Práctico 6 - Eva - Universidad de la República

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Cálculo III
Licenciatura en Matemática
Primer semestre 2016
Práctico 6: Variedades diferenciables
1. Sea Br = {x ∈ R2 : ||x|| < r} con r > 0.
a) Mostrar que la función f : Br → R2 definida de la siguiente forma
rx
f (x) = p
2
r − ||x||2
es un difeomorfismo (i.e, una biyección diferenciable de inversa diferenciable) entre
Br y R2 .
b) Sea S una superficie de R3 . Deducir que todo punto de S tiene un entorno difeomorfo
a todo R2 y que, en consecuencia, las parametrizaciones pueden ser elegidas con
dominio en R2 .
2. Encontrar ejemplos de abiertos conexos de R2 que no sean difeomorfos. Observar que en
R todos los abiertos conexos son difeomorfos.
3. Hallar difeomorfismos entre las siguientes superficies: el cilindro {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 =
1}, el cono {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 = z 2 , z > 0} y el plano menos un punto R2 \ {(0, 0)}.
Observar que el cono con el vértice {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +y 2 = z 2 , z ≥ 0} no es una variedad.
4. Se considera en la esfera S 2 el polo norte N = (0, 0, 1) y el polo sur (0, 0, −1). Identificamos
R2 con el plano xy ⊂ R3 mediante (u, v) ↔ (u, v, 0). Sea XN : R2 → S 2 \ {N } la función
que lleva cada punto Q del plano xy en la intersección de S 2 con la recta que une Q con
N . El mapa XN se llama proyección estereográfica.
a) Mostrar que XN : R2 → S 2 \ {N } y (XN )−1 : S 2 \ {N } → R2 están definidas por:
2u
2v
u2 + v 2 − 1
XN (u, v) =
,
,
u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1
x
y
−1
(XN ) (x, y, z) =
,
1−z 1−z
b) Probar que XN es una parametrización.
c) Observar que mediante la proyección estereográfica se puede cubrir la esfera con dos
entornos coordenados.
d ) Determinar la imagen por la proyección estereográfica (desde el polo norte) de los
siguientes subconjuntos de R2 .
R2 .
B = {x : ||x|| ≤ 1}
S1
Rectas por el origen.
5. Probar que si f : R3 → R es una función diferenciable, a ∈ R es un valor regular de f y
S = f −1 ({a}), entonces para todo p ∈ S el plano tangente es Tp S = {∇f (p)}⊥ .
6. Dado p ∈ S 2 , probar que Tp S 2 = {p}⊥ = {v ∈ R3 : hv, pi = 0}.
7. Hallar el espacio tangente al hiperboloide de una hoja S = {(x, y, z) : x2 + y 2 − z 2 = 1}
en los puntos de la forma p = (x, y, 0). Mostrar que son todos paralelos a eje z. Hallar la
intersección del plano que pasa por p y es paralelo a Tp S con S y mostrar que consiste en
dos rectas.
8. Dada una esfera
√ de radio 2 centrada en el origen, hallar la ecuación del plano tangente en
el punto (1, 1, 2) considerando la esfera como:
a) Una superficie parametrizada por Φ(θ, φ) = (2 cos θ sin φ, 2 sin θ sin φ, 2 cos φ).
b) Un conjunto de nivel de la función f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 .
p
c) La gráfica de g(x, y) = 4 − x2 − y 2 .
9. Si S es una superficie en R3 y p ∈ S se define la recta normal a S en p como la recta
que pasa por p y es perpendicular a Tp S. Mostrar que si todas las rectas normales a una
superficie conexa pasan por el origen entonces la superficie esta contenida en una esfera.
Observar que lo anterior no es cierto si S no es conexa.
10. Sea S ⊂ R3 una superficie conexa y f : S −→ R diferenciable. Mostrar que si dp f = 0 para
todo p ∈ S entonces f es constante.
11. Sea M ⊂ Rk una variedad diferenciable. Mostrar que si U es abierto en M , entonces U es
una variedad diferenciable. Además, si p ∈ U entonces Tp U = Tp M . Finalmente, si N ⊂ Rl
es otra variedad y f : M −→ N es suave, entonces dp f = dp (f |U ).
12. Sea S ⊂ R3 una superficie y p0 ∈ R3 fijo. Definamos
f : S −→ R, f (p) =k p − p0 k2
a) Probar que f es diferenciable y que para todo p ∈ S se cumple dp f (v) = 2 < p−p0 , v >
si v ∈ Tp S.
b) Si p0 ∈
/ S, definimos g : S −→ R, g(p) =k p − p0 k. Mostrar que g es diferenciable y
< p − p0 , v >
que dp g(v) =
.
k p − p0 k
13. Sea SL(2, R) := {A ∈ M (2, R) : det(A) = 1} ⊂ R4 . Probar que es una variedad diferenciable de dimensión 3 y hallar TId SL(2, R).