Presentación de PowerPoint

UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRÉS BELLO
Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
1
Señales y Sistemas II
Módulo II: Transformada y Serie de
Fourier en Tiempo Discreto
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SEÑALES Y SISTEMAS II: TRANSFORMADA Y SERIE DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
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Contenido de este módulo
2
1.- Respuesta en frecuencia de un sistema LIT
2.- La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
3.- La serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
4.- Las transformadas discreta (DFT) y rápida (FFT)
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3
1.- Respuesta en frecuencia de un sistema LIT
2.- La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
3.- La serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
4.- Las transformadas discreta (DFT) y rápida (FFT)
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Entrada exponencial compleja
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4
Consideremos un sistema LIT con entrada x[n] = e jω n
e
SISTEMA
LIT
jω n
y[n]
Entonces su salida y[n] está dada por:
∞
Σ
y[n] = h[n] * e jω n =
k
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∞
h[k] e jω (n -k) = e jω n
=-∞
k
Σ
h[k] e - jω k
=-∞
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Respuesta en frecuencia
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Donde la función compleja H(e jω) definida por:
∞
H(e jω)
=
k
Σ
h[k] e
- jω k
=|
H(e jω)
|e
j
H(e jω)
=-∞
se denomina la respuesta en frecuencia del sistema.
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Autofunción de los sistemas LIT
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La exponencial compleja e jω n constituye una autofunción
para los sistemas LIT
e
SISTEMA
LIT
jω n
H(e jω) e jω n
La respuesta de un sistema LIT a una entrada del tipo e jω n
es una versión escalada y retardada de la entrada:
y[n] =
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H(e jω)
e
jω n
= |
H(e jω)
|e
j (ω n +
H(e jω) )
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Ejercicio II.1
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• RESPUESTA EN FRECUENCIA
Halla una expresión para la respuesta en frecuencia
H(e jω) del diferenciador discreto causal, y esboza los
gráficos del factor de escala | H(e jω) | y del retardo
H(e jω)
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Ejercicio II.1
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8
• RESPUESTA
Para el diferenciador discreto causal: h[k] = δ[k] – δ[k-1]
Y de la definición de respuesta en frecuencia:
Σ
H(e jω) =
k
∞
∞
∞
h[k] e - jω k =
=-∞
k
Σ
δ[k] e - jω k –
=-∞
k
Σ
δ[k-1] e - jω k
=-∞
H(e jω) = 1 – e - jω = 1 – cos(ω) + j sin(ω)
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Ejercicio II.1
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• RESPUESTA (continuación)
| H(e jω) |= 2(1–cos(ω))
3
3
2.5
2
2
1
1.5
0
1
-1
0.5
-2
0
-3
−2π
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H(e jω)=Atan
−π
0
π
2π
−2π
−π
0
sin(ω)
1– cos(ω)
π
2π
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1.- Respuesta en frecuencia de un sistema LIT
2.- La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
3.- La serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
4.- Las transformadas discreta (DFT) y rápida (FFT)
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DTFT fórmula de síntesis 11
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Toda secuencia discreta x[n] absolutamente sumable puede
ser representada mediante una suma ponderada de infinitas
exponenciales complejas infinitesimales:
x[n] =
1
2π
∫
π
X(e jω) e jω n dω
−π
donde la función de ponderación X(e jω) se conoce como la
transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) de x[n]
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DTFT fórmula de análisis 12
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La función de ponderación X(e jω) se construye mediante la
proyección ortogonal* de la secuencia x[n] sobre el espacio
definido por las exponenciales complejas:
∞
X(e jω) =
n
Σ
x[n] e - jω n
=-∞
* Sobre este asunto de la proyección volveremos con más detalle en el móduloVI
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Par transformado único 13
x[n] y X(e jω) constituyen un par transformado único
Transformada directa
X(e jω)
x[n]
Transformada inversa
donde es importante destacar que x[n] es una señal discreta
en tiempo y X(e jω) es una señal analógica.
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Ejercicio II.2 14
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• VERIFICACIÓN DE LA DTFT
Verifica que las ecuaciones de análisis y síntesis presentadas constituyen realmente un par transformado.
∞
X(e jω) =
n
1
x[n] =
2π
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Σ
x[n] e - jω n
=-∞
∫
π
X(e jω) e jω n dω
−π
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Ejercicio II.2 15
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• RESPUESTA
Reemplazando la ecuación de análisis en la de síntesis:
1
x[n] =
2π
π
∞
∫ Σ
−π
m
x[m] e - jω m e jω n dω
=-∞
e intercambiando el orden de la sumatoria y la integral:
∞
x[n] =
m
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Σ
x[m]
=-∞
1
2π
∫
π
e jω (n-m) dω
−π
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Ejercicio II.2 16
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• RESPUESTA (continuación)
donde:
1
2π
π
∫e
jω (n-m)
dω
= sinc[n-m] = δ[n-m]
−π
con lo que finalmente se verifica la relación inversa entre
las ecuaciones consideradas:
∞
x[n] =
m
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Σ
x[m] δ[n-m] = x[n]
=-∞
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Espectro de frecuencias 17
La señal X(e jω) también se conoce como espectro de frecuencias, ó simplemente espectro, de la secuencia x[n].
X(e jω) = | X(e jω) | e j
X(e jω)
| X(e jω) | se denomina el espectro de amplitud ó magnitud,
y
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X(e jω) se denomina el espectro de fase.
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Periodicidad de la DTFT 18
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X(e jω) es por definición una función periódica con período 2π
∞
X(e j(ω +2 π k)) =
n
Σ
x[n] e – j (ω +2 π k) n
=-∞
∞
=
n
Σ
x[n] e – jω n e – j 2 π k n = X(e j ω)
=-∞
• Frecuencias mínimas: ω = 2mπ con m entero
• Frecuencias máximas: ω = (2m+1)π con m entero
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Respuesta en frecuencia y DTFT 19
¿ Recuerdas la definición de la respuesta en frecuencia de
un sistema lineal e invariante en tiempo ?
∞
H(e jω) =
k
Σ
h[k] e - jω k
=-∞
¡ No es más que la DTFT de su respuesta impulsiva h[n] !!!
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Simetrías complejas 20
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• Secuencia conjugada simétrica (simetría hermiciana):
x[n] = x*[-n]
Re{x[n]}+j Im{x[n]} = Re{x[-n]} -j Im{x[-n]}
• Secuencia conjugada antisimétrica:
x[n] = -x*[-n]
Re{x[n]}+j Im{x[n]} = -Re{x[-n]}+j Im{x[-n]}
• Descomposición de una secuencia x[n] en partes conjugadas,
simétrica xs [n] y antisimétrica xa [n]: x[n] = xs [n] + xa [n]
donde xs [n] = ½ ( x[n] + x*[-n] ) y xa [n] = ½ ( x[n] - x*[-n] )
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Propiedades de simetría de la DTFT 21
Dado el par transformado
se puede demostrar que:
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X(e jω)
x[n]
x*[n]
X*(e –jω)
x*[-n]
X*(e jω)
Re{x[n]}
Xs (e jω)
j Im{x[n]}
Xa (e jω)
xs [n]
Re{X(e jω)}
xa [n]
j Im{X(e jω)}
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DTFT de secuencias reales 22
Dado el par transformado
x[n]
X(e jω)
si x[n] es una secuencia real, se puede demostrar que:
X(e jω) = X*(e –jω) : Simetría hermiciana
Re{X(e jω)} = Re{X(e –jω)} : Simetría par
Im{X(e jω)} = -Im{X(e –jω)} : Simetría impar
|X(e jω)| = |X(e –jω)| : Simetría par
X(e jω) = -
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X(e –jω) : Simetría impar
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Linealidad de la DTFT 23
Dados los pares transformados:
x[n]
X(e jω)
y[n]
Y(e jω)
Entonces se cumple que:
A x[n] + B y[n]
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A X(e jω) + B Y(e jω)
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Retardo en tiempo y modulación 24
Dado el par transformado:
x[n]
X(e jω)
Entonces se cumple que:
x[n-k ]
e jλ n x[n]
e –jω k X(e jω)
X(e j (ω−λ) )
¡ La transformada de Fourier no es invariante en tiempo !
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Rebatimiento 25
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Dado el par transformado:
x[n]
X(e jω)
Entonces se cumple que:
x[-n ]
X(e –jω)
y si x[n] es real, entonces se cumple que X(e –jω) = X*(e jω)
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Dado el par transformado:
x[n]
Diferencia en tiempo 26
X(e jω)
Entonces se cumple que:
x[n+k] – x[n-k]
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2 j sin(ω k) X(e jω)
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Dado el par transformado:
x[n]
Diferenciación en frecuencia 27
X(e jω)
Entonces se cumple que:
(-j n)k
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x[n ]
d k X(e jω)
dω k
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Teorema de convolución 28
Dados los pares transformados:
x[n]
X(e jω)
y[n]
Y(e jω)
Entonces se cumple que:
x[n]* y[n]
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X(e jω) Y(e jω)
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Teorema de modulación 29
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Dados los pares transformados:
x[n]
X(e jω)
y[n]
Y(e jω)
Entonces se cumple que:
x[n] y[n]
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1
2π
∫
π
X(e jλ) Y(e j(ω−λ)) dλ
−π
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Teorema de Parseval 30
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Dado el par transformado:
x[n]
X(e jω)
Entonces se cumple que:
∞
n
Σ
|x[n]|2 =
=-∞
1
2π
∫
π
|X(e jω)|2 dω
−π
¡ La DTFT es una transformación que preserva la energía !
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Ejercicio II.3 31
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• DEMOSTRACIÓN
Demuestra el Teorema de Parseval
∞
n
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Σ
|x[n]|2 =
=-∞
1
2π
∫
π
|X(e jω)|2 dω
−π
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Ejercicio II.3 32
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• RESPUESTA
Sabiendo que:
X(e jω)
X*(e jω)
x[n]
x*[-n]
y utilizando el teorema de convolución:
x[n] * x*[-n]
X(e jω) X*(e jω)
podemos escribir el siguiente par transformado:
∞
k
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Σ
x[k] x*[n+k]
| X(e jω) |2
=-∞
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Ejercicio II.3 33
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• RESPUESTA (continuación)
De acuerdo con la fórmula de síntesis de la DTFT:
∞
k
Σ
1
x[k] x*[n+k] =
2π
=-∞
∫
π
| X(e jω) |2 e jω n dω
−π
Y finalmente, evaluando en n = 0:
∞
k
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Σ
| x[k]
=-∞
|2
1
=
2π
∫
π
| X(e jω) |2 dω
−π
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Teorema generalizado de Parseval 34
Dados los pares transformados:
x[n]
X(e jω)
y[n]
Y(e jω)
Entonces se cumple que:
∞
n
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Σ
x[n] y*[n] =
=-∞
1
2π
∫
π
X(e jω) Y*(e jω) dω
−π
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x[n] = δ[n]
Pares transformados de interés 35
X(e jω) = 1
∞
x[n] = 1
X(e jω) = 2π
k
x[n] = αn u[n] (|α|<1)
Σδ ω
( + 2π k)
=-∞
X(e jω) = (1-α e –jω) –1
∞
x[n] = u[n]
k
∞
x[n] = e jλ n
X(e jω) = 2π
k
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Σδ ω
X(e jω) = (1-e –jω) –1 + π
( +2π k)
=-∞
Σδ ω − λ
(
+ 2π k)
=-∞
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x[n] = u[n+M] u[M-n]
x[n]=
sin(λ n)
πn
Más pares transformados de interés 36
X(e jω)
sin(ω (2M+1)/2)
=
sin(ω /2)
∞
(0<λ<π)
Σ
X(e jω) =
k
[u(ω+λ) u(λ−ω)] * δ(ω+2π k)
=-∞
∞
x[n] = cos(λn+φ)
k
∞
Σ
x[n] =
k
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δ[n-kN]
=-∞
Σ
X(e jω) = π
X(e jω) =
[e jφ δ(ω−λ+2π k)
=-∞
2π
N
+ e –jφ δ(ω+λ+2π k)]
∞
Σδ ω− π
(
k
2 k/N)
=-∞
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Ejercicio II.4 37
• CÁLCULO DE UNA DTFT
Halla la DTFT de la secuencia pulso rectangular
Pa [n] = u[n] – u[n-a]
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Ejercicio II.4 38
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• RESPUESTA
sin(ω (2M+1)/2)
sin(ω /2)
y aplicando un retardo de M muestras
Partiendo de: u[n+M] u[M-n]
u[n] u[2M-n]
e –jω M sin(ω (2M+1)/2) / sin(ω /2)
donde u[n] u[2M-n] = u[n] - u[n-2M-1] = P2M+1 [n]
Finalmente, haciendo 2M+1 = a
DTFT{ Pa [n] } = e –jω (a-1)/2
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M = (a-1)/2
sin(ω a /2)
sin(ω /2)
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Ejercicio II.4 39
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| Pa
• RESPUESTA
(continuación)
(e jω)
|
Espectro
de amplitud
Ejemplo: a = 5
6
5
4
3
2
1
0
−2π
2
1.5
0.5
0
Espectro
de fase
1
0
π
2π
−π
0
π
2π
2
0
-1
-2
-0.5
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3
Pa
Pa [n]
1
-1
-10
(e jω)
−π
-3
-5
0
5
10
−2π
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40
1.- Respuesta en frecuencia de un sistema LIT
2.- La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
3.- La serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
4.- Las transformadas discreta (DFT) y rápida (FFT)
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DTFS fórmula de síntesis 41
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Toda secuencia discreta periódica x[n] con período N, puede
ser representada mediante una suma ponderada de N exponenciales complejas de la forma:
x[n] =
1
N
N-1
Σ
X[k] e j2π n k /N
k=0
donde la secuencia de ponderación X[k] se conoce como la
serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) de x[n]
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DTFS fórmula de análisis 42
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La secuencia de ponderación X[k] constituye realmente una
versión muestreada* de la DTFT de la secuencia x[n] y se
puede calcular de la siguiente manera:
N-1
X[k] =
Σ
x[n] e –j2π n k /N
n=0
* Sobre este asunto del muestreo volveremos con más detalle en el móduloVI
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Par transformado único 43
x[n] y X[k] constituyen un par transformado único
Transformada directa
x[n]
X[k]
Transformada inversa
donde es importante destacar que tanto x[n] como X[k] son
señales periódicas discretas en variable.
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Notación 44
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Las fórmulas de análisis y síntesis de la DTFS suelen
expresarse de la siguiente forma:
~
X[k] =
N-1
Σ
n=0
kn
~
x[n] WN
1
~
x[n] =
N
N-1
Σ
~
–k n
X[k] WN
k=0
donde:
• El operador complejo WN se define como e –j2π /N
• Las ~ se incluyen para enfatizar el carácter periódico
de las secuencias x[n] y X[k]
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Ortogonalidad 45
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Propiedad de ortogonalidad del operador WN
1
N
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1, si n = mN
N-1
Σ
–k n
WN
k=0
=
N-1
=
0, si n ≠ mN
Σ
δ[n-mN]
m=0
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Propiedades de simetría de la DTFS 46
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Dado el par transformado
se puede demostrar que:
~
x*[n]
~
x*[-n]
~
Re{x[n]}
~
j Im{x[n]}
x~s [n]
x~ [n]
a
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~
X[k]
~
x[n]
~
X*[-k]
~
X*[k]
~
Xs [k]
~
Xa [k]
~
Re{X[k]}
~
j Im{X[k]}
SEÑALES Y SISTEMAS II: TRANSFORMADA Y SERIE DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO
UNIVERSIDAD CATOLICA ANDRÉS BELLO
Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
DTFS de secuencias reales 47
~
~
Dado el par transformado
x[n]
X[k]
si ~
x[n] es una secuencia real, se puede demostrar que:
~
~
X [k] = X*[-k]
~
~
Re{X [k]} = Re{X[-k]}
~
~
Im{X[k]} = -Im{X[-k]}
~
~
|X[k]| = |X[-k]|
~
~
X[k] = - X[-k]
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: Simetría hermiciana
: Simetría par
: Simetría impar
: Simetría par
: Simetría impar
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Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
Linealidad de la DTFS 48
Dados los pares transformados:
~
~
x[n]
X[k]
~
~
y[n]
Y[k]
Entonces se cumple que:
~
~ + B y[n]
A x[n]
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~
~
A X[k] + B Y[k]
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Dualidad 49
Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
Dado el par transformado:
~
x[n]
~
X[k]
Entonces se cumple que:
~
X[n]
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~
N x[-k]
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Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
Retardo en tiempo y modulación 50
Dado el par transformado:
~
x[n]
~
X[k]
Entonces se cumple que:
~
x[n-m]
–λ n
WN
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~
x[n]
mk
WN
~
X[k]
~
X[k-λ]
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Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
Convolución periódica en tiempo 51
Dados los pares transformados:
~
~
x[n]
X[k]
~
~
y[n]
Y[k]
Entonces se cumple que:
N-1
m
Σ
~
~
x[m]
y[n-m]
~
~
X[k] Y[k]
=0
Convolución Periódica
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Convolución periódica en frecuencia 52
Dados los pares transformados:
~
~
x[n]
X[k]
~
~
y[n]
Y[k]
Entonces se cumple que:
~
~ y[n]
x[n]
1
N
i
N-1
Σ
~ ~
X[i] Y[k-i]
=0
Convolución Periódica
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~ =1
x[n]
Pares transformados de interés 53
Σ
~
X[k] =
m
∞
Nδ[k-mN]
=-∞
∞
Σ
~
x[n] =
m
δ[n-mN]
~
X[k] = 1
=-∞
~ = e j2π n p /N
x[n]
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Σ
~
X[k] =
m
∞
Nδ[k-p-mN]
=-∞
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Más pares transformados de interés 54
∞
~ =
x[n]
m
Σ
P2M+1 [n+M-mN]
=-∞
~ = cos(2π p n /N)
x[n]
sin(π (2M+1) k /N)
~
X[k] =
sin(π k /N)
~ = sin(2π p n /N)
x[n]
Σδ
~
X[k] = N/2
m
∞
=-∞
∞
Σδ
~
X[k] = N/(2j)
m
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[k+p-mN]+δ[k-p-mN]
[k+p-mN]–δ[k-p-mN]
=-∞
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Ejercicio II.5 55
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• CÁLCULO DE UNA DTFS
Halla una expresión analítica para la serie de Fourier
en tiempo discreto de la siguiente secuencia:
Σδ
~
x[n] =
m
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∞
( [n-2m]–δ[n-2m+1])
=-∞
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Ejercicio II.5 56
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• RESPUESTA
~ se desprende que N=2
De la expresión de x[n]
Usando la fórmula de análisis de la DTFS
~
X[k] =
1
Σ
~ e –jπ n k =
x[n]
n=0
1
Σ
(δ[n] – δ[n-1]) e –jπ n k
n=0
de donde finalmente se obtiene que:
~
X[k] = 1 – e –jπ k
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~
X[k] = 1 – (–1)k
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Representaciones de Fourier 57
En resumen, existen cuatro representaciones de Fourier
TIPO DE SEÑAL
Periódica
No periódica
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Continua en tiempo
Discreta en tiempo
Serie en tiempo
continuo (CTFS)
Serie en tiempo
discreto (DTFS)
Transformada en
tiempo continuo (CTFT)
Transformada en
tiempo discreto (DTFT)
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58
1.- Respuesta en frecuencia de un sistema LIT
2.- La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)
3.- La serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
4.- Las transformadas discreta (DFT) y rápida (FFT)
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Secuencias de duración finita 59
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~ con período N,
Considera una secuencia periódica x[n]
esta puede ser representada de la siguiente forma:
~ =
x[n]
m
∞
Σ
x[n]* δ[n-mN]
=-∞
donde la secuencia x[n] de duración finita se define como:
~
x[n],
para 0 ≤ n < N
x[n] =
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0, para el resto
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DFTS calculada con señales finitas 60
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~ se puede calcular también
De forma que la DFTS de x[n]
a partir de x[n]:
~
X[k] =
N-1
Σ
kn
~
x[n] WN =
N-1
Σ
kn
x[n] WN
n=0
n=0
Y en forma totalmente análoga:
1
~
x[n] =
N
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N-1
Σ
k=0
~
1
–k n
X[k] WN =
N
N-1
Σ
–k n
X[k] WN
k=0
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Transformada discreta de Fourier 61
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De esta forma, se define la transformada discreta de
Fourier (DFT) de una secuencia finita x[n] de duración N,
como:
N-1
X[k] =
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Σ
x[n] WN ,
0,
para el resto
kn
para 0 ≤ k < N
n=0
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Transformada discreta de Fourier 62
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Cuya transformada inversa, o fórmula de síntesis, está
dada por:
1
N
x[n] =
N-1
X[k] WN ,
para 0 ≤ n < N
k=0
0,
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Σ
–k n
para el resto
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Observación importante 63
CUIDADO !!!
La DTF es en realidad un artificio matemático mediante
el cual se usa la DTFS para representar secuencias de
duración finita. En la realidad lo que se está manipulando
son las versiones periódicas de dichas secuencias finitas.
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Transformada rápida de Fourier 64
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kn
Aprovechando las propiedades del operador WN
kn
kn
• Simetría: WN = (WN )*
kn
• Periodicidad: WN
k (n+N)
= WN
n (k+N)
= WN
se pueden diseñar algoritmos de cómputo muy eficientes
para la DFT. Estos algoritmos se denominan transformadas
rápidas de Fourier (FFT).
El estudio de estos métodos no está dentro de los objetivos de este curso.
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Cálculo de la convolución vía FFT 65
De acuerdo con el teorema de convolución, la convolución
entre dos secuencias x[n] y y[n] puede calcularse como:
x[n] * y[n] = IFFT{ FFT{ x[n] } FFT{ y[n] } }
la cual constituye, desde el punto de vista computacional,
una forma alternativa para el cálculo de la convolución; y
que, como veremos ahora, es más eficiente !!!
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Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
Eficiencia computacional de la FFT 66
El costo computacional de la convolución para dos secuencias
de longitud N es de orden N2 (hay que realizar N multiplicaciones N veces)
El costo computacional de la FFT de una secuencia de longitud
N es de orden (N/2) log2N
De forma que el costo computacional del cálculo de la convolución vía FFT es: 2 (N/2) log2N + 2N + (N/2) log2N
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Convolución directa vs. vía FFT 67
Facultad de Ingeniería
Escuela de Telecomunicaciones
Comparación del costo computacional para el cálculo de
la convolución:
Número de operaciones
10
10
4
DIRECTO
3
VÍA FFT
10
10
10
2
1
0
0
20
40
60
80
100
Tamaño de las secuencias
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Convolución periódica 68
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ATENCIÓN !!! Recuerda que la representación de la DFT
asume que las secuencias son periódicas. Como consecuencia,
el resultado de calcular la convolución vía FFT es en realidad
una convolución periódica.
x[n] * x[n]
x[n]
6
100
4
50
2
0
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0
2
4
6
8
10
0
0
2
4
6
8
10
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Completación con ceros 69
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Para calcular correctamente una convolución vía FFT se
deben añadir ceros al final de cada una de las secuencias
involucradas, hasta completar la longitud de la convolución
resultante.
x[n] * x[n]
x[n]
6
100
4
50
2
0
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0
5
10
15
20
0
0
5
10
15
20
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70
Fin del Módulo II
Transformada y Serie de Fourier
en Tiempo Discreto
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