Tarea 16

Problemas
Análisis de Varias Variables
Tarea 16
Problema 1. Demuestra que un subespacio de dimensión k de Rn es una variedad diferenciable de dimensión k.
Problema 2. Si M k ⊂ Rn es una variedad diferenciable y x ∈ M , muestra que existe un
abierto V ⊂ Rn , x ∈ V , y una función g : V → Rn−k tal que V ∩ M = g −1 ({0}) y g 0 (y) tiene
rango k para todo y ∈ V con g(y) = 0.
Problema 3. Sea g : R2 → R dada por g(x, y) = x2 − y 2 . Explica por qué el conjunto
g −1 ({0}) no es una variedad diferenciable en dimensión 1 en R2 .
Problema 4. Si M k una variedad diferenciable en Rn , k < n, muestra que M tiene medida
0.
Problema 5. Sea M k una variedad diferenciable en Rn tal que
M ⊂ {x ∈ Rn : x1 = 0, xi > 0, i = 2, . . . , n}.
Sea N el conjunto que resulta al revolver M alrededor del eje xn . Muestra que N es una
variedad diferenciable de dimensión k + 1. (Ve como ejemplo la figura 1.)
Figura 1: El toro T2 es el resultado de revolver un cı́rculo en el plano yz alrededor del eje z.
Problema 6. Sea A ⊂ Rn un conjunto abierto y g : A → R diferenciable, g 0 (x) 6= 0 para
x ∈ A y M = g −1 ({0}) 6= ∅. Muestra que el espacio tangente en x0 ∈ M es igual a
{x ∈ Rn : (x − x0 ) · grad g(x0 ) = 0}.
Es decir, Mx0 es el hiperplano en Rnx0 normal a grad g(x0 ), el gradiente de g en x0 .
Problema 7. Sea f : Rn → Rm y considera su gráfica G = {(x, y) ∈ Rn+m : y = f (x)}.
Muestra que G es una variedad diferenciable de dimensión n si, y sólo si, f es diferenciable.
Problema 8. Sea G ⊂ R3 la gráfica de la función diferenciable f : R2 → R. Calcula el
espacio (plano) tangente en (x0 , y0 , z0 ) ∈ G.
Problema 9. En general, si G ⊂ Rn+1 es la gráfica de la función diferenciable f : Rn → R,
normal al
muestra que el espacio tangente en x0 ∈ G está dado por el hiperplano en Rn+1
x0
vector n = (− grad f (x10 , . . . , xn0 ), 1).
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