MATE 1214 – PARCIAL III Profesor: Stefano Ferri Tiempo: 85`. (1.) (i
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MATE 1214 – PARCIAL III Profesor: Stefano Ferri Tiempo: 85’. (1.) (i.) Muestre que se tiene que: sin(x) = eix − e−ix . 2i (ii.) Calcule sin(i) y escribalo en la forma α + βi con α y β números reales. (2.) Escriba la serie de Taylor de la función f (x) = (x − 1)ex centrata en x0 = 1 y determine su radio e intervalo de convergencia. (N.B. No se pide demostrar que la función es igual a su serie de Taylor.) (3.) Por medio de la sustitución y(x) = v(x) · x resuelva la siguiente ecuación diferencial: (x − y) · y ′ = x + y. (4.) Resuelva la siguiente ecuación diferencial: y ′ + 2y = sin(x). ∞ X x2n es solución de la ecuación diferencial (5.) (i.) Muestre que la funcion y(x) = (2n)! n=0 y ′′ − y = 0. (ii.) Resuelva el siguiente problema de valor inicial: y ′′ − y = x2 + e; y ′ (0) = 1; ′′ y (0) = 0. Observación: Si utiliza la solución de (ii.) para contestar (i.) o la solución de (i.) para contestar (ii.) explique bien.
