Matemáticas I - Grupo 2 Relación de ejercicios del tema 6

Matemáticas I - Grupo 2
Relación de ejercicios del tema 6
1. Hallar y representar gráficamente los dominios de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = ln(x2 − 2y)
√
(b) f (x, y) = 4 − x2
xy
(c) f (x, y) =
xy − 3
(d) f (x, y) = log2 (xy)
p
(e) f (x, y) = 4 + x2 − y 2
x+y
(f) f (x, y) =
x+y−2
2. Sabiendo que
lim
f (x, y) = 5
(x,y)→(a,b)
y
lim
g(x, y) = 2,
(x,y)→(a,b)
calcular los siguientes lı́mites:
(a)
lim
[3f (x, y) − g(x, y)]
(c)
f (x, y)
(x,y)→(a,b) 3g(x, y)
[f (x, y)g(x, y)]
(d)
f (x, y) − g(x, y)
(x,y)→(a,b) f (x, y) + g(x, y)
(d)
arcsen(x/y)
1 + xy
(x,y)→(0,1)
(x,y)→(a,b)
(b)
lim
(x,y)→(a,b)
lim
lim
3. Calcular los siguientes lı́mites:
(a)
lim
(x + 3y 5 )
(x,y)→(−3,1)
x+y
(x,y)→(2,1) x − y
x
√
(c)
lim
x+y
(x,y)→(1,1)
(b)
lim
(e)
lim
lim
y cos(xy)
(x,y)→(π/4,2)
(f)
ex+y
lim
(x,y)→(−1,1)
4. Utilizando coordenadas polares, calcula el lı́mite cuando (x, y) tiende a (0, 0) de las siguientes funciones:
sen(x2 + y 2 )
x2 + y 2
2 +y 2
x
e
−1
(b) f (x, y) =
2
x + y2
(a) f (x, y) =
(c) f (x, y) =
x3 + y 3
x2 + y 2
5. Demuestra que el lı́mite cuando (x, y) tiende a (0, 0) de las siguientes funciones no existe:
1
x+y
x−y
x+y
(b) f (x, y) = p
x2 + y 2
(c) f (x, y) =
(a) f (x, y) =
(d) f (x, y) =
y
x + xy
x2
2xy
− 4y 2
6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
x+y
ex + ey
(
xy
si (x, y) 6= (0, 0)
2
x
+ y2
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)

 x + y si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

0
si (x, y) = (0, 0)
 2
 x + 2xy 2 + y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2

1
si (x, y) = (0, 0)
p


x2 + y 2
 sen
p
si (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) =
x2 + y 2


0
si (x, y) = (0, 0)
x − 1 si x ≥ 1
f (x, y) =
0
si x < 1
(a) f (x, y) =
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g) f (x, y) = (h ◦ g)(x, y) donde h(t) = t3 y g(x, y) = x + y
(h) f (x, y) = (h ◦ g)(x, y) donde h(t) = 1/t y g(x, y) = x + y
7. Esboza la gráfica de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = 5
(c) f (x, y) = y 2
(b) f (x, y) = x
(d) f (x, y) = ex
8. Determina de qué tipo de superficies se trata y encontrar, cuando se pueda, una función
cuya gráfica coincida con la superficie:
(a) x2 + y 2 + z 2 = 7
(i) (x − 1)2 + 2y 2 + (z + 3)2 = 7
(b) x2 + y 2 = 7
(j) (x − 1)2 + 2y 2 = 7
(c) x2 + y 2 − z 2 = 7
(k) (x − 1)2 + 2y 2 − (z + 3)2 = 7
(d) x2 + y 2 − z 2 = −7
(l) (x − 1)2 + 2y 2 − (z + 3)2 = −7
(e) x + y + z = 7
(m) x + 2y + z + 3 = 7
(f) x2 + y 2 − z = 7
(n) (x − 1)2 + 2y 2 − z + 3 = 7
(g) x2 − y 2 − z = 7
(o) (x − 1)2 − 2y 2 − z + 3 = 7
(h) x2 + y 2 − 3z = 0
(p) (x − 1)2 + 2y 2 − 3z = 0
2
9. Dibujar un mapa de contorno de las siguientes funciones:
(c) f (x, y) = 6 − 2x − 3y
(a) f (x, y) = x
(b) f (x, y) =
ex
(d) f (x, y) = 4x2 + y 2
10. Un fabricante estima que su función de producción es f (x, y) = 100x0.6 y 0.4 , donde x es el
número de unidades de trabajo e y el de unidades de capital. Pruébese que cuando se triplican las unidades de trabajo y las unidades de capital, entonces se triplica la producción.
¿Qué ocurre con la producción cuando las unidades de trabajo y de capital se multiplican
por el mismo número?
11. Una empresa construye depósitos de propano adosando dos hemisferios de una esfera a
los extremos de un cilindro. Definir una función que exprese el volumen del depósito en
términos de la altura y del radio del cilindro.
12. Hallar el vector gradiente de las siguientes funciones en los puntos en los que exista:
(a) f (x, y) = x2 + y 2 sen(xy)
(d) f (x, y, z) = x2 − y 2 + 2z 2
(b) f (x, y) = ex cos(y)
(e) f (x, y, z) = log(x2 + 2y 2 − 3z 2 )
p
(f) f (x, y) = x2 + y 2
(c) f (x, y, z) = x2 y 3 z 4
13. Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los puntos y respecto a los vectores
que se indican:
(a) f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 en el punto (1, 1, 0) respecto del vector (1, −1, 2)
(b) f (x, y) = xy en el punto (1, 1) respecto del vector (1, 0)
1 1
(c) f (x, y) = ex sen(y) + ey sen(x) en el origen respecto del vector ( √ , √ )
2 2
14. Comprobar en cada caso que las derivadas fxyy , fyxy y fyyx son iguales
(a) f (x, y, z) = xyz
(b) f (x, y, z) = x2 − 3xy + 4yz + z 3
(c) f (x, y, z) = e−x sen(yz)
2z
(d) f (x, y, z) =
x+y
15. En cada caso, hallar el valor máximo y el valor mı́nimo de las derivadas direccionales de
f en (x0 , y0 ), ası́ como las direcciones para las cuales se alcanzan dichos valores.
p
√
√
(a) f (x, y) = x2 − 2 + y 2 − 2, (x0 , y0 ) = (2, 3)
(b) f (x, y) = y ln(3 − x2 + y), (x0 , y0 ) = (2, 2)
3
16. (a) ¿Cuánto tiene que valer a para que el máximo de las derivadas direccionales de
f (x, y) = ax + y 2 en el punto (1, 2) sea 20?
(b) Hallar los valores de a y de b para que la derivada direccional
mı́nima de la función
√
ax+by
f (x, y) = e
cos(x + y) en el punto (0, 0) sea −3 2 y se alcance en la dirección
de la bisectriz del primer cuadrante.
(c) Hallar los valores de a y de b para que el máximo de las derivadas direccionales de
f (x, y) = 25 − ax2 − by 2 en (3, −4) sea 10 y se alcance en la dirección de (3, −4) a
(0, 0).
17. Sea S la superficie dada por la ecuación z = x2 + 2y 2 .
(a) Obtener una función de dos variables cuya gráfica sea S.
(b) ¿Qué ocurre con las derivadas direccionales de f en el punto (0, 0)?
8y
, dibujar la curva de nivel {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) =
1 + x2 + y 2
2}. Hallar, y representar gráficamente
√ sobre la curva anterior, la dirección de mayor
crecimiento
de
la
función
en
el
punto
(
3, 2) y la dirección en la que la derivada direccional
√
en ( 3, 2) es nula.
18. Dada la función f (x, y) =
19. La temperatura de una tapia viene dada por T (x, y) = xy(1 − x)(2 − y), donde x ∈ [0, 1]
1
e y ∈ [0, 2]. Si una lagartija se encuentra en el punto ( , 1), ¿en qué dirección y sentido
4
debe moverse para calentarse lo más rápido posible?
20. La altura de una montaña respecto al nivel del mar viene dada por la expresión h(x, y) =
1000 − 0.01x2 − 0.05y 2 , donde x representa la dirección este e y la dirección norte. Un
montañero está en el punto de la montaña de coordenadas (200, 100).
(a) Analizar si asciende ó desciende cuando camina en las direcciones norte, noreste y
sur.
(b) Hallar la dirección de ascenso y descenso más rápido.
(c) Hallar la dirección para la cual no cambia la altura.
21. El potencial eléctrico V en un punto en un sistema coordenado rectangular viene dado por
V (x, y, z) = x2 + 4y 2 + 9z 2 . Hallar la razón de cambio de V en (2, −1, 3) en la dirección
de (2, −1, 3) al origen. Hallar la dirección en la que la razón de cambio de V es máxima
en (2, −1, 3). Representar gráficamente los puntos de potencial 25.
4