Lista de ejercicios nº 1 MODELO LINEAL CLÁSICO

Lista de ejercicios nº 1
MODELO LINEAL CLÁSICO
1.) Dado el modelo Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + ε i y las observaciones muestrales de X e
Y en la siguiente tabla:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Yi
2
3
4
1
1
4
6
2
4
3
X1i
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
X2i
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
a) Especifique las matrices X y (X´X) cuando escribimos el modelo con
notación matricial (Y = Xβ + ε ).
b) Calcule los estimadores mínimo cuadráticos de los parámetros β.
c) Estime por mínimos cuadrados la varianza del término de error.
d) Calcule la matriz de varianzas-covarianzas de los estimadores de β.
e) ¿Cuáles son las desviaciones típicas de las estimaciones de los parámetros β?
f) Calcule el coeficiente de determinación, R2.
2.) Dado el siguiente modelo:
Yi = β0 + β1 X1i + β2 X2i + β3 X3i + ε i , para i = 1, 2, 3, ... N.
Se sabe que cov (X1i , X2i) = cov (X1i , X3i ) = cov (X2i , X3i ) = 0.
a) Obtenga en forma matricial los estimadores de β1 , β2 y β3.
b) Indique, comprobándolo adecuadamente, si sería equivalente efectuar regresiones separadas para cada variable exógena.
3.) El camionero Pedro Martínez se dedica a realizar transportes locales de corto
recorrido sin salir de Murcia. Suele repostar siempre en la misma gasolinera, próxima a
su domicilio, y anotar los litros servidos y la distancia recorrida en cada ocasión. Las
últimas observaciones han sido:
Km. recorridos
Litros repostados
320
168
356
192
596
318
325
170
220
118
423
223
365
195
La siguiente ocasión en que reposta en la gasolinera se encuentra con que esta ha
cambiado de dueño y recoge la observación de 234 km. y 140 litros. Más tarde oye el
rumor de que el nuevo dueño ha trucado el contador de la gasolinera de forma que
factura a sus clientes más litros de los que realmente cargan.
Suponiendo que las condiciones del camión no han variado, contraste la
hipótesis de que el contador de la gasolinera funciona erróneamente.
4.) El servicio de estudios del Ayuntamiento de Murcia ha desarrollado un modelo para
explicar el precio de venta (en decenas de miles de euros) de las viviendas unifamiliares
en el municipio (Pi) en función del número de metros cuadrados construidos, Si; de la
superficie no construida de la finca en m2, Fi; del número de dormitorios, Di; y del
número de cuartos de baño, Bi. Para una muestra aleatoria de 80 viviendas se ha
estimado la siguiente ecuación:
Pi = 2,0 + 0,08 Si + 0,02 Fi + 1,63 Di + 0,52 Bi + ε i
(0,82) (0,025) (0,022)
(0,64) (0,42)
R2 = 0,64
Entre paréntesis se dan las desviaciones típicas estimadas.
a) Efectúe un contraste de significatividad conjunta de la ecuación anterior para
un nivel de significación del 5%. ¿Qué significado tiene rechazar la hipótesis
nula en este caso?
b) Interprete los coeficientes de regresión.
c) Contraste la hipótesis de que βS - βF = 0 para un nivel de significación del
5% sabiendo que la correlación entre los coeficientes estimados de βS y βF es
igual a 0,4. ¿Qué interpretación económica tiene el resultado de este
contraste?
5.) Los datos de una serie de trabajadores sirvieron para estimar la ecuación siguiente:
ESCOLÂRIDAD = 10,36 – 0,094 HERMANOS + 0,131 ESCMADRE + 0,210 ESCPADRE
N=722, R2 = 0,214
en donde ESCOLARIDAD son los años de escolaridad, HERMANOS el número de
hermanos, ESCMADRE la escolaridad en años de la madre y ESCPADRE la del padre.
a) ¿Tiene HERMANOS el efecto esperado? Explíquelo. Si se mantienen fijas
ESCMADRE y ESCPADRE ¿cuánto tiene que aumentar HERMANOS para
reducir en uno los años pronosticados de escolaridad? (Se acepta un número
no entero por respuesta)
b) Analice la interpretación del coeficiente de ESCMADRE.
c) Supongamos que el hombre A no tiene hermanos y sus padres tienen cada
uno 12 años de formación. El hombre B tampoco tiene hermanos pero sus
padres tienen una escolaridad de 16 años. ¿Cuál es la diferencia predicha en
años de educación entre A y B?
6.) El modelo siguiente es una versión simplificada del modelo de regresión múltiple
que emplearon Biddle y Hamermesh (1990) para estudiar el equilibrio entre el tiempo
dedicado a dormir y a trabajar y para analizar otros factores que influyen en el sueño:
Si = β0 + β1 TRABAJOi + β2 EDUCACIONi + β3 EDADi + ε i
en el que S (sueño) y TRABAJO (trabajo total) se miden en minutos por semana, en
tanto que EDUCACION y EDAD en años.
a) Si los adultos cambian sueño por trabajo, ¿cuál es el signo de β1?
b) ¿Qué signos cree que tendrán β2 y β3?
c) Estimando esta ecuación en Eviews se obtienen los siguientes resultados:
Dependent Variable: S
Method: Least Squares
Date: 10/08/03 Time: 00:12
Sample: 1 706
Included observations: 706
Variable
Coefficient
C
3638.245
TRABAJO
-0.148373
EDUCACION
-11.13381
EDAD
2.199885
R-squared
0.113364
Adjusted R-squared 0.109575
S.E. of regression 419.3589
Sum squared resid 1.23E+08
Log likelihood
-5263.106
Durbin-Watson stat 1.942609
Std. Error t-Statistic
112.2751 32.40474
0.016694 -8.888075
5.884575 -1.892034
1.445717 1.521657
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000
0.0000
0.0589
0.1285
3266.356
444.4134
14.92098
14.94681
29.91889
0.000000
Si alguien trabaja cinco horas más por semana, ¿cuántos minutos se espera
que disminuirá el sueño? ¿Es un cambio grande?
d) Analice el signo y la magnitud del coeficiente estimado de EDUCACION.
e) ¿Diría usted que TRABAJO, EDUCACION y EDAD explican buena parte
de la variación en sueño? ¿Qué otros factores influirían en el tiempo
dedicado a dormir? ¿Es probable que se correlacionen con TRABAJO?
7.) Con los datos de la estimación en Eviews de la ecuación del modelo del problema 7,
se pide:
a) ¿Es EDUCACION o EDAD significativa individualmente al nivel de 5%
contra la alternativa bilateral? Razone la respuesta.
b) Al eliminar EDUCACION y EDAD del modelo se obtiene la siguiente
estimación:
Dependent Variable: S
Method: Least Squares
Date: 10/08/03 Time: 00:57
Sample: 1 706
Included observations: 706
Variable
Coefficient Std. Error t-Statistic
C
3586.377 38.91243 92.16534
TRABAJO
-0.150746 0.016740 -9.004992
R-squared
0.103287
Mean dependent var
Adjusted R-squared 0.102014
S.D. dependent var
S.E. of regression 421.1357
Akaike info criterion
Sum squared resid 1.25E+08
Schwarz criterion
Log likelihood
-5267.096 F-statistic
Durbin-Watson stat 1.954559
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000
0.0000
3266.356
444.4134
14.92662
14.93953
81.08987
0.000000
¿Son EDUCACION y EDAD conjuntamente significativas en la ecuación
original al nivel de 5%? Justifique la respuesta.
c) ¿Incluir EDUCACION y EDAD en el modelo influye mucho en la relación
entre dormir y trabajar?
8.) Sea RENTA la renta mensual promedio pagada por unidades en arrendamiento en
una ciudad universitaria de Estados Unidos. POBL denota la población total de la
ciudad, INGR es el promedio de ingreso en la ciudad y PEST la población estudiantil
como porcentaje de la población total. Una ecuación que representa este modelo es:
log(RENTA) = β0 + β1 log(POBL) + β2 log(INGR) + β3 PEST + ε
a) Plantee la hipótesis nula de que el tamaño de la población estudiantil relativa
a la población total no tiene un efecto ceteris paribus en las rentas
mensuales. Establezca al alternativa de que sí hay un efecto.
b) ¿Qué signos espera usted para β1 y β2.
c) La ecuación estimada de los datos de 64 ciudades universitarias es
Log(RÊNTA) = 0,043 + 0,066 log(POBL) + 0,507 log(INGR) + 0,0056 PEST
(0,084) (0,039)
(0,081)
(0,0017)
N=64, R2=0,458
Entre paréntesis se dan las desviaciones típicas de los distintos coeficientes
estimados.
¿Qué es incorrecto en el planteamiento: “un aumento de 10% en la población
se asocia con un incremento de cerca de 6,6% en la renta”?
d) Pruebe la hipótesis planteada en el apartado a) al nivel del 1 por ciento.