1. Determinar la ecuación del cono con directriz la curva C : { x+y−z

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
II ciclo del 2008
MA–1003 Cálculo III
27 de setiembre del 2008
Primer Examen Parcial
Este es un examen de desarrollo, por lo tanto debe mostrar todos los cálculos y razonamientos. El examen consta de 5 preguntas, cada una con un valor de 20 puntos. El tiempo para
realizarlo es de 3 horas. No se admitirán reclamos en aquellas porciones de las respuestas
que sean escritas con lápiz. No se permite el uso de ningún tipo de calculadora.
1. Determinar la ecuación del cono con directriz la curva C :
x+y−z = 0
y vértice
x2 + y2 − 4z2 = 16
el punto V donde la superficie S : z = x2 − xy + y2 − 2x + y tiene plano tangente horizontal.
2. Dada la curva C :
x2 − 2x + y2 = 0
x+y−z = 1
:
(a) Mostrar que una parametrización de C es ~r (θ ) = (1 + cos θ , sen θ , cos θ + sen θ ), con
0 ≤ θ < 2π.
(b) Hallar, en el punto ~r π2 = (1, 1, 1): las ecuaciones paramétricas de la recta tangente
a C; la ecuación del plano normal; y la curvatura.
3. Transformar la ecuación
x2
2
∂ 2z
∂ 2z
2∂ z
+
2xy
+
y
=0
∂ x2
∂x∂y
∂ y2
según el cambio de variables u = x, v = yx−1 , asumiendo que
∂ 2z
∂ 2z
=
.
∂u∂v ∂v∂u
4. Supóngase que la ecuación F(xy, y3 − 3xyz) = 0, con F una función diferenciable, define
implı́citamente z = f (x, y). Comprobar que se verifica la igualdad
x2
∂z
∂z
− xy
+ y2 = 0.
∂x
∂y
5. Si D~u f (x0 , y0 ) representa la derivada direccional de la función f (x, y) en la dirección√del
vector unitario ~u = (a, b), evaluada en el punto (x0 , y0 ), y si D~u f (3, 2) = 1, D~v f (3, 2) = 8,
calcular D~w f (3, 2) cuando
√ √
3 4
2
2
1 2
~u =
,
, ~v =
,−
y ~w = − √ , √ .
5 5
2
2
5 5