∞ y (x ) = ∑ cn x n = c0 + c1 x + c2 x 2 + c3 x 3 + c4 x 4 + c5 x 5 + c6 x 6 + c7 x 7 + c8 x8 + c9 x 9 + L = n =0 Academ ia Técnica Universitaria C/ M iguel de Unam uno 17, local - Tel. 976 512 839 EEEXXXAAAMMMEEENNN EEECCC... DDDIIIFFFEEERRREEENNNCCCIIIAAALLLEEESSS IIINNNGGGEEENNNIIIEEERRRÍÍÍAAA IIINNNFFFOOORRRMMMÁÁÁTTTIIICCCAAA(((000999...000666...000111))) Problema 1:. Dada la ecuación y ′′( x ) − x 2 y ( x) = 0 contesta, sin resolverla: a) ¿Posee solución?. En caso afirmativo, ¿cuántas?. Solución: Una ecuación diferencial: a (x ) y ′′( x) + a ( x ) y ′( x ) + a (x ) y ( x) = F (x ) . Si las funciones 0 1 2 a (x ), a (x ), a (x ), F ( x ) son funciones reales continuas en el intervalo a ≤ x ≤ b .existe solución. Como 0 1 2 las funciones f ( x) = 1, f ( x ) = − x 2 y f ( x) = 0 son continuas ∀x ∈ ℜ por lo que existirá solución 1 2 3 ∀x ∈ ℜ . Estas soluciones serán infinitas ya que la solución dependerá de dos constantes. b) Si consideramos las condiciones iniciales para la ecuación y(0) = 0, y ′(0) = 0 , ¿cuántas soluciones tiene?, ¿cuáles son?. Solución: Sea x un punto cualquiera del intervalo a ≤ x ≤ b y c y c dos constantes reales arbitrarias de la 0 0 0 La solución será de la forma de series de potencias: y ( x ) = ∞ ∑c x n n n =0 . Lo hacemos en torno al punto x0 = 0 ya que el PVI está en torno a este punto y además es un punto ordinario. ∞ ∞ n =1 n =0 ∞ ∑ n(n − 1)c x n−2 n n=2 ∞ n=2 n−2 n ∞ − x 2 ∑ cn x n = 0 ⇒ n=0 ∞ ∑ (n + 1)(n + 2)c n =0 ∞ ∑ n(n − 1)c x n=2 n−2 n n=2 n=2 e∫ −Q ( x )dx v(x ) = ∫ −P ( x )e ∫ ln y (x ) = e ∫ Q ( x )dx −Q ( x )dx ∫ −P(x )e dx + c0 ⇒ v( x ) = e ∫ ∫ −Q ( x )dx dx + e ∫ Q ( x )dx c Q ( x )dx ∫ −P(x )e ∫ −Q ( x )dx dx + e ∫ Q ( x )dx c ⇒ 0 0 Problema 3: Se considera la ecuación diferencial: y(4 = -6y´´-8y. a) Escribe dicha ecuación en forma de sistema de primer orden Y´= AY. Solución: z1 (x ) = y (x ) z 2 ( x ) = y ′(x ) = z1′ (x ) z3 (x ) = y′′( x ) = z ′2 ( x ) z 4 ( x ) = y ′′′( x ) = z3′ (x ) b) n =0 n=2 ∞ v( x ) v′(x )e v ( x ) + P (x )e v ( x ) = Q (x )e v ( x ) ln e v ( x ) = Q (x )v( x )e v ( x ) . Como e ≠ 0 ⇒ v′(x ) − Q ( x )v(x ) = − P ( x ) Ecuación diferencial linean en v( x ). − Q ( x )dx −Q ( x )dx −Q ( x )dx −Q ( x )dx µ (x ) = e ∫ ⇒ e∫ v′(x ) − e ∫ Q( x )v(x ) = − P ( x )e ∫ ⇒ z1′ ( x ) 0 z 2′ ( x ) 0 ⇔ = z′ (x ) 0 3 z ′ ( x ) − 8 4 0 z1 ( x ) 0 z 2 ( x ) 0 0 1 z3 ( x ) 0 − 6 0 z 4 ( x ) 1 0 0 1 ∞ x n − ∑ cn − 2 x n = 0 ⇒ ∞ y ′( x ) + P ( x ) y ( x ) = Q ( x ) y ( x ) ln ( y ( x )) . − ∑ cn x n + 2 = 0 ⇒ ∞ n+2 Problema 2: Resuelve la ecuación diferencial: y ′( x) + P ( x ) y ( x) = Q( x) y ( x) ln ( y ( x )) haciendo ln ( y (x )) = v( x) , con P(x), Q(x) funciones continuas en (0,∞). Solución: y (x ) = e v ( x ) ⇒ y ′(x ) = v′(x )e v ( x ) . Sustituimos en la ecuación diferencial: z5 (x ) = y ( 4 (x ) = −6 z ′2 ( x ) − 8 z1 ( x ) = z ′4 ( x ) Sustituimos en la ecuación diferencial: y ′′( x ) − x 2 y ( x) = 0 ∑ n(n − 1)c x La solución es la solución trivial. 1 ecuación diferencial anterior entonces existirá una única solución y ( x) ∋ y (x ) = c , y ′( x ) = c y esta 0 0 0 1 solución estará definida en todo el intervalo a ≤ x ≤ b . Como x = 0 ∈ ℜ existirá solución y será única. n −1 y ′′( x ) = y( x ) = ∑ cn x n y ′( x ) = ∑ ncn x 1 1 1 1 c0 x 4 + c1 x 5 + c0 x8 + c0 x 9 + L ⇒ y (0 ) = 0 = c0 12 20 672 1440 1 1 1 1 y′( x ) = c1 + c0 x 3 + c1 x 4 + c0 x 7 + c0 x 8 + L = y′(0 ) = 0 = c1 . 3 4 84 160 = c0 + c1 x + 2c2 + 6c3 x + ∑ (n + 1)(n + 2)cn + 2 x n − ∑ cn − 2 x n = 0 ⇒ 2c2 = 0 ⇒ c2 = 0 ∞ n 2c2 + 6c3 x + ∑ [(n + 1)(n + 2 )cn+2 − cn−2 ]x ⇒ 6c3 = 0 ⇒ c3 = 0 n=2 (n + 1)(n + 2 )c − c = 0 ∀n ≥ 2 n+2 n−2 cn − 2 (n + 1)(n + 2)cn + 2 − cn − 2 = 0 ∀n ≥ 2 . Fórmula de recurrencia. cn+2 = ∀n ≥ 2 (n + 1)(n + 2) c c Si n = 4 ⇒ c6 = 0 Si n = 5 ⇒ c7 = 0 Si n = 3 ⇒ c5 = 1 Si n = 2 ⇒ c4 = 0 20 12 c c Si n = 7 ⇒ c9 = 1 L Si n = 6 ⇒ c8 = 0 1440 672 ¿Cuántas soluciones periódicas linealmente independientes se pueden hallar?. ¿Existe alguna solución que no sea periódica?. Solución: y ( 4 + 6 y ′′ + 8 y = 0 m 4 + 6m 2 + 8 = 0 . Las raíces de la ecuación característica son: m = ± 2i ∧ m = ±2i y ( x ) = c1 sen 2 x + c2 cos 2 x + c3 sen 2 x + c4 cos 2 x . Como se ve se hay cuatro soluciones periódicas linealmente independientes, como era de esperar. No existe ninguna solución que no sea periódica. Problema 4: Resuelve, aplicando la transformada de Laplace el siguiente PVI: x′′ − 2 x − 3 y = e 2t y ′′ + 2 y + x = 0 x(0 ) = 1, y (0) = 1, x′(0 ) = 0, y ′(0 ) = 0 Solución: { } L{x′′(t )}− 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = L e 2t L{y ′′(t )} + 2 L{y (t )} + L{x(t )} = 0 s 2 L{x(t )} − sx(0 ) − x′(0 ) − 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = s 2 L{y (t )} − sy(0) − y′(0 ) + 2 L{y (t )} + L{x(t )} = 0 1 s−2 ⇒ T (t ) = c3 e s 2 L{y (t )} − s + 2 L{y (t )} + L{x(t )} = 0 2 ) − 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = s + ( ) L{x(t )} + s 2 + 2 L{y (t )} = s (s 1 s−2 ) ) x(t ) = ) 21 − c3 ⇔ c3 = c4 = µ Ecuación característica: 4m 2 − µ 2 = 0 ⇒ m = ± µ ⇒ X ( x ) = c1e 2 + c2 e s 1 s s 2 − 2 s 4 − 2 s 3 − 3s 2 + 6 s − 1 L{y (t )} = − 4 − + = (s − 2 ) s 4 − 1 s − 1 (s − 2 ) s 4 − 1 s4 −1 −1 1 −7 1 −1 1 19 s −1 1 L{y (t )} = + + + + 15 s − 2 4 s − 1 12 s + 1 10 s 2 + 1 5 s 2 + 1 −1 − 1 2t − 1 t − 7 −t 19 y (t ) = e + e + e + cos t + sent 15 4 12 10 5 ) ( 21 2 Si λ > 0 ⇔ λ = µ 2 4 X ′′( x ) − µ 2 X ( x ) = 0 − 2 L{x(t )}− 3L{y (t )} = s + ( −5− 21 − 5 + 21 − 5 − 21 c3 + 2 2 − 5 + 21 − 5 − 21 21 2 u ( x, t ) = X ( x )T (t ) = c e +e 2 2 1 s−2 ( −5+ 21 ut (x,0 ) = 0 ⇔ T ′(0 ) = 0 = 1 s−2 − (s 2 − 2 )L{x(t )} − (s 2 − 2 )(s 2 + 2 )L{y (t )} = − s (s 2 − 2 ) 2 −5 − 21 t 2 t t − 5 + 21 − 5 − 21 c3e 2 + c4 e 2 2 2 u ( x,0 ) = 21 ⇔ T (0) = 0 ⇒ T (0 ) = c3 + c4 = 21 ⇒ c4 = 21 − c3 Resolvemos el sistema donde las incógnitas son: L{x(t )}, L{y (t )}. (s + c4 e T ′(t ) = Sustituimos el PVI: s 2 L{x(t )} − s − 2 L{x(t )} − 3L{y (t )} = −5 + 21 t 2 ( ) − 22 2t − 13 t 11 −t − 113 −7 cos t + e + e + e + sent 15 4 12 5 5 x −µ x 2 2 Si u x (0, t ) = u x (2, t ) = 0 ⇔ X ′(0) = X ′(2) = 0 X ′( x ) = µ X ′(2 ) = µ 2 µ x c1e 2 − c1e µ − µ 2 µ c2 e −µ x 2 c1e − µ = ⇒ X ′(0) = µ ( µ 2 c1 − ) µ 2 c2 = 0 ⇒ c2 = c1 c1 e µ − e − µ = µc1 shµ = 0 ⇔ c1 = 0 2 2 2 u ( x, t ) = X (x )T (t ) = 0 Solución trivial. Si λ < 0 ⇔ λ = − µ 2 4 X ′′( x ) + µ 2 X ( x ) = 0 Ecuación característica: 4m 2 + µ 2 = 0 ⇒ m = ± µ i ⇒ X ( x ) = c sen µ x + c cos µ x 1 2 Problema 5: Resuelve el problema de contorno dado por: utt (x, t ) + 5u t ( x, t ) + u (x, t ) = 4u xx (x, t ), 0 < x < 2, t > 0 ut ( x,0 ) = 0, t > 0 u x (0, t ) = 0, t > 0 u x (2, t ) = 0, t > 0 u ( x,0) = 21, 0 < x < 2 Solución: Separación de variables: u ( x, t ) = X ( x )T (t ) . Sustituimos en la ecuación diferencial: X ( x )T ′′(t ) + 5 X ( x )T ′(t ) + X ( x )T (t ) = 4 X ′′( x )T (t ) T ′′(t ) + 5T ′(t ) + T (t ) 4 X ′′( x ) = =λ T (t ) X (x ) Si λ = 0 ⇒ X ′′( x ) = 0 ⇒ X ( x ) = c1 x + c2 Si u x (0, t ) = u x (2, t ) = 0 ⇔ X ′(0) = X ′(2) = 0 X ′( x ) = c1 ⇒ X ′(0) = X ′(2) = 0 = c1 ⇒ X ( x ) = c2 2 2 Si u x (0, t ) = u x (2, t ) = 0 ⇔ X ′(0 ) = X ′(2 ) = 0 X ′( x ) = µ µ µ µ µ x ⇒ X ′(0) = c1 = 0 ⇒ c1 = 0 2 2 0 = ⇔ c Solución trivial µ X ′(2 ) = − c2 senµ = 0 ⇔ 2 2 senµ = 0 ⇔ µ = nπ ∀n = 1,2,L µ = nπ ∀n = 1,2,L . Se llaman valores propios ( o eigenvalores ) del Problema de Sturm-Liouville. nπ . Se llaman funciones propias ( o eigenfunciones ) del Problema de SturmX n ( x ) = cn cos x 2 2 c1 cos 2 x− 2 c2 sen Liouville. ( ) T ′′(t ) + 5T ′(t ) + 1 + µ 2 T (t ) = 0 Ecuación característica: − 5 ± 21 − 4µ 2 .Como µ = nπ ∀n = 1,2,L 2 ⇒ 21 − 4n 2π 2 = −α 2 ya que 21 − 4n 2π 2 < 0 ⇒ Tn (t ) = an senαt + bn cosαt nπ un ( x, t ) = X n (x )Tn (t ) = ( An senαt + Bn cos αt ) cos x 2 ( ) m 2 + 5m + 1 + µ 2 = 0 ⇒ m = T ′′(t ) + 5T ′(t ) + T (t ) = 0 Ecuación característica: m 2 + 5m + 1 = 0 ⇒ m = − 5 ± 21 2 2 Por el principio de superposición: u ( x, t ) = ∞ n =1 ∞ u ( x,0 ) = 21 = ∑ Bn cos n=1 ∞ n n =1 n n cosαt ) cos nπ x 2 nπ x 2 ut ( x, t ) = ∑ (αAn cos αt − αBn senαt ) cos n =1 ∞ ∑ u (x, t ) = ∑ ( A senαt + B nπ x 2 nπ x = 0 ⇔ An = 0 2 ∞ nπ La serie de Fourier en cosenos de la función: f ( x ) = 21 donde u ( x,0) = 21 = ∑ Bn cos x 2 n =1 ∞ ut ( x,0 ) = ∑αAn cos n =1 2 Bn = ∫ 21 cos 0 2 2 21 nπ nπ x dx = sen x =0 2 nπ 2 0 Academia Técnica Universitaria C/ Miguel de Unamuno 17, local - Tel. 976 512 839 Muévete