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Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Segundo Examen Parcial / 9 abril 1999
1. Una partícula de masa m se desplaza con velocidad v1 cuando choca
elásticamente con otra de igual masa que se encontraba en reposo. Si tras el
impacto la trayectoria de la primera partícula forma 30º con respecto a la original,
determínese: a) Velocidad de ambas partículas tras el impacto. b) Percusión
sufrida por cada una de las partículas.
a) Conservación de la cantidad de movimiento:
mv1 = mv1′ + mv 2′
→ v1 = v1′ + v 2′
[1]
Conservación de la energía cinética:
1
2
mv12 = 12 mv1′ 2 + 12 mv1′ 2
→ v12 = v1′ 2 + v2′ 2
[2]
Las ecuaciones [1] y [2] corresponden a una suma vectorial
en cuadratura, por lo que las direcciones de las partículas
después del choque determinan un ángulo recto, de modo que
v´2
v´1
30º
60º
v1’
30º
θ2
v2 ’
v1
θ1 + θ2 = 90º → θ2 = 90º −30º = 60º
y las velocidades de las partículas después del choque son
v1′ = v1 cos 30º =
3
v1
2
v2′ = v1 cos 60º =
1
v1
2
b) La percusión que experimenta cada una de las partículas es igual a la variación de su
cantidad de movimiento durante el choque; i.e., Π = Δp = m Δ v , de modo que
Π 2 = Δ (mv ) = mv 2′ − mv 2 = mv 2′ − 0 = mv 2′
Π1 = −Π 2 = −mv 2′
en las direcciones en que cambia la velocidad de cada una de las partículas.
Otro método
Escribimos de nuevo las ecuaciones [1] y [2] que expresan, respectivamente, la conservación
de la cantidad de movimiento y de la energía cinética durante el choque, descomponiendo la
primera de ellas en sus componentes longitudinal y transversal:
⎧v1 = v1′ cos 30º +v2′ cos θ2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨0 = v1′ sen 30º −v2′ sen θ2
⎪
⎪
2
2
2
⎪
⎪
⎩v1 = v1′ + v1′
que constituyen un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (v1′, v2′ , θ2 ) . Resolviendo
dicho sistema de ecuaciones se obtienen de nuevo los resultados que ya conocemos.
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2. Una barra de sección rectangular 100 × 50 mm y 2 m de longitud, sometida a una tracción de 50 t
experimenta un alargamiento Δl = 1 mm y una contracción lateral - 0.007 mm en la arista de 50 mm.
Calcular: a) El módulo de Young de la barra. b) El valor del coeficiente de Poisson. c) La contracción que
experimenta la arista de 100 mm de la sección recta. d) Dimensiones de la sección recta si se somete a la
barra a una tracción de F1 = 40 t.
a) A partir de la definición del módulo de Young, se sigue:
E=
σl
l F
F/S
=
= 0
εl
Δl / l0 Δl S
F
3
2000 50 ×10 × 9.8
N
×
= 1.96 ×1011 2
1
0.05 × 0.100
m
b) A partir de la definición del coeficiente de Poisson, tenemos:
E=
Δb
Δl
= −μ
b
l0
→ μ=−
−0.007 / 50
Δb / b
=−
= 0.28
Δl / l0
1 / 2000
c) La deformación transversal en la arista de 100 mm será:
εa =
Δa
Δl
1
= −μ
= − 0.28
= − 1.4 ×10−4
2000
a
l0
→
Δa = εa a = −1.4 ×10−4 ×100 = − 0.014 mm
d) Teniendo en cuenta la proporcionalidad directa entre fuerzas y deformaciones,
40
F′
Δa ′ F ′
=
→ Δa ′ =
Δa = × (−0.014) = − 0.0112 mm
50
F
F
Δa
a = 100 − 0.0112 = 99.9888 mm
40
Δb ′ F ′
F′
Δb = × (−0.007) = − 0.0056 mm
=
→ Δb ′ =
50
Δb
F
F
b = 50 − 0.0056 = 49.9944 mm
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3. El movimiento del pistón de un automóvil de 500 g de masa podemos considerarlo vibratorio armónico
simple. Si la carrera del pistón (doble de la amplitud) es 10 cm y la velocidad angular del cigüeñal es de
3600 r.p.m., calcular: a) Aceleración del pistón en el extremo de la carrera. b) Fuerza resultante que se
ejerce sobre él en el extremo de la carrera. c) Velocidad máxima del pistón.
Comenzamos escribiendo las ecuaciones del m.a.s.:
x = A sen(ωt + φ) → v = ω A cos(ωt + φ) → a = −ω 2 A sen(ωt + φ) = −ω 2 x
a) La aceleración del pistón en el extremo de su recorrido es la que corresponde a la
elongación máxima x=A (amplitud), de modo que
a = Aω 2
con A = 0.05 m y ω = 3600 ×
2π
rad
= 376.99
, resulta
60
s
a = 0.05× 376.992 = 7.11×103
m
s2
b) Aplicando la segunda ley de Newton, tenemos
F = ma = 0.5× 7.11×103 = 3.55×103 N
c) La velocidad máxima en el m.a.s. se alcanza en la posición de elongación nula y viene
dada por
vmax = Aω = 0.05× 376.99 = 18.85
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m
s
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4. Un cuerpo de 1260 kg flota en agua marina (densidad 1.05 g/cm3) emergiendo 0.24 m3 sobre la superficie
libre del agua. a) Determínese la densidad del cuerpo. b) Realmente este cuerpo es poroso y está formado
por una masa sólida de densidad 1.2 g/cm2 con pequeñísimas burbujas de aire atrapadas. ¿Cuál es el
porcentaje en volumen del aire existente en el cuerpo? Nota: Despreciar la densidad (peso) de aire
contenido en el cuerpo.
a) Como el cuerpo está en equilibrio de flotación,
podremos aplicar el principio de Arquímedes para
determinar el empuje vertical, que será igual al peso
del cuerpo. El empuje está relacionado con el
volumen sumergido VS, del modo
E = ρm gVS = mg → VS =
E
P
ρm
m 1260
=
= 1.2 m3
ρm 1050
El volumen del cuerpo es
Vcuerpo = 1.2 + 0.24 = 1.44 m3
y la densidad de este cuerpo es
ρcuerpo =
m
Vcuerpo
=
1260
kg
g
= 875 3 = 0.875
1.44
m
cm3
b) El volumen de la masa sólida, Vms, viene dado por
Vms =
m
1260
=
= 1.05 m3
ρms 1200
de modo que el volumen de aire viene dado por
Vaire = 1.44 – 1.05 = 0.39 m3
que en porcentaje volumétrico representa
Vaire
0.39
=
= 0.27 = 27%
Vtotal 1.44
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5. Para medir la velocidad del agua que circula por una tubería, se intercala en ésta un venturímetro cuyos
diámetros en el tramo principal y en el estrechamiento se encuentra en la relación 5:1. La diferencia de
presión entre el tramo principal y el estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es la velocidad?
v2
v1
2
1
Aplicamos el teorema de Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
1
1
p1 + ρv12 = p2 + ρv22
2
2
→ v22 − v12 =
2 ( p1 − p2 )
[1]
ρ
con
101325 Pa
kg
p1 − p2 = 0.35atm ×
= 25331.25 Pa
3
1atm
m
Por otra parte, de la ecuación de continuidad, se sigue:
ρ = 1000
2
v1 S1 = v2 S2
2
⎛1⎞
v
S
D2 ⎛ D ⎞
1
→ 1 = 2 = 22 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ =
⎜⎝ 5 ⎠
⎜⎝ D1 ⎟⎠
25
v2
S1
D1
[2]
Resolviendo el sistema de ecuaciones dado por [1] y [2], se obtiene
⎧⎪v22 − v12 = 70.9
m
⎪⎨
→ v1 = 0.34
⎪⎪⎩v2 = 25v1
s
v2 = 8.43
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m
s
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