Análisis de los reactivos de la Evaluación de Concepciones Físicas

Análisis de los reactivos de la Evaluación de Concepciones Físicas
(Efraín Soto Apolinar)
3 Reactivo 1:
O
Tiempo
O
Tiempo
O
Tiempo
O
D
Tiempo
Aceleración
C
Aceleración
B
Aceleración
A
Aceleración
Aceleración
Las figuras adjuntas muestran las gráficas de aceleración en función del tiempo para
cinco objetos. Todos los ejes tienen la misma escala. ¿Cuál de los objetos ha experimentado un mayor cambio de velocidad durante el intervalo de tiempo considerado?
O
E
Tiempo
Para darse cuenta que la opción correcta es la (B), basta observar que el área bajo la
curva es mayor en esa gráfica. Sin embargo, los estudiantes no siempre tienen esa idea
aprehendida.
Muchos estudiantes tienen la percepción de que la aceleración de un objeto se comportan de
una manera semejante a la velocidad, aunque no sean equivalentes; o bien, que la aceleración constante ocasiona un cambio en la velocidad de un objeto menor a una aceleración
creciente. Obviamente, esto no siempre es cierto.
Por una parte, la opción (A) sugiere crecimiento de la aceleración, por lo que muchos
estudiantes supondrán que, como la aceleración va creciendo en el intervalo mostrado, en
este caso se tiene el mayor incremento en la velocidad.
En la opción (B), por el contrario, se puede ver que la aceleración no crece ni decrece, es
constante, por lo cual los estudiantes pueden suponer que el cambio en la velocidad no es
significativo, comparado con aquellos en que la aceleración es creciente o peor aún, que no
existe un cambio en la velocidad.
La opción (C) es la menos probable que elijan; esto debido a que la aceleración es decreciente en el intervalo considerado. Pensarán que es el caso en el cual el cambio en la
velocidad es mı́nimo de todos los ejemplos mostrados.
La opción (D) será, junto con la opción (B) entre las que se confundirán más, por su
cualidad monotonamente creciente. Más aún, en esta opción (D) se ve que crece más
rápidamente que en la opción (B). Posiblemente esto ocasione que más estudiantes elijan
esta opción.
1
Finalmente, la opción (E) podrı́a ser candidata por algunos estudiantes, pero debido a que
empieza a crecer la aceleración, y después decrece, darán preferencia a aquellas opciones en
las cuales la aceleración nunca decrezca. Esto es, preferirı́an elegir la opción (B), que es la
correcta, en lugar de esta, pero más que la opción (B), indicarán la alguna de las opciones
(A) o (D).
3 Reactivo 4:
Un ascensor se mueve desde un zótano hasta el décimo piso de un edificio. La masa del
ascensor es de 1 000 kg y se mueve tal como se muestra en la gráfica de velocidad−tiempo
adjunta. ¿Qué distancia recorre durante los primeros tres segundos de movimiento?
Velocidad (m/s)
(A) 0.75 m
(B) 1.33 m
(C) 4.0 m
(D) 6.0 m
5
4
3
2
1
0
0
(E) 12.0 m
1
2
3
4 5 6 7
Tiempo (s)
8
9 10
Conociendo que el área debajo de la gráfica de velocidad−tiempo corresponde a la distancia recorrida, es fácil calcular la distancia que el ascensor recorre durante los primeros 3
segundos.
De la gráfica se observa que en el intervalo t ∈ (0, 3), la gráfica forma un triángulo, con
base 3 y altura 4. El área de este triángulo es 6 unidades cuadradas; este valor, en metros
corresponde a la distancia recorrida por el ascensor. Luego la opción correcta es la (C).
Sin embargo, algunos estudiantes recorren muy frecuentemente a fórmulas para la solución
de problemas. Enseguida se explica la forma como se resolverı́a usando la fórmula de caı́da
libre:
d=
1 2
at
2
De la gráfica se observa que el ascensor tiene una aceleración constante en el intervalo
t ∈ (0, 3), que es el de interés. Esto es, la pendiente de la curva velocidad−tiempo, no
cambia en ese intervalo (es un segmento de recta).
Precisamente la pendiente de la recta es igual a la aceleración del ascensor: a = 4/3 m/s2 ≈
2
1.333 m/s .
La distancia recorrida, se calcula con:
1
1
d = at 2 =
2
2
4
2
(3)2 = · (9) = 6
3
3
2
porque la velocidad inicial del elevador es cero.
En primer lugar, algunos estudiantes querrán utilizar una fórmula en la cual se requiera la
masa del objeto para calcular la distancia. El dato m = 1 000 kg es un distractor en este
sentido, pues no se requiere para contestar acertadamente el reactivo.
En segundo lugar, otros estudiantes pueden confundir la gráfica de velocidad−tiempo con
la gráfica de distancia−tiempo; por lo que algunos podrı́an sugerir que la distancia recorrida
en los primeros 3 segundos fue de 5 metros; sin embargo, esta respuesta no se encuentra
entre las opciones, por lo que se trata de otro distractor.
Evidentemente, la primera opción corresponde al recı́proco de la pendiente de la gráfica de
velocidad−tiempo en el intervalo de interés. Entonces, algunos estudiantes que sepan que
la pendiente de esa recta sea la aceleración del ascensor, pueden confundirse con el cálculo
de la pendiente al confundir la fórmula:
Pendiente = a =
∆y
∆x
Si ellos escriben ∆x en el numerador y ∆y en el denominador, obtendrán como resultado
0.75 de aceleración, lo cual corresponde a la opción (A). Es claro que el estudiante debe
comprender que el problema pide la distancia no la aceleración; por lo que esto también
servirá de distractor entre las opciones.
La opción (B) corresponde precisamente a la aceleración a que es sometido el ascensor. En
este caso, el estudiante habrá calculado correctamente el valor de la pendiente de la recta
en el intervalo de interés, que es igual a la aceleración del ascensor, pero confundirá este
valor con el resultado del problema, el cual no es correcto.
La opción (C) donde se propone la respuesta 4 metros, es incorrecta; algunos estudiantes
podrı́an confundir la gráfica dada (velocidad−tiempo) con la de distancia−tiempo. Si esta
fuera la gráfica dada, precisamente en t = 3 segundos se tendrı́a d = 4 metros; sin embargo,
esto no es ası́.
La última opción (E) corresponde al doble del área debajo de la curva. En este caso,
el estudiante pudo haber conocido que el área debajo de la gráfica de velocidad−tiempo
corresponde a la distancia recorrida por el ascensor, sin embargo, al realizar el cálculo del
área del triángulo olvidó multiplicar por un medio.
3 Reactivo 6:
La gráfica adjunta muestra la velocidad en función del tiempo para un automóvil de masa
1.5 × 103 kg. ¿Cuál era su aceleración una vez transcurridos los primeros 90 segundos?
3
40
Velocidad (m/s)
(A) 0.22
m/s2
(B) 0.33 m/s2
(C) 1.0 m/s2
(D) 9.8 m/s2
(E) 20 m/s2
30
20
10
0
0
30
60
90 120 150 180
Tiempo (s)
La solución de este problema se simplifica al considerar que la pendiente de la gráfica
de velocidad es igual a la aceleración del objeto considerado. En este caso, en el instante
t = 90, la velocidad del objeto sufre aceleración constante. Esto se hace evidente al observar
que este punto se encuentra en un segmento de recta, por lo que el cálculo de la aceleración
se reduce a calcular una pendiente.
En este caso,
Pendiente =
∆y
30 − 10
20 2 1
=
=
= = ≈ 0.333
∆x 120 − 60 60 6 3
Entonces, la aceleración del automóvil es de 0.333 m/s2 y la opción correcta a este reactivo
es la opción (B).
La fórmula para calcular la aceleración, dadas la velocidad inicial v i , la velocidad final v f
y el intervalo de tiempo ∆t que requiere para ese cambio de velocidad, supuesto que la
aceleración sea constante, es:
a=
v f − vi
∆t
En este caso, cuando t = 60 s, la velocidad (inicial) es: v i = 10 m/s; y cuando t = 120
s, la velocidad (final) es: v f = 30 m/s. Sustituyendo en la fórmula dada anteriormente,
obtenemos:
a=
v f − vi
∆t
=
30 − 10
20 1
=
= ≈ 0.333
120 − 60 60 3
que es igual al valor obtenido anteriomente, porque en realidad estamos calculando la
pendiente del segmento de recta de la gráfica velocidad−tiempo en el intervalo t ∈ (60, 120),
que es precisamente como argumentamos usando el primer método.
La primera opción (A) servirá para que aquellos alumnos que calculen la pendiente de la
gráfica dividiendo la ordenada entre la abscisa, encuentren «una opción correcta». En este
caso, obtendrı́amos:
a=
y
20 2
=
= ≈ 0.222
x 90 9
En este caso, geométricamente, el estudiante está forzando la gráfica a una recta que pasa
por el origen, siendo este el caso de aceleración constante, iniciando del reposo.
4
En la opción (C) se da la respuesta 1.0 m/s2 . Esta opción puede ser elegida por los
estudiantes al no observar que las escalas en los ejes no son iguales. Al ver que en el intervalo
t ∈ (60, 120) la gráfica tiene un ángulo de 45◦ , notarán rápidamente que la pendiente de la
gráfica en t = 90 es 1, entendiendo que la aceleración tiene ese valor.
La opción (D) indica la aceleración debida a la gravedad: 9.8 m/s2 . Este es un distractor
que atraera a aquellos estudiantes que no hayan comprendido el tema, al igual que aquellos
que confundan la aceleración horizontal (debida a la fuerza del motor del coche) con la
aceleración vertical (debida al peso del automóvil).
La última opción (E) corresponde a la ordenada de la gráfica velocidad−tiempo. En este
caso, el estudiante confundirı́a ésta con la gráfica de aceleración−tiempo.
3 Reactivo 17:
La velocidad en el instante t = 3 vale aproximadamente:
15
Posición (m)
(A) −3.3 m/s.
(B) −2.0 m/s.
(C) −0.67 m/s.
10
(D) 5.0 m/s.
5
0
(E) 7.0 m/s.
1
2
3
4
5
Tiempo (s)
En este problema debemos observar que t = 3 está dentro de un intervalo en el cual, la
aceleración es constante. Por eso, calculando la pendiente de este intervalo de la gráfica
posición−tiempo, sabremos la velocidad en t = 3.
El segmento al que nos referimos tiene sus extremos en los puntos P(2, 10) y (5, 0). La
pendiente de este segmento de recta es:
Pendiente =
0 − 10
10
= − ≈ −3.333
5−2
3
Entonces, la opción correcta es la primera: (A).
Si utilizamos la fórmula para calcular la velocidad, observamos que cuando t = 2 segundos
el objeto que se mueve se encuentra en la posición x = 10 metros, y cuando t = 5 segundos
el objeto está en x = 0 metros. Luego,
v=
x f − xi
t f − ti
=
0 − 10
10
= − ≈ −3.333 m/s
5−2
3
5
La opción (B) es un distractor.
La opción (C) será elegida por aquellos estudiantes que se basen en la cuadrı́cula auxiliar
incluida en el gráfico. Al no observar que las escalas en los ejes es distinta, la pendiente
del segmento de recta será calculado como:
Pendiente =
−2
∆y
=
≈ −0.6666
∆x
3
Sin embargo, estos estudiantes, posiblemente sı́ conozcan la relación entre la pendiente de
la gráfica posición−tiempo, y la velocidad del móvil.
La opción (D) va a corresponder a aquellos estudiantes que confundan, no solamente la
gráfica de posición−tiempo con velocidad−tiempo, sino que además, consideren que los
valores de la velocidad se encuentran en el eje horizontal, en lugar del eje vertical, como
debe ser.
La opción (E) corresponde al caso en que el estudiante confunda el gráfico dado (posición−
tiempo) con el de velocidad−tiempo. Pues en t = 3, al gráfico dado corresponde aproximadamente x = 7.0 metros.
Información para usuarios del sitio de materiales:1
www.aprendematematicas.org.mx
1 Los
reactivos analizados fueron extraidos del test publicado en el artículo: Robert J. Beichner, Testing student
interpretation of kinematics graphs, American Journal of Physics 62 (8), 750-762 (1994).
6