en
una ecuación lineal de primer orden en v0 .
(b) Obtenga, por simple inspección, una solución no trivial de la ecuación y00 − 4y0 + x2(y0 − 4y) = 0
y emplee el método indicado en la parte (a) para resolver la ecuación
y00 − 4y0 + x2(y0 − 4y) = 2x exp(−
x3
),
3
con condiciones iniciales
y(0) = 0; y0 (0) = 4
9. Halle la solución general de la ecuación xy00 − 2(x+1)y0 + (x+2)y = x3 e2x, x > 0, sabiendo la ecuación
homogenea asociada tiene una solución de la forma y = emx .
10. Halle la solución general de la ecuación (2x − 3x3)y00 + 4y0 + 6xy = 0, sabiendo que tiene una solución
que es un polinomio en x.
11. Halle la solución general de la ecuación x2(1 − x)y00 + 2x(2 − x)y0 + 2(1 + x)y = x2 , x > 1, sabiendo
que la ecuación homogénea asociada tiene una solución de la forma xk .
12. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) y000 − 3y00 + 3y0 − y = 0; y(0) = 1, y0 (0) = 2, y00 (0) = 3.
(b) y000 + 6y00 + 11y0 + 6y = 0.
(c) y000 − 5y00 + 7y0 − 3y = 0.
(d) 4y00 − 8y0 + 5y = 0.
(e) y00 − 2y0 + 2y = 0; y(0) = 0, y0 (0) = 1.
(f) yv + yiv + 5y000 − 6y0 − 4y = 0.
(g) yv − 2yiv + y000 = 0.
(h) yiv − y = 0.
(i) yiv − 3y000 − 2y00 + 2y0 + 12y = 0.
(j) y000 − 3y0 − 2y = 0.
13. Resuelva, usando el método de coeficientes indeterminados, las ecuaciones diferenciales siguientes:
(a) y00 − 4y0 + 4y = x2.
(b) y00 + 4y0 + 4y = 8 e−2x.
(c) y00 + 5y0 + 6y = 10 (1 − x) e−2x.
(d) y00 + 2y0 + 4y = cos 4x.
(e) y00 + 2y0 + 5y = e−x sen (2x).
(f) yiv − 2y000 + 2y00 − 2y0 + y = ex .
(g) yv − yiv = xex − 1.
(h) y000 + y00 + 3y0 − 5y = 5 sen 2x + 10x2 − 3x + 7.
(i) y000 − 4y0 = xe2x + sen x + x2 .
10
x
(j) y00 + y = cos2 2x + sen2 .
2
(k) y00 − 4y0 + 4y = 4x + sen x + sen 2x.
(l) y00 − 4y0 + 5y = 2x2ex ; y(0) = 2, y0 (0) = 3.
(m) y00 − y0 = −5e−x ( sen x + cos x); y(0) = −4, y0 (0) = 5.
(n) yiv − y = 8ex ; y(0) = 0, y0 (0) = 2, y00 (0) = 4, y000 (0) = 6.
(o) yiv + 2y000 − 3y00 = 18x2 + 16xex + 4e3x − 9.
14. Resuelva las ecuaciones diferenciales que se dan a continuación:
(a) x2y00 + xy0 + 4y = 2x ln x.
(b) x3y000 − x2y00 + 2xy0 − 2y = x3.
(c) x2y00 + 2xy0 + 6y = 0.
4
y = 0.
2x + 1
(e) (x + 1)2y000 − 12y0 = 0.
16 ln x
(f) x2y00 − xy0 − 3y = −
.
x
(g) x2y00 + xy0 + y = x (6 − ln x).
(d) (2x + 1)y00 − 2y0 +
(h) x2y00 + 4xy0 + 2y = 2 ln2 x + 12x.
2ex
(i) y00 − y = x
.
e −1
h√
i−1
(j) y00 + y =
sen5 x cos x
.
(k) y00 + 3y0 + 2y =
x
.
(x + 1)2
(l) xy00 + (2x − 1)y0 = −4x2.
(m) (x − 1)y00 − xy0 + y = (x − 1)2 ex .
(n) y00 + 4y = sec2 2x.
e−3x
.
x3
1
(p) y00 + 3y0 + 2y =
.
1 + ex
(o) y00 + 6y0 + 9y =
15. Pruebe que las funciones y1 y y2 constituyen un sistema fundamental de soluciones para la ecuación
homogénea asociada y resuelva la ecuación dada.
(a) (x2 + 2x)y00 − 2(x + 1)y0 + 2y = (x + 2)2; y1 = x + 1, y2 = x2.
(b) ( sen2 x ) y00 − 2( sen x cos x ) y0 + cos2 x + 1 y = sen3 x; y1 = sen x, y2 = x sen x.
11
Aplicación de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
N
1
kg está unido al estremo de un resorte con rigidez k = 16 . El cuerpo se desplaza,
8
m
√ m
1
estirando el resorte
m a partir de su posición de equilibrio y se le da una velocidad de 2
, en la
2
s
misma dirección. Suponiendo que no actúan fuerzas de amortiguamiento, ni fuerzas externas, determine
la posición de dicho cuerpo en cualquier instante. Determine la amplitud (C), el ángulo de fase (ϕ) la
frecuencia angular (ω), el periodo (T ) y la frecuencia natural (f). ¿Cuánto tiempo tarda el cuerpo en
regresar por primera vez a su posición de equilibro.
1. Un cuerpo de
2. Supóngase que el movimiento de un sistema masa–resorte está descrito por la siguiente ecuación diferencial
dy
y00 + b
+ 25 y = 0, con las condiciones iniciales y(0) = 1 y y0 (0) = 0. Haga un estudio completo y un
dt
gráfico de la solución correspondiente a los casos b = 6, b = 10 y b = 12.
1
N
kg está unido al extremo de un resorte con una rigidez de 4 . La
4
m
Ns
1
costante de amortiguamiento es b = 1
. Si el cuerpo se desplaza contrayendo el resorte
m y se
m
2
m
deja libre cuando su velocidad es de 1 , determine la posición de dicho cuerpo en cada instante y su
s
desplazamiento máximo (en relación con su posición de equibrio).
3. Un cuerpo con una masa de
4. Un objeto de masa 1 kg se encuentra suspendido de un resorte con una constante de restitución igual
N
Ns
a 2 . El objeto está inmerso en un medio viscoso que proporciona un amortiguamiento de 3
. En
m
m
1
el instante en que el objeto se suelta, éste se encuentra
m por debajo de su posición de equilibrio.
4
Determine la posición del objeto en cualquier instante.
5. (a) Una partı́cula de masa m se mueve en lı́nea recta hacia un punto que lo repele con una fuerza
proporcional a la distancia de la partı́cula a dicho punto. Halle la posición de la partı́cula como una
función del tiempo.
(b) Si en el instante t = 0 la velocidad de la partı́cula, del problema anterior, es de cero metros por
segundo y se encuentra a 10 metros de punto que la repele; halle la posición y velocidad de dicha
partı́cula en función del tiempo.
√
(c) Suponga que, en el instante t = 0 , la velocidad de tal partı́cula es −a k metros por segundo, se
encuentra a a metros de punto que la repele y la fuerza de repulción tiene una magnitud de k x
Newtons. Halle la posición y velocidad de dicha partı́cula en función del tiempo. Muestre que si
m < 1, la partı́cula nunca llega al punto que la repele; y en el caso en que m = 1, la posición de la
partı́cula se aproxima al punto que la repele tanto como se quiera, pero nunca lo toca.
6. Un cuerpo de 16 lb está unido al extremo de un resorte que está suspendido del techo y cuya costante
lb
de restitución (rigidez) es de 10
. El cuerpo se encuentra en reposo en el instante t = 0 cuando se
pie
le aplica una fuerza F (t) = 5 cos(2t) lb. La fuerza de amortiguamiento, en libras,es igual al doble de la
velocidad de desplazamiento del cuerpo.
Determine una ecuación diferencial que describa el problema planteado y resuélvala.
7. Un cuerpo de 12 lb estira un resorte 6 pulgadas, hasta llegar a su posición de equilibrio. Luego se estira
4 pulgadas más y se suelta. Halle una ecuación que describa el movimiento de dicho cuerpo, su perı́odo
y su amplitud. ¿Con qué velocidad pasa por su posición de equilibrio?
12
8. Un cuerpo de 8 lb estira un resorte 2 pies, hasta llegar a su posición de equilibrio. Luego una fuerza
f(t) = sen 6 t actúa sobre el sistema, haciéndolo vibrar. Halle
(a) la posición y la velocidad del cuerpo, como funciones del tiempo.
(b) la frecuencia natural del sistema.
(c) el desplazamiento máximo con relación a su posición de equilibrio.
Sistemas de ecuaciones diferenciales


x1(t)


1. Determine la solución general, X(t) =  ... , del sistema X 0 = AX; siendo:
xn(t)
2
−4

1
−1
A=
−2
1
(a)
A=
(d)

1
.
2
(b)
−3 3
4 −3
0
1
0
0

3
−3
.
1
0
(e)
1
A = 0
0

0
A = 1
1

2 −1
1
1 .
−1 1

1 1
0 1 .
1 0
(c)
(f)
A=
8
4
−1
.
12


1 2
2 2 .
1 3
2
A = 1
1


x1(t)


2. Determine la solución general, X(t) =  ... , del sistema X 0 = AX + B(t); siendo:
xn(t)
3 −4
1
A=
y B(t) =
.
4 −7
10t
(a)
2
−4
2t
1
3e
y B(t) =
.
2
te2t
(c)
A=
(e)
2 −5
csc t
A=
y B(t) =
.
1 −2
sec t
(g)
A=
0
−1
1
0
y B(t) =
.
0
sec t tan t
3. Resuelva los siguientes sistemas:
(
x00 + y0 = x − y − 1
(a)
x0 + y 0 = x + t 2
(c)
(
2
(b)
t
(D − 1)x + 5y = e
2x + (D2 + 2)y = 0
(d)
(
0
−2
t
1
e
y B(t) =
.
3
1
(b)
A=
(d)
−3 4 −2
t
A=
y B(t) =
, t > 0.
8 −4
−t−2
(f)
2 −5
0
A=
y B(t) =
, 0 < t < π.
1 −2
cot t
(h)
A=
1
− 12
2
t csc t
.
y B(t) = e
sec t
1
x00 = −5x + 4y
y00 = x − 2y

2

D y + (D − 1)v = 0
(2D − 1)y + (D − 1)w = 0


(D + 3)y + (D − 4)v + 3w = 0
13
4. Escriba un sistema lineal de primer orden que sea equivalente a la ecuación diferencial
dx
d2x
+ Q(t) x = R(t)
+ P (t)
dt2
dt
5. En cada caso compruebe que X1 Y X2 son soluciones del sistema dado y luego use el método de variación
de parámetros para determinar su solución general. (Suponga t > 0.)
−1 2 −1
1 − t2
t
t
0
(a) t X =
X +
, X2 =
, X1 =
3 −2
t
2t
3t−1
−1 2
3 −2
−2t
t
2t
(b) t X 0 =
,
X
X + 4
=
, X1 =
2
2 −2
t −1
2t−1
t2
(
t x0 = a x + b y
a b
6. (a) Muestre que si λ es un valor propio de la matriz
, entonces el sistema
c c
t y0 = c x + d y
A
tiene una solución no–trivial de la forma tλ
, para t > 0.
B
(
t x0 = 5 x − y
(b) Resuelva
t y0 = 3 x + y
Transformada de Laplace
1. Calcule, usando la definición, la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
(
sen t
si 0 ≤ t ≤ π
t
(a) f(t) = t
(b) f(t) = t e
(c) f(t) = sen at
(d) f(t) =
0
si t ≥ 0
2. Si F (s) es la transformada de Laplace de f(t), pruebe, a partir de la definición, que
t
L f( ) (s) = aF (as).
a
3. Clacule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
(a) f(t) = sen2 t
(b) f(t) = cos3 t
4. Clacule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
Z t
sen t
sen u
(a) f(t) =
(b) f(t) =
du
(c) f(t) = e−t t cos 2 t.
t
u
0
5. Clacule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
(a) f(t) = t2 cos t
(b) f(t) = t et cosh t


si 0 ≤ t ≤ 1
t,
6. Considere la función f(t) = 2 − t,
si 1 < t ≤ 2


0,
si t > 2.
nR
o
t
(a) L
f(u) du
0
(b) L t2 f(t)
14
Calcule:
7. (a) Determine la función y(t), si
t − y(t) =
Z
t
ew − e−w
y(t − w) dw
0
(b) Calcule y(t) = L−1
s e−πs
2
s + 2s +2
.
8. (a) Halle la transformada de Laplace de la función que se muestra en el siguiente gráfico:
(b) Halle la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en el siguiente gráfico:
(c) Calcule la transformada de Laplace de la función f(t) cuyo gráfico se muestra a continuación
0
9. Determine la función y(t) tal que y (t) + 6 y(t) + 9
Z
t
y(w) dw = 1;
0
10. Calcule L
t
Z
t
u sen (t − u) du .
0
15
siendo
y(0) = 0.
11. Calcule la transformada de Laplace de la función f(t) = sen t + | sen t |.
12. Pruebe que si a ≥ 0, entonces
Z
L
t
f(u) du
a
=
1
1
L { f} −
s
s
Z
a
f(u) du
0
13. Clacule la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
et − 1
t
(a) f(t) =
(b) f(t) =
1 − e−t
t
(c) f(t) =
sen2 t
t
(d) f(t) = t
Z
t
( t − u )3 eu du
0
14. Use la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas de valor inicial:
(a) y00 + y = t;
y(0) = −1, y0 (0) = 3.
(b) 4 y00 + y = −2;
1
.
2
y(0) = 0, y0 (0) = 1, y00 (0) = −1.
y(0) = 0, y0 (0) =
(c) y000 + y00 + 4 y0 + 4 y = −2;
(d) y000 − y00 + 9 y0 − 9 y = 0;
y(0) = 0, y0 (0) = 3, y00 (0) = 0.


Z t
t, si 0 ≤ t ≤ 1
0
(e) y (t) + 2 y(t) +
y(u) du = 2 − t, si 1 < t ≤ 2
dado que y(0) = 1..

0

0, si t > 2
(
4 t; si 0 ≤ t ≤ 1
(f) y00 (t) + 4 y(t) =
,
tal que
y(0) = 1; y0 (0) = 0.
4; si t > 1
15. Halle la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones:
(a) | sen t |.
Z t
(b)
u e2u sen u du.
0
(c) t2
Z
t
u sen u du.
1
(d) t et
Z
t
u
a
d
du
e2u sen u du.
16. Aplique la transformada de Laplace para resolver cada uno de los siguientes problemas de valor inicial:


si 0 ≤ t ≤ 2
0,
00
0
(a) y + 4y + 4y =
y(0) = 1, y0 (0) = −1

 2−t
e
,
si t > 2


si 0 ≤ t ≤ 1
1,
00
0
(b) y + 2y + y =
y(0) = 0, y0 (0) = 1


0,
si t > 1
(c) y00 + y = uπ (t)
y(0) = 1, y0 (0) = 0
17. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:
Z t
(a) y(t) +
(t − u) y(u) du = sen 2t.
0
16
(b) y(t) +
Z
(c) y(t) +
Z
(d) y(t) +
Z
(e) y(t) +
Z
t
(t − u) y(u) du = 1.
0
t
e−(t − u) y(u) du = cos t.
0
t
e−(t − u) y(u) du = sen 2t.
0
t
( t + 1 − u ) y(u) du = 1 + sen t.
0
18. Para cada una de las funciones F (s), que se dan a continuación, determine f(t) = L−1 [ F (s) ] (t)
e−2s
.
s −1
e−2s − 3 e−4s
(b) F (s) =
.
s +2
s e−3s
(c) F (s) = 2
.
s +4s+ 5
e−3s (s − 5)
(d) F (s) =
.
(s + 1)(s + 2)
(a) F (s) =
19. Resuelva el problema dado, aplicando la transformada de Laplace.
(a) y00 + y = u3(t)
y0 (0) = 1.
; y(0) = 0,
(b) y00 + y = t − (t − 4)u2(t)
y0 (0) = 1.
Z t
20. Encuentre la transformada de Laplace de la función f(t) =
(t − u) e3u du.
; y(0) = 0,
0
21. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones integrales o ı́ntegrodiferenciales, para y(t).
Z t
(a) y(t) + 3
y(u) sen (t − u) du = t.
(b) y(t) +
(c) y(t) +
0
t
Z
Z
(t − u) y(u) du = 1.
0
t
(t − u)2 y(u) du = t3 + 3.
0
(d) y0 (t) + y(t) −
Z
t
y(u) sen (t − u) du = −sen t,
y(0) = 1.
0
22. Determine la transformada de Laplace de las funciones siguientes:
(a) δ(t − 1) − δ(t − 3).
(b) t δ(t − 1).
(c) δ(t − π) sen t.
23. Resuelva los siguientes problemas de valor inicial:
(a) y00 + y = δ(t − π);
y(0) = 0,
(b) y00 + 6 y0 + 5 y = et δ(t − 1);
y0 (0) = 0.
y(0) = 0,
17
y0 (0) = 4.
(c) y00 + y = δ(t − 2 π);
y(0) = 0,
y0 (0) = 1.
24. Describa la red elétrica, que se ilustra en la figura, mediante un sistema de ecuaciones diferenciales y
resuélvalo asumiendo que las corrientes iniciales son todas nulas.
25. Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo, un metro por debajo de su posición de equilibrio
π
y comienza a vibrar. Después de
segundos, la masa es golpeada por un martillo. El problema queda
2
descrito por el siguiente problema de valor inicial:
π x00 + 9 x = −3 δ t −
2
x(0) = 1
x0(0) = 0;
siendo x(t) el desplazamiento con respecto de la posición de equilibrio en el instante t. Describa el
movimiento de dicha masa.
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
1. Determine la serie de Fourier de f en el intervalo indicado
(
0, si − π < x < 0
(a) f(x) =
1, si
0 ≤ x < π.
(
1, si − 1 < x < 0
(b) f(x) =
x, si
0 ≤ x < 1.
18
(
0, si − π < x < 0
(c) f(x) =
x2 , si
0 ≤ x < π.
(d) f(x) = x + π si − π < x < π.
(
0,
si − π < x < 0
(e) f(x) =
sen x, si
0 ≤ x < π.

0, si − 2 < x < −1



−2, si − 1 ≤ x < 0
(f) f(x) =

1, si 0 ≤ x < 1



0, si
1 ≤ x < 2.
(
1,
si − 5 < x < 0
(g) f(x) =
1 + x, si
0 ≤ x < 5.
2. Desarrolle cada una de las funciones siguientes en una serie de cosenos o de senos, según corresponda:
(
−1, si − π < x < 0
(a) f(x) =
1, si
0 ≤ x < π.
(b) f(x) = | x |, si − π < x < π.
(c) f(x) = x2, si − 1 < x < 1.
(d) f(x) = π2 − x2 ,
(
x − 1,
(e) f(x) =
x + 1,

1, si



−x, si
(f) f(x) =

x, si



1, si
si − π < x < π.
si − π < x < 0
si
0 ≤ x < π.
−2
−1
0
1
<
≤
≤
≤
x
x
x
x
<
<
<
<
−1
0
1
2.
(g) f(x) = | sen x |, si − π < x < π.
3. Desarrolle cada una de las funciones


1, si 0 < x < 1
2
(a) f(x) =
1

0, si
≤ x < 1.
2
π
(b) f(x) = cos x, si 0 < x < .
2

x,
si 0 < x <
(c) f(x) =
π − x, si π ≤ x <
2
(
x, si 0 < x < 1
(d) f(x) =
1, si 1 ≤ x < 2.
siguientes en una serie de cosenos y en una serie de senos:
π
2
π.
(e) f(x) = x2 + x, si 0 < x < 1.
4. Halle el desarrolle en serie de Fourier para cada una de las funciones siguientes:
19
(a) f(x) = x2, si 0 < x < 2 π.
(b) f(x) = x + 1, si 0 < x < 1.
5. Determine, si es posible, algunas soluciones para las ecuaciones en derivadas parciales que se dan a
continuación, por el método de separación de variables.
∂u
∂u
=
.
∂x
∂y
∂u
∂u
+
= u.
(b)
∂x
∂y
∂u
∂u
(c) x
= y
.
∂x
∂y
(a)
(d)
∂2u
∂2u
∂2u
+
= 0.
+
∂x2
∂x ∂y
∂y2
∂2u
∂u
−u =
,
2
∂x
∂t
∂2u
∂2u
(f) a2
=
.
∂x2
∂t2
∂2u
∂2u
(g)
+
= 0.
2
∂x
∂y2
∂2u
∂2u
(h)
+
= u.
2
∂x
∂y2
(e) k
k > 0.
6. Una varilla de longitud L se hace coincidir con el intervalo [ 0, L ]. Plantee el problema de valor frontera
para la temperatura u(x, t), si
(a) El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura cero y el derecho está aislado. La temperatura
inicial de la varilla en el punto x es f(x).
(b) El extremo izquierdo se mantiene a la temperatura 100 y hay transmisión de calor desde el extremo
derecho hacia el ambiente, el cual se encuentra a temperatura cero. La distribución de temperatura
inicial en la varilla es f(x).
7. Una cuerda de longitud L se hace coincidir con el intervalo [ 0, L ]. Plantee el problema de valor frontera
para el desplazamiento u(x, t), si
(a) Los extremos se mantienen fijos y la cuerda parte del reposo desde el desplazamiento inicial x (L − x).
(b) El extremo izquierdo se mantiene fijo, pero el extremo derecho se mueve de acuerdo con la función
sen π t. La cuerda parte del reposo desde un desplazamiento inicial f(x). Para t > 0, las vibraciones
se amortiguan con una fuerza proporcional a la velocidad instantanea.
8. Plantee el problema para la temperatura u(x, y) del estado estable de una placa rectangular delgada que
se hace coincidir con la región R = { (x, y) | 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 2 }, si el lado izquierdo y la cara
inferior de la placa están aislados; la cara superior se mantiene a temperatura cero y el lado derecho a la
temperatura f(y).
9. Una varilla de longitud L se hace coincidir con el intervalo [ 0, L ]. Resuelva el problema de transmisión
de calor,
∂2u
∂u
k
=
,
0 < x < L,
t > 0
2
∂x
∂t
20
sujeto a las condiciones
u(0, t) = 0
u(L, t) = 0


1,
u(x, 0) =

0,
L
0 < x <
2
L
< x < L
2
10. Resuelva la ecuación de onda
∂2u
∂2u
=
,
∂x2
∂t2
a2
0 < x < L,
t > 0
sujeta a las condiciones siguientes
(a)
u(0, t) = 0,
u(x, 0) =
u(L, t) = 0
∂u = 0
∂t t=0
1
x ( L − x ),
4
(b)
u(0, t) = 0,
u(L, t) = 0

3


L






u(x, 0) = 1,








3
L
L
3
x, 0 ≤ x <
∂u = 0
∂t t=0
L
2L
≤ x <
3
3
( L − x ),
2L
≤ x ≤ L
3
11. Resuelva la ecuación de Laplace
∂2u
∂2u
+
= 0,
∂x2
∂y2
0 < x < a,
0 < y < b
con las condiciones de frontera siguientes:
(a)
u(0, y) = 0
u(a, y) = 0
u(x, 0) = 0
u(x, b) = f(x)
(b)
u(0, y) = 0
u(a, y) = 0
u(x, 0) = f(x)
u(x, b) = 0
21
(c)
u(0, y) = 0
∂u = 0
∂u y=0
u(1, y) = 1 − y
∂u = 0
∂u (se considera a = 1)
(se considera b = 1)
y=1
12. Aplique el método de separación de variables para resolver la ecuación en derivadas parciales
∂u
∂2u
,
=
∂t
∂x2
u(x, 0) = sen x,
0 < x < π;
u(0, t) =
∂u
(π, t) = 0,
∂x
t > 0.
Solución de ecuaciones diferenciales por medio de series
Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales mediante desarrollos en serie de potencias alrededor del punto
x0 = 0.
1. y00 + y = 0.
2. y00 − 4 y = 0.
3. y00 + x y0 + y = 0.
4. (1 + x) y0 − p y = 0,
y(0) = 1.
5. (1 + x2 ) y00 − 4 x y0 + 6 y = 0.
6. y00 + x2 y0 + 2 x y = 0.
7. y00 − 3 x y = 0.
8. y00 + 3 x y0 + 3 y = 0.
9. y000 − 3 x y0 − y = 0.
10. 2 x (x + 1)y00 + 3 (x + 1) y0 − y = 0.
11. 2 x2 (1 − x) y00 − x (1 + 7x) y0 + y = 0.
12. x2 y00 + x y0 + x2 y = 0.
13. 4 x2 y00 + (1 − 2x) y = 0.
14. x2 y00 + 2x(x − 2) y0 + 2(2 − 3x) y = 0.
15. x2 y00 + x y0 + (x2 − 1) y = 0.
16. 2 x2 y00 + (3x − 2x2 ) y0 − (x + 1) y = 0.
17. 2 x2 y00 + x (2x − 1) y0 + y = 0.
18. 8 x2 y00 − 2 x (x − 1) y0 + (x + 1) y = 0.
22