Campos Vectoriales

Y D A D 4 F u n c i o n e s de v a r i a s v a r i a b l e s
4.10
Campos vectoriales
I Introducción E l m o v i m i e n t o d e l v i e n t o o e l flujo d e fluidos p u e d e n d e s c r i b i r s e m e d i a n t e u n
campo de velocidades e n e l q u e e s p o s i b l e a s i g n a r u n v e c t o r e n c a d a p u n t o r e p r e s e n t a n d o l a v e l o c i d a d d e u n a partícula e n e l p u n t o . V e a l a FIGURA 4.10.1 a) y b). A d v i e r t a q u e , e n e l c a m p o d e v e l o c i d a d e s s o b r e p u e s t o a u n a i m a g e n d e satélite d e u n huracán e n l a f o t o a l m a r g e n , l o s v e c t o r e s
m u e s t r a n c l a r a m e n t e l a rotación característica e n e l s e n t i d o c o n t r a r i o a l d e l a s m a n e c i l l a s d e l
r e l o j d e l o s v i e n t o s d e n t r o d e u n área d e b a j a presión. L o s v e c t o r e s más l a r g o s c e r c a d e l c e n t r o
del campo indican vientos de m a y o r velocidad q u e los de l a periferia del campo. E l concepto de
u n campo de fuerza desempeña u n p a p e l i m p o r t a n t e e n mecánica, e l e c t r i c i d a d y m a g n e t i s m o .
V e a l a figura 4 . 1 0 . 1 c ) y d). E n e s t a sección e s t u d i a r e m o s u n a n u e v a función v e c t o r i a l q u e d e s c r i b e a u n c a m p o d e v e c t o r e s , o campo vectorial, b i d i m e n s i o n a l o t r i d i m e n s i o n a l y l a conexión
e n t r e l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s y l a s i n t e g r a l e s d e línea.
Huracán
^
\\/
i
a) Flujo de aire alrededor de
un ala de avión: | \ | > | v¿ |
a
FIGURA 4.10.1
b) Flujo laminar de la
sangre en una arteria;
las capas cilindricas de
sangre fluyen más rápido
cerca del centro de la arteria
4
v
c) Campo de fuerza inversa
al cuadrado; la magnitud
de la fuerza de atracción
es más grande cerca de
la partícula
d) Líneas de fuerza alrededor de
dos cargas iguales positivas
Ejemplos de campos vectoriales
I Campos vectoriales
valores vectoriales
U n campo vectorial e n e l e s p a c i o b i d i m e n s i o n a l e s u n a función d e
F U , y ) = P(x,y)i
+
Q(x,y)j
q u e a s o c i a u n único v e c t o r b i d i m e n s i o n a l F ( x , y) c o n c a d a p u n t o (x, y) e n u n a región R e n e l
p l a n o xy s o b r e e l c u a l están d e f i n i d a s l a s f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s e s c a l a r e s P y Q. D e m a n e r a
s i m i l a r , u n c a m p o v e c t o r i a l e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l e s u n a función
¥(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, )k
z
q u e a s o c i a u n único v e c t o r t r i d i m e n s i o n a l F ( x , y, z) c o n c a d a p u n t o (x, y, z) e n u n a región D d e l
e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l c o n u n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s xyz.
f?T37iHTSFl
C a m p o vectorial en el espacio bidimensional
G r a f i q u e e l c a m p o v e c t o r i a l b i d i m e n s i o n a l F(JC, y) = —yi + xj.
Solución U n a m a n e r a d e p r o c e d e r c o n s i s t e s i m p l e m e n t e e n e l e g i r p u n t o s e n e l p l a n o xy y después
g r a n e a r e l v e c t o r F e n c a d a p u n t o . P o r e j e m p l o , e n ( 1 , 1 ) dibujaríamos e l v e c t o r F ( l , 1 ) = —i + j .
P a r a e l c a m p o v e c t o r i a l d a d o e s p o s i b l e d i b u j a r d e m a n e r a sistemática v e c t o r e s d e l a m i s m a
l o n g i t u d . O b s e r v e q u e |F| = V x + y , y p o r e l l o l o s vectores de l a m i s m a l o n g i t u d k deben
yacer a l o largo de la curva definida por
+ y = k\ e s t o es, e n c u a l q u i e r p u n t o s o b r e e l círcul o x + y = k , u n v e c t o r tendría l a m i s m a l o n g i t u d k. P o r s i m p l i c i d a d v a m o s a e l e g i r círculos
que tienen algunos puntos e n ellos c o n coordenadas enteras. P o r e j e m p l o , para k = 1 ,
k = 2 tenemos:
2
2
2
2
2
2
2
2
E n x + y = 1: E n l o s puntos ( 1 ,0 ) , (0, 1), ( - 1 , 0 ) , (0, — 1), los vectores correspondientes
j , —i, - j , i t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d 1 .
E n x +y = 2: E n l o s p u n t o s ( 1 , 1 ) , ( - 1 , 1 ) , ( - 1 , - 1 ) , ( 1 , - 1 ) , l o s v e c t o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s - i + j , - i - j , i - j , i + j t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d V2.
2
2
4.10 C a m p o s v e c t o r i a l e s
2
2
S o b r e x + y = 4 : E n l o s p u n t o s (2, 0 ) , ( 0 , 2), (- •2, 0 ) , ( 0 , -2), l o s v e c t o r e s c o r r e s p o n d i e n t e s 2j, -2i, - 2 j , 2i t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d 2.
L o s v e c t o r e s e n e s t o s p u n t o s se i l u s t r a n e n l a FIGURA
4.10.2.
F ( 0 , 2)
•
E n general, es casi i m p o s i b l e dibujar campos vectoriales a m a n o y por ello debemos confiar
e n tecnologías c o m o l a s d e u n S A C . E n l a FIGURA 4.10.3 h e m o s m o s t r a d o u n a versión g e n e r a d a p o r
c o m p u t a d o r a del c a m p o v e c t o r i a l d e l e j e m p l o 1. M u c h a s veces cuando los vectores se dibujan c o n
su l o n g i t u d correcta, e l c a m p o v e c t o r i a l luce a m o n t o n a d o c o n vectores q u e se traslapan. V e a l a
figura 4 . 1 0 . 3 a ) . U n S A C escalará l o s v e c t o r e s d e m a n e r a t a l q u e l o s q u e se m u e s t r a n t i e n e n l o n g i t u d e s p r o p o r c i o n a l e s a s u l o n g i t u d v e r d a d e r a . V e a l a figura 4 . 1 0 . 3 b ) . E n l a figura 4 . 1 0 . 3 c ) se p r e s e n t a l a versión n o r m a l i z a d a d e l m i s m o c a m p o v e c t o r i a l ; e n o t r a s p a l a b r a s , t o d o s l o s v e c t o r e s t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d u n i t a r i a . A d v i e r t a q u e l a pequeña inclinación e n l a s r e p r e s e n t a c i o n e s d e l
c a m p o v e c t o r i a l d e l a figura 4 . 1 0 . 3 s e d e b e n a l h e c h o d e q u e e l S A C c a l c u l a y gráfica e l v e c t o r e n
l a dirección a p r o p i a d a c o n e l p u n t o i n i c i a l ( s u c o l a ) d e l v e c t o r u b i c a d a e n u n p u n t o e s p e c i f i c a d o .
.
S:-"^ ,,
V S / S ' — ' — -
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• 1, V X \ X *
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V V < > /*':/••
1 \ \ >> X > *
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; v y x / / VA.} \ > *
±
.P
f-f'.
! \ \ v x >. s
v
• y v v*"»*
jr,**
A ; / S -
F ( - 2 , 0)
FIGURA 4.10.2
. < \ s \ S
A \ \
-
\ \ "
A \ \\ \ •
• . w \ \ \ \ -
\ \ \
^•///
. \ \ \
.—>AA//
\ V \ \ N ^ - •^A.AA///:
\
•
W.N""-\
\
\
\
x
—
/ / /.
/-
A S S / / "
_ —j*ÁA
A •/*/'.
•
- 3 - 2 - 1 0
1
2
-
3
2
-
1
0
1
2
-
b) C a m p o vectorial con escalamiento
á) C a m p o vectorial sin escalamiento
2
-
1
0
1
4.10.4
se i l u s t r a n d o s c a m p o s v e c t o r i a l e s e n e l e s p a c i o t r i d i m e n s i o n a l .
a ) F ( x , y , z) =
FIGURA 4.10.4
yj
b)¥(x,y,z)
= xi + yi + zk
Campos vectoriales en el espacio tridimensional
I Campos vectoriales gradiente A s o c i a d o c o n u n a función / d e d o s o t r e s v a r i a b l e s h a y u n
c a m p o v e c t o r i a l . P a r a u n a función d e d o s v a r i a b l e s / ( x , y ) , e l g r a d i e n t e
V/(x,y) =/ (x,y)i +/ (x,y)j
r
0 )
v
d e f i n e u n c a m p o v e c t o r i a l b i d i m e n s i o n a l l l a m a d o campo gradiente d e / . P a r a u n a función d e
t r e s v a r i a b l e s / ( x , y, z), e l c a m p o g r a d i e n t e t r i d i m e n s i o n a l d e / s e d e f i n e c o m o
V / ( x , y, z) = Ux, y, z)\ + Ux, y, z)j + f (x, y , z)k.
z
2
c) C a m p o vectorial normalizado
C a m p o vectorial del ejemplo 1
E n l a FIGURA
(2)
C a m p o vectorial
bidimensional del ejemplo 1
v\\\\\\:
/ / / /
v.\ \ M \
Il i
lW~ t t t t t t t:
11 I I
111 t t •
i \\\\ \N^ / / 1 1 1 1 •
' . > * * > ' • ' •
FIGURA 4.10.3
185
186
_ \ I A D 4 F u n c i o n e s de v a r i a s v a r i a b l e s
EJEMPLO 2 Campo gradiente
D e t e r m i n e e l c a m p o g r a d i e n t e d e /(x, y) = x — y .
Solución
P o r definición, e l c a m p o g r a d i e n t e d e fes
Vf(x,y)
= ±i + - }
dx
dy
l
l
2
2
- V
-2
-1
O
1
I Campos vectoriales conservativos U n c a m p o v e c t o r i a l F s e d i c e q u e e s conservativo s i F
p u e d e e s c r i b i r s e c o m o u n g r a d i e n t e d e u n a función e s c a l a r <fi. E n o t r a s p a l a b r a s , F e s c o n s e r v a t i v o s i e x i s t e u n a función <¡) t a l q u e F = V</>. L a función 4> r e c i b e e l n o m b r e d e función potencial d e F .
de / y campo % radíente d e / e n el
ejemplo 4
EJEMPLO 3
'
....
_
^
J4
-»
* ^
s
/
J>
~
*
,
,
•
r
*
4
/
,
4
4
4
0.4
0.2
»• y
—•
*
0.6
r
y
/
/
s /
/ / :
Solución
s / / /:
x
/
/
C o n s i d e r e l a función <f>(x, y) = xy. E l g r a d i e n t e d e l a función e s c a l a r </> e s
/ :
d<f>,
/ / • / / :
d<¡>
V
= 3*
f
/ / / / :
dx
/
/
t t t t\
t t f f t t : C o m o V</> = F(x, y) c o n c l u i m o s q u e F(x, y) = yi + xj e s u n c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o y q u e
t i t t t l : 4> e s u n a función p o t e n c i a l d e F . E l c a m p o v e c t o r i a l se p r e s e n t a e n l a FIGURA 4.10.6•
i f t f :
r
Campo vectorial
conservativo del ejemplo 5
+
+
/
0 T , i . < . 4 . í . t t t t t
0.2
0.4
0.6
0.8
0
FIGURA 4.10.6
Campo vectorial conservativo
D e m u e s t r e q u e e l c a m p o v e c t o r i a l b i d i m e n s i o n a l F(x, y) = yi + xj e s c o n s e r v a t i v o .
~~ ^
1
2
2
Curvas de nivel
FIGURA 4.10.5
0.8
2yj.
R e c u e r d e d e l a sección 4.1 q u e l a s c u r v a s d e f i n i d a s p o r f(x, y) = c , p a r a c a d e c u a d a , se
d e n o m i n a n curvas de nivel d e / . E n e l e j e m p l o 5, l a s c u r v a s d e n i v e l d e / s o n l a f a m i l i a d e hipérb o l a s x — y = c, d o n d e c e s u n a c o n s t a n t e . C o n l a a y u d a d e u n S A C , h e m o s s u p e r p u e s t o e n l a
FIGURA 4.10.5 u n m u e s t r e o d e l a s c u r v a s d e n i v e l x — y = c y v e c t o r e s e n e l c a m p o g r a d i e n t e
V / ( x , y) = 2xi - 2yj. P a r a u n m a y o r énfasis v i s u a l h e m o s e l e g i d o g r a n e a r t o d o s l o s v e c t o r e s e n
el c a m p o de m a n e r a q u e sus longitudes sean las m i s m a s . C a d a vector e n e l c a m p o gradiente
V/(x, y) = 2xi — 2yj e s p e r p e n d i c u l a r a a l g u n a c u r v a d e n i v e l . E n o t r a s p a l a b r a s , s i l a c o l a o
p u n t o i n i c i a l d e u n v e c t o r c o i n c i d e c o n u n p u n t o (x, y) s o b r e u n a c u r v a d e n i v e l , e n t o n c e s e l v e c ; t o r e s p e r p e n d i c u l a r a l a c u r v a d e n i v e l e n (x, y).
2
-1
2xi -
t
1
:
D e s d e l u e g o , n o t o d o c a m p o v e c t o r i a l es u n c a m p o c o n s e r v a t i v o a u n q u e m u c h o s c a m p o s
v e c t o r i a l e s e n c o n t r a d o s e n física s o n c o n s e r v a t i v o s . ( V e a e l p r o b l e m a 43 e n l a sección " D e s a r r o l l e s u c o m p e t e n c i a 4.10".) P a r a l o s propósitos p r e s e n t e s , l a i m p o r t a n c i a d e l o s c a m p o s v e c t o r i a l e s c o n s e r v a t i v o s será e v i d e n t e e n l a s i g u i e n t e sección c u a n d o c o n t i n u e m o s c o n n u e s t r o e s t u d i o
d e i n t e g r a l e s d e línea.
I Prueba para un campo conservativo H a y u n a f o r m a s e n c i l l a d e d e t e r m i n a r s i F e s c o n s e r v a tivo. E lsiguiente teorema es u n a prueba para u n c a m p o vectorial conservativo que recurre a las
d e r i v a d a s p a r c i a l e s d e l a s f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s d e F = P\ + Qj.
Teorema 4.10.1
Prueba para u n c a m p o conservativo
S u p o n g a q u e F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j e s u n c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o e n u n a región
a b i e r t a R y q u e P y Q s o n c o n t i n u a s y t i e n e n p r i m e r a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s e n R. E n t o n c e s
^=*2
dy
( 3 )
dx
p a r a t o d o (x, y) e n R. I n v e r s a m e n t e , s i s e c u m p l e l a i g u a l d a d (3) p a r a t o d o (x, y) e n u n a región
R s i m p l e m e n t e c o n e x a , e n t o n c e s F = Pi + Qj e s c o n s e r v a t i v o e n R.
D E M O S T R A C I Ó N PARCIAL P r o b a m o s l a p r i m e r a m i t a d d e l t e o r e m a . S u p o n e m o s q u e l a s f u n c i o n e s c o m p o n e n t e s d e l c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o F = Pi + Qj s o n c o n t i n u a s y t i e n e n p r i -
4.10 C a m p o s v e c t o r i a l e s
m e r a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s e n u n a región a b i e r t a R. P u e s t o q u e F e s c o n s e r v a t i v o , e x i s t e u n a función p o t e n c i a l </> t a l q u e
F =
d<¡> d<b
Pi + Qj = V<¿ = - ^ i + -~i.
y
*
dx
d y
J
Así, P = d(f>/dx y Q = dcf>/dy. E n e s t e c a s o
dP _ d (d<t>\
dy
dy\dxj
2
=
d 4>
dydx
dQ
dx
2
=
d
ídc¡)\
d c¡>
dx\dy J
dxdy'
=
D e l teorema 4.3.1, las derivadas parciales m i x t a s d e segundo orden s o n iguales y p o r ello
dP/dy = dQ/dx c o m o f u e d e m o s t r a d o .
•
EJEMPLO 4
Empleo del teorema 4.10.1
E l c a m p o v e c t o r i a l c o n s e r v a t i v o F ( x , y) = y i + x j e n e l e j e m p l o 2 e s c o n t i n u o y t i e n e f u n c i o n e s
c o m p o n e n t e s c u y a s p r i m e r a s d e r i v a d a s p a r c i a l e s s o n c o n t i n u a s e n t o d a l a región a b i e r t a R c o n sistente e n t o d o e l p l a n o x y . C o n las i d e n t i f i c a c i o n e s P = y y Q = x se d e d u c e d e ( 3 ) d e l t e o r e m a
4.10.1,
dP
dy
=
EJEMPLO 5
=
dQ
dx'
m
Empleo del teorema 4.10.1
2
3
D e t e r m i n e s i el campo vectorial F(x, y ) = ( x — 2 y ) i + ( x+ 5 y ) j es conservativo.
Solución
2
3
C o n P = x - 2y y Q = x + 5y, encontramos
dP
.
dQ
2
C o m o dP/dy # dQ/dx p a r a t o d o s l o s p u n t o s e n e l p l a n o , s e s i g u e d e l t e o r e m a 4 . 1 0 . 1 q u e F n o
es c o n s e r v a t i v o .
•
EJEMPLO 6
Empleo del teorema 4.10.1
D e t e r m i n e s i e l c a m p o v e c t o r i a l F ( x , y ) = —ye ^ i — xe
Solución
C o n P = -ye
y Q = -xe
dP
dy = xve
x
>
j es conservativo.
encontramos
dQ
— e ' = dx'
L a s componentes d e F son continuas y tienen derivadas parciales continuas. D e tal m o d o , ( 3 ) se
c u m p l e e n t o d o e l p l a n o x y , q u e e s u n a región s i m p l e m e n t e c o n e x a . D e l i n v e r s o d e l t e o r e m a
4.10.1 c o n c l u i m o s que F es conservativo.
•
DESARROLLE SU COMPETENCIA
=
Las r e s p u e s t a s d e l o s p r o b l e m a s i m p a r e s c o m i e n z a n e n la página R E S - 1 4 .
Fundamentos
E n l o s p r o b l e m a s 1-6, g r a f i q u e a l g u n o s v e c t o r e s r e p r e s e n t a t i vos e n el c a m p o vectorial dado.
1.
F(x, y) = x i + yj
2.
3.
F(x, y) = y i + xj
4. F ( x , y ) = x i + 2 y j
5. F ( x , y ) = y j
F(x, y) = - x i +y j
6. F ( x , y ) = x j
-i
E n l o s p r o b l e m a s 7 - 1 0 , a s o c i e l a figura d a d a c o n u n o d e l o s
c a m p o s v e c t o r i a l e s e n á)-d).
a) F(x, y ) = - 3 i + 2 j
c) F(x, y ) = 3 i - 2 j
b) F ( x , y ) = 3 i + 2 j
d) F ( x , y ) = - 3 i - 2 j
-2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
y
y
y
y
y
y
y
y
y
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-1
FIGURA 4.10.7
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y y
1
C a m p o vectorial del problema 7
187
88
F u n c i o n e s de v a r i a s v a r i a b l e s
.NIDAD4
2 •w v
•vw^w;
w v
w v
i •vw
w v
w v
0 •vw w
w
12.
w v v v v
w w w ;
W W V N
W
w
W
W
w
W W '
w w !
' W W
W W .
w v
w v WVW*»W V V w ;
v w V W N ^ WV W W V
• v ww w ' w W W . V O
w v \ \ \ \ \ ^ w w w
w w w
v w
v w w v • w w w ;
1
2
-2
-1
FIGURA 4.10.8
2 • •y Vy
y
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1
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2
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FIGURA 4.10.12
C a m p o vectorial del problema !
-
1
FIGURA 4.10.9
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y
y
1
13.
z0
2
C a m p o vectorial del problema 9
10.
N V ». «. ».-'».W »."v-vN<. ».W
V ». ». ». ». v ». ». ». x ». «. «. .. ».
N
k
v
N
N
C a m p o vectorial del problema 12
v
N
>
v
>
v
v
N
FIGURA 4.10.13
C a m p o vectorial del problema 13
FIGURA 4.10.14
C a m p o vectorial del problema 14
>
>
N
N
v
v
N
14.
w w w v w w w w
\ W N . V S N N . N . S S \ . V ^ \ .
-
v
>
N
WW -». ». i«. ».W W>*.
w
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
-
2
-
1
FIGURA 4.10.10
0
1
2
Campo vectorial del problema 10
E n l o s p r o b l e m a s 1 1 - 1 4 , a s o c i e l a figura d a d a c o n u n o d e l o s
c a m p o s v e c t o r i a l e s e n a)-d).
V(x,y, z) =
F(x,y,z) =
V(x,y,z) =
F ( x , y,.: ) = JCÍ + j + k
a)
b)
0
d)
11.
E n los problemas 15-20, encuentre e l campo gradiente de l a
función/ d a d a .
15.
2
f(x, y ) = g ( 3 x - 6y)
16.
2
17. f(x, y,z) = x t a n ~ ' y z
19.
2 1
^ »
~
\
Z0
f(x, y, z) = y + z - xe~
2
6
+ 2 /+ 3z )
E n l o s problemas 21-24, asocie e l c a m p o vectorial conservat i v o d a d o F c o n u n a d e l a s f u n c i o n e s p o t e n c i a l e n a)-d).
= x +
a) 4>(x,y) = \x + | y - 5 b) <Kx, y)
c) 4>(x,y) = \x + y - 4 d) 4>{x, y ) = 2x +
-1
2
2
-2
FIGURA 4.10.11
Campo vectorial del problema
A
18. f(x, y,z) = x - x yz
y
20. f(x,y, z) - l n ( x
i\ •
f(x, y) = x - y + Ix e o s 5xy
2
3
2
21.
F(x, y) = 2xi + yj
22.
23.
F(x, y) = 2 1 + y j
24.
2
b
b
2
+
F ( x , y ) = xi + y i
F ( * , y ) = x\
2
+l
4.11 R o t a c i o n a l y d i v e r g e n c i a
E n los problemas 25-28, el c a m p o vectorial dado es conservat i v o . M e d i a n t e e n s a y o y e r r o r , d e t e r m i n e u n a función p o t e n c i a l <fi p a r a F .
25. F(x, y ) = c o s x i + ( 1 - s e n y ) j
26. F(x,y)
27. F(x,y,z)
T
35. F(x, y, z) = 2xi + (3y
2
189
- z)j ~ >k
36. F(.v. y . z) = 2xy\ + (x - ze~ )j + (e~ - l ) k .
2
y
y
= Problemas con caiculadora/SAC
y
= e" i -
xe~ j
2
= i + 2yj - 1 2 z k
28. F(x, y, z) = y V i + 2 x y z j + 3 x y ¥ k
3
E n los problemas 37-42. utilice u n S A C para superponer las
gráficas d e l c a m p o g r a d i e n t e d e / y l a s c u r v a s d e n i v e l d e /
sobre e l m i s m o c o n j u n t o d e ejes c o o r d e n a d o s .
37. f(x. y) = x + 3 y
38. f(x, y) = x - y
2
E n los problemas 29-36, determine si el campo vectorial dado
es u n c a m p o c o n s e r v a t i v o . S i e s así, e n c u e n t r e l a función
p o t e n c i a l 4> p a r a F .
29. F ( x , y ) = ( 4 x y + 3 ) i + (3x y
3
30. F(x,y)
3
4
2
+l)j
40. f(x, y) = s e n x + s e n y
41. f{x, y) = eeos
42. f(x, y ) = c o s ( x + y )
y
EE Piense en ello
43. T o d o c a m p o d e f u e r z a s im e r s o a l c u a d r a d o F = c r / | r | ,
d o n d e c es u n a constante y r = v i - y j + ^ k , es conserv a t i v o . D e m u e s t r e l o a n t e r i o r d e i e r m i n a n d o l a función
p o t e n c i a l 4>(x, y , z) p a r a F.
3
2
2
= 2xyH + 3y (x
+ l)j
31. F(x, y) = y e o s x y i - 2 x y s e n x y j
2
2
32. F(x, y) = (x
2
33. F(x,y)
39. f(x. y) = s e n x s e n y
2
2
+ y + \y\xi
3
+ yj)
3
= (x + y)i + (x + y )j
34. F(x, y) = 2e i + xe j
ly
2y
44. ¿Dos f u n c i o n e s d i f e r e n t e s fy
campo gradiente?
g pueden tener e l m i s m o