Presentación

Seminario de Audio
2005
Ernesto López
Martín Rocamora
Análisis espectral
Representación temporal:
Representación espectral:
Motivación
La respuesta de un sistema LTI a una sinusoide es
una sinusoide de igual frecuencia. Sólo se modifica
la amplitud y la fase.
Muchos sonidos se producen a partir del movimiento
armónico simple del elemento generador.
Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier
Señales continuas y aperiódicas
Series de Fourier
Señales continuas y periódicas
Transformada de Fourier
de tiempo discreto (DTFT)
Señales discretas y aperiódicas
Transformada Discreta de
Fourier (DFT)
Señales discretas y periódicas
Análisis de finitas muestras
¿Cómo anlizamos un conjunto
de muestras finito?
Extendiendo con muestras nulas (DTFT).
Repitiendo el conjunto
de muestras (DFT).
Cálculo en una computadora
La DTFT no es aplicable:
Se necesitan infinitas sinusoides para sintetizar una
señal aperiódica.
Las computadoras pueden trabajar únicamente con
un número finito de señales discretas.
Para analizar en una computadora un conjunto de
muestras finito, se repiten y se utiliza la DFT.
Transformada Discreta de Fourier
Señal digital y descomposición en sinusoides
Cosenos
Senos
Transformada Discreta de Fourier
donde X(k) y x(n) son números complejos que representan,
el k-ésimo elemento de la DFT
el n-ésimo elemento de la señal
La DFT Real
Entrada – Señal real discreta x[n] de N puntos
Salida – Dos señales reales ReX[k] y ImX[k] de N/2+1 puntos
La DFT Real
Las señales de salida contienen las amplitudes escaladas
de las componentes coseno y seno
ReX[k]
Componentes
coseno
ImX[k]
Componentes
seno
Funciones base de la DFT
Conjunto de funciones linealmente
independientes
La suma de las funciones base
Ck[n] y Sk[n] escaladas por los
valores de la DFT, ReX[k] y ImX[k]
respectivamente, producen la
señal original
Cálculo de la DFT
La correlación permite comparar señales. El proceso
consiste en multiplicarlas punto a punto y sumar todos
los valores resultantes.
Ejemplos:
1 – Señal y función base iguales
Correlación máxima
2 – Función base no contenida
en la señal
Correlación nula
Cálculo de la DFT
Para calcular la DFT se correlaciona la
señal analizada con cada una de las
funciones base.
Notación Polar
Es más claro representar
la señales en frecuencia
usando la notación polar.
Esta notación representa
la señal en términos de
la amplitud y fase de sus
componentes.
A cos(x) + B sen(x) = M cos(x+Ө)
Enventanado
Al periodizar el bloque de análisis aparecen discontinuidades.
Las discontinuidades producen componentes espectrales que no existen en la señal original.
Enventanado
Para eliminar las discontinuidades, se mutiplica la
señal por otra señal (ventana) que la suaviza.
Distintos tipos de ventana: Triangular, Hamming,
von Hann, Kaiser, etc.
Enventanado
Eliminación de discontinuidades
Enventanado
Tiempo
Espectro
El efecto del enventanado es que la energía de los
componentes espectrales se derrama hacia los costados
en función del espectro de la ventana.
Tipos de ventana
La elección de la ventana plantea un compromiso entre ancho
del lóbulo principal y amplitud de los lóbulos sencundarios.
Tipos de ventana
Enventanado:
resolución y derramamiento
El ancho del lóbulo principal y la amplitud de los lóbulos
secundarios determinan la resolución en frecuencia y el
derramamiento.
Sinudoides de
frecuencias:
0.2 fs/2 y 0.3 fs/2
y amplitudes:
0.1 y 2
Enventanado:
resolución y derramamiento
Sinudoides de
frecuencias
0.2 fs/2 y 0.23 fs/2
y amplitud 2
Resolución de la DFT
El número de puntos de la transformada determina la resolución en frecuencia. Si la señal es de N puntos, el espectro
tiene N/2+1 puntos entre 0 y fs/2.
Resolución = fs/N
Ejemplo:
-sinusoides de frecuecias
0.2, 0.22 y 0.6 fs/2
-transformadas de largo 50,
100 y 200 puntos
-resoluciones de 0.04, 0.02
y 0.01 fs/2.
Relleno de ceros
El relleno de ceros consiste en
agregar ceros a la señal enventanda.
Como la señal tiene mas puntos,
se obtiene mayor cantidad de
puntos en el espectro entre 0 y
fs/2.
La representación del espectro
tiene mayor definición.
Relleno de ceros
Si bien el espectro tiene mayor definición, no aumenta la
resolución.
Ej. anterior con relleno de ceros.
A pesar del relleno de ceros,
sigue sin resolverse las componentes cercanas.
Sólo aumenta la definición del
espectro del conjunto de
muestras enventanado y no
de la señal analizada.
Transformada de Fourier de tiem­
po corto (STFT)
La evolución temporal del espectro puede analizarse mediante la Transformada de Fourier de tiempo corto.
Se calcula la DFT de bloques de señal sucesivos.
Los bloques se solapan en el tiempo para: considerar el
enventanado e incrementar la resolución temporal.
El largo del bloque de análisis y el solapamiento se determinan en función de las características de la señal.
STFT
Compromiso entre resolución temporal y resolución espectral.
Espectrogramas:
Banda ancha
Bloques cortos
Buena resolución
temporal
Banda angosta
Bloques largos
Buena resolución
espectral
Referencias
Digital signal processing – S. Smith
Discrete-time signal processing – A.V. Oppenhiem
R.W. Schafer