Análisis
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Análisis Juan Pablo Pinasco Departamento de Matematicas FCEyN - UBA 2008 Juan Pablo Pinasco Análisis El Cambio ”Se que estoy midiendo el tiempo. Pero no estoy midiendo el futuro, porque todavı́a no está; y no estoy midiendo el presente, porque no tiene extensión; y no estoy midiendo el pasado porque ya no está. Qué es, entonces, lo que estoy midiendo? San Agustı́n, Confesiones, Libro XI, XXVI.33 Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Parte I La Historia Oficial Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Disputa por la prioridad Newton inventó el cálculo Se lo comunica a Leibniz Este lo publica como propio Ası́ lo decide una comisión que analizó las pruebas Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Pruebas En 1673 Leibniz ve un libro de Newton con un apéndice sobre series En 1676 comienza a cartearse con Newton, a través de un conocido mutuo (Oldenburg). Le cuenta su método para calcular tangentes Además, Newton le comunica por carta sus resultados ası́: Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Pruebas 6accdae13eff 7i3l9n4o4qrr 4s8t12ux traducción: ”Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.” 5accd ae 10eflh 11i 41 3m 9n 60qqr 8s 11t 9v 3x: 11ab 3cdd 10e ae g 10 i 11 4m 7n 6y 3p 3q 6r 5s 11t 8vx, 3aqc ae 4egh 5i 4lf 4m 5n 8oq 4r 3s 6t 4v, aad ae 5eiiimmnnooprrr 5sttvv traducción: ” Un método que consiste en extraer una cantidad fluente de una ecuación donde a la vez aparece su fluxión; otro asumiendo una serie para cualquier cantidad, de donde el resto pudiera ser convenientemente derivado, y considerando los términos homogéneos de la ecuación resultante para dilucidar los términos de la supuesta serie.” Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Pruebas En 1677 Leibniz le responde con sus resultados sobre el problema inverso de las tangentes: se resuelven por cuadraturas En 1684 Leibniz publica sus resultados En 1687 Newton publica sus resultados Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Polémica A fines de s. XVII Wallis le dice a Newton que en Holanda atribuyen el cálculo a Leibniz Fatio imprime un libro, y corren rumores de plagio (del Analyse des infiniments petits, del marqués de L’Hopital) 1704: Optica, de Newton: ”Hace algunos años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas, lo hago público” 1705: Leibniz (anónimo) reseña el libro, y dice que esas son ideas de Leibniz, desarrolladas por los hnos. Bernoulli y L’Hopital Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Polémica 1708: artı́culo de Keill en las Phil. Trans. Royal Soc London, ”la aritmética de fluxiones que sin ninguna duda inventó primero el Dr. Newton (...); la misma aritmética, bajo un cambio de nombre y notación, fue publicada por el Dr. Leibniz” La Royal Society of London -dirigida por Newton- nombró una comisión -formada por sus colegas y alumnos- para analizar el caso. Concluyen que Newton inventó todo, y que Keill no injurió a Leibniz Juan Pablo Pinasco Análisis La Historia Oficial Disputa por la prioridad Pruebas Conclusión Todo esto es muy poco serio (pero es cierto!) Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Parte II Prehistoria del cálculo Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Antiguedad Problema del área y el volumen Volumen del tronco de una pirámide (egipcios, ∼ 1800 a. C.) 1 V = h(a2 + ab + b 2 ) 3 s h= c2 −2 a−b 2 2 No se tiene idea de cómo se obtuvo la fórmula. Hipócrates (∼ 450 a. C.): área de lúnulas Demócrito (∼ 450 a. C.): volúmenes Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Antiguedad Eudoxo (∼ 400 − 350 a. C.): método de exhausión Teorema (Libro X, Proposición 1) Dadas dos magnitudes distintas, si de la mayor se sustrae una magnitud mayor que su mitad, y de lo que queda se quita una magnitud mayor que su mitad, y se repite este proceso continuamente, entonces se llegará a una magnitud menos que la otra dada. Y el teorema puede demostrarse también si se sustraen mitades. Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Antiguedad Arquı́medes (287-212 a. C.): cálculo de π Inscribe/Circunscribe polı́gonos regulares, duplicando el número de lados Arquı́medes (1906!): Cuadratura de la parábola; El Método Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Edad Media Arabes: Alhazen (965-1039) calcula áreas bajo parábolas y cúbicas. P k Calcula las sumas N n=1 n para k = 1, 2, 3, 4 Calcula volúmenes de paraboloides Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Renacimiento Poca actividad en estos temas (interesa más el problema de las tangentes). Hay una vuelta a -y redescubrimiento de- la geometrı́a y los griegos Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Kepler Kepler: Nova stereometria doliorum vinariorum (1615) Nunca afirmó que sus métodos fueran rigurosos: ”los métodos correctos están en las obras de Arquı́medes, pero su lectura es muy difı́cil”. Problema: cuándo podemos decir que un lı́mite que parece obvio de un dibujo es cierto? Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Indivisibles Cavalieri: Geometrı́a indivisibilis continuorum nova ratione promota (1635), y Exercitaciones geometricae sex (1647) Evangelista Torricelli (1608-1647) El volumen de revolución de la hipérbola es finito Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Fermat(1601-1665) Fermat Calcula áreas bajo parábolas, Calcula áreas bajo hipérbolas, salvo el caso 1/x Calcula centros de gravedad de figuras y paraboloides de revolución Saint Vincent (1647) demuestra que para 1/x es infinita Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Fermat y = x3 Divide el segmento [0, a] con puntos en progresión geométrica: a, ar , ar 2 , ..., ar k El área de cada parte es (ar n − ar n+1 )a3 r 3n = a(1 − r )r n a3 r 3n X a4 (1 − r )(r 4 )n = a4 (1 − r ) 1 1 = a4 4 1−r 1 + r + r2 + r3 Si r ≈ 1, da a4 /4. (Ej: Arreglarlo para exponentes fraccionarios) Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Precursores Wallis (1616-1703) Arithmetica Infinitorum 1655, generaliza los resultados de Torricelli y Cavalieri Mathesis Universalis 1657, 4 1,3,3,5,5,7,7... = π 2,4,4,6,6,8,8... Con 2000 términos, π = 3,140807747 Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Antiguedad Tangente a curvas (Diofanto, Arquı́medes y su espiral) Diofanto: en lenguaje moderno, busca una raı́z doble al reemplazar y = mx + b Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Edad Media Hindues: Madhava (1350-1425): calcula π con 11 decimales. ” El 1er término es el producto del seno dado y el radio del arco dividido por el coseno del arco. Los siguientes se obtienen por iteración cuando el 1er término se multiplica por el cuadrado del seno y se divide por el cuadrado del coseno. Los términos están divididos por los números impares 1, 3, 5,... El arco se obtiene sumando y restando los términos pares e impares.” (Escribe Jyesthadeva unos 100 años después) Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Edad Media Hoy: rα = r r sen(α) r 3 sen3 (α) r 5 sen5 (α) r 7 sen7 (α) −r 3 + r − r + ... 1r cos(α) 3r cos3 (α) 5r 5 cos5 (α) 7r 7 cos7 (α) α = tan(α) − tan3 (α) tan5 (α) tan7 (α) + − + ... 3 5 7 arctg (α) = α − α3 α5 α7 + − + ... 3 5 7 Serie de potencias de Gregory (1638-1675)! π 1 1 1 = 1 − + − + ... 4 3 5 7 Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Renacimiento Tangentes y normales: Angulos de tiro de proyectiles Defensas de castillos. Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Fermat Extremos (siguiendo una indicación de Kepler) En los máximos y mı́nimos, la pendiente de la función tiene que ser nula. Pendiente: f (x) f (x + E ) = c c +E (Se suele llamar subtangente a c, el segmento entre x y el cero de la recta tangente) Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Otros Descartes (halla normales, última parte del segundo libro) ((¿voluntarios?)) Roberval (1602-1675) 1630 halló un método geométrico para determinar tangentes Johann Hudde (1628-1704): Raı́ces dobles de un polinomio anulan su derivada En máximos o mı́nimos se anula xf 0 (x) René Francois de Sluse (1622-1685): Derivada de la implı́cita para curvas algebraicas Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Christiaan Huygens (1629-1695) Péndulo Fuerza centrı́fuga y Ley de gravedad Crı́ticas al método de los indivisibles Frentes de ondas Maestro de Leibniz Juan Pablo Pinasco Análisis Integración Derivación Barrow (1630-1677) Lectiones Opticae, (1669) reflexiones en superficies planas y curvas Lectiones Geometricae, (1670) contenı́a métodos para hallar tangentes Demuestra el Teorema Fundamental del Cálculo Z x d f (t)dt = f (x) dx a (muy geométrico todo) Maestro de Newton Juan Pablo Pinasco Análisis Leibniz y Newton Parte III Leibniz y Newton Juan Pablo Pinasco Análisis Leibniz y Newton Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ∼ 1675 - Introduce la notación actual y el triángulo caracterı́stico (reemplaza la subtangente) Sus diferenciales son el análogo numérico de los indivisibles geométricos ”sustancias simples incorporadas en la estructura de las substancias complejas”mónadas ”no es necesario hacer depender al análisis matemático de controversias metafı́sicas. Si cualquier oponente trata de contradecirnos, se sigue de nuestro cálculo que el error será menor que cualquier magnitud posible preasignada, dado que tenemos el poder de hacer nuestras cantidades incomparablemente menores, lo suficiente para nuestro propósito, en tanto que siempre podemos tomar una magnitud tan pequeña como se desee” Juan Pablo Pinasco Análisis Leibniz y Newton Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Su notación y sus métodos son similares a los nuestros. Por ej., resuelve el problema de Florimond de Beaune (discı́pulo de Descartes) casi como lo harı́amos nosotros: Hallar la curva de subtangente constante. y dy = dx a → ln(y ) = dy dx = y a x + cte a (su primera publicación de 1684) Juan Pablo Pinasco Análisis Leibniz y Newton Sir Isaac Newton (1643-1727) 1665/1666 -aunque no publica nada. Basado en infinitesimales valores mayores que cero pero menores que cualquier otro número Luego cambia a prime and ultimate ratio, porque no logra explicar qué tan pequeños son estos infinitesimales. Reconoce la influencia de Fermat en la definición de derivada Juan Pablo Pinasco Análisis Leibniz y Newton Newton Piensa en el fluir de una partı́cula, las coordenadas dependen del tiempo, la derivada se interpreta como la velocidad Dada f (x, y ) = 0, sup. f (x, y ) = xy − 4. Entonces, f (x + ẋ, y + ẏ ) = 0 Desarrolla y simplifica: (x + ẋ)(y + ẏ ) − 4 = xy + x ẏ + y ẋ + ẋ ẏ − 4 = x ẏ + y ẋ + ẋ ẏ Tira el término de segundo orden y despeja: x ẏ + y ẋ = 0 ẏ y =− ẋ x Juan Pablo Pinasco Análisis Leibniz y Newton El Cálculo Hasta ahora, se trabajaba con curvas algebraicas Leibniz y Newton lo extienden a ”todas”las funciones ”Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa.” Manejan libremente series de potencias como funciones Derivadas de orden superior Juan Pablo Pinasco Análisis Los Bernoulli Euler D’Alembert Lagrange Parte IV Aplicaciones del cálculo Juan Pablo Pinasco Análisis Los Bernoulli Euler D’Alembert Lagrange Flı́a Bernoulli Los dos primeros estudian con Leibniz Aplican el cálculo a distintos problemas fı́sicos y matemáticos (comienzan el cálculo de variaciones, la hidráulica, hidrodinámica,...) Euler estudia con Johann Juan Pablo Pinasco Análisis Los Bernoulli Euler D’Alembert Lagrange Euler (1707 - 1783) Sin palabras Siglo XVIII = Siglo de Euler Juan Pablo Pinasco Análisis Los Bernoulli Euler D’Alembert Lagrange Euler y las series Se señalan habitualmente sus errores en el tema por su manejo de series divergentes. No deberı́amos decir: ” en ese tema, tenı́a una posición muy moderna ” Sino: ”por fin entendimos qué querı́a decir”. Juan Pablo Pinasco Análisis Los Bernoulli Euler D’Alembert Lagrange D’Alembert (1717-1783) Otro pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales, lı́mites, convergencia de series, aplicaciones fı́sicas y geométricas, fluı́dos Juan Pablo Pinasco Análisis Los Bernoulli Euler D’Alembert Lagrange Lagrange (1736-1813) Théorie des fonctions analytiques, 1797 ” contenant les principes du calcul différentiel dégagés de toute considération d’infiniment petits et d’évanouissans, de limites ou de fluxions et réduits à l’analyse algébrique des quantités finies” Primer intento concreto de darle rigor. Basa la teorı́a de funciones en métodos algebraicos, partiendo del desarrollo en serie de potencias de una función. Juan Pablo Pinasco Análisis Parte V El concepto de función Juan Pablo Pinasco Análisis El concepto de función Para los griegos no tenı́a sentido y = x 2 (longitud = área?) Tabla de arcos de Ptolomeo Oresme ∼ 1350 describe leyes naturales haciendo depender unas cantidades de otras Dada una curva, a este tipo de propiedades se las llamaba sı́ntomas (hasta después de Leibniz) Descartes dedica su tiempo a asignarle un sentido a fórmulas como esa Juan Pablo Pinasco Análisis El concepto de función Leibniz introduce las funciones trascendentes para distinguirlas de las algebraicas Pero rechazaba funciones como el módulo por no respetar el principio de continuidad (más bien de continuación) Huygens ”pico0 e loro”(cúspide de segundo grado) y otras curvas: inaceptables 1718 Johan Bernoulli: ”función de una magnitud variable es la cantidad compuesta de cualquier manera de esta magnitud variable y de constantes”(”pico0 e loro”, no) Juan Pablo Pinasco Análisis El concepto de función L’Hopital Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696): las curvas se obtienen mecánica o geométricamente (”pico0 e loro”, aceptada) Euler (1748) ”pico0 e loro”no aceptada (no tiene una representación analı́tica): una función es una expresión analı́tica compuesta de alguna manera por la cantidad variable y números o cantidades constantes” Euler Introductio (1755) ”pico0 e loro”, aceptada, funciones partidas: problema de la cuerda vibrante, acepta funciones arbitrarias definidas gráficamente por la forma inicial de la cuerda Juan Pablo Pinasco Análisis El concepto de función Fourier (1822): ”f(x) representa una sucesión de valores cada uno de los cuales es arbitrario (debe entenderse aquı́ como que no procede de una operación aritmética o que puede no conocerse la misma y existir de todas formas la correspondencia). A infinitos valores dados de la abscisa x corresponde un número igual de ordenadas f(x), todos valores numéricos reales positivos, negativos o nulos. No debemos suponer que esas ordenadas están sujetas a una ley común. Se suceden una a otra en cualquier forma y cada una de ellas está dada como si fuese una entidad sola” Juan Pablo Pinasco Análisis El concepto de función Dirichlet (1854): ”Se dice que una variable y es función de otra variable x cuando a cada valor de x corresponde un valor determinado de y ” Para 1900, las funciones ya son casi cualquier cosa. Juan Pablo Pinasco Análisis
