β β β α α

1
Modelos de Ecuaciones Simultáneas
Considere el siguiente modelo:
Rt = β 0 + β1M t + β 2Yt + u1t
(1)
Yt = α 0 + α1 Rt + u2t
(2)
donde R y Y son variables endógenas, y M es determinada exógenamente.
La información que tenemos disponible es la siguiente:
Y
503.7000
520.1000
560.3000
590.5000
632.4000
684.9000
749.9000
793.9000
864.2000
930.3000
977.1000
1054.900
1158.000
1294.900
1396.700
M
144.2000
148.7000
150.9000
156.5000
163.7000
171.3000
175.4000
186.9000
201.7000
208.7000
221.4000
235.9000
255.8000
271.5000
283.8000
I
74.80000
71.70000
83.00000
87.10000
94.00000
108.1000
121.4000
116.6000
126.0000
139.0000
136.3000
153.7000
179.3000
209.4000
208.9000
G
53.50000
57.40000
63.40000
64.20000
65.20000
66.90000
77.80000
90.70000
98.80000
98.80000
96.20000
97.60000
104.9000
106.6000
116.4000
R
3.990000
3.600000
3.570000
3.720000
4.060000
4.220000
5.160000
5.070000
5.590000
6.850000
7.370000
5.770000
5.850000
6.920000
7.810000
Es posible identificar las ecuaciones?
Ec.
R
Y
1
M
# Rest.
Condición de Orden
1
1
−β2
−β0
− β1
0
No está identificada
2
−α1
1
−α 0
0
1
Exactamente
2
Cómo estimamos los parámetros de la ecuación (2)?
A partir de las ecuaciones (1) y (2), las ecuaciones de forma reducida están dadas por las
siguientes expresiones:
Rt =
β 0 + β 2α 0
β1
Mt
+
1 − β 2α1 1 − β 2α1
Yt =
α 0 + β 0α1
αβ
+ 1 1 Mt
1 − β 2α1 1 − β 2α1
Que pueden ser escritas en forma mas compacta como:
Rt = π 11 + π 12 M t
Yt = π 21 + π 22 M t
A partir de las ecuaciones anteriores podemos establecer que:
α1π 12 − π 22 = 0
α1 =
π 22
π 12
3
Ahora bien, utilizando la información disponible, podemos estimar la ecuación que está
exactamente identificada utilizando MCI. Para ello, utilizamos MCO para estimar la
ecuación de forma reducida de R:
Dependent Variable: R
Method: Least Squares
Sample: 1960 1974
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
M
-0.176195
0.027615
0.811705
0.003991
-0.217068
6.919989
0.8315
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.786487
0.770063
0.691227
6.211332
-14.67152
1.167829
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.303333
1.441505
2.222869
2.317276
47.88625
0.000011
y la ecuación de forma reducida de Y:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1960 1974
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
M
-363.7721
6.104147
25.72233
0.126459
-14.14227
48.26975
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.994451
0.994025
21.90448
6237.480
-66.51119
1.270539
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
847.4533
283.3689
9.134825
9.229232
2329.969
0.000000
Recordando que:
αˆ1 =
π 22 6.104147
=
= 221.045
π 12 0.027615
Un procedimiento similar se puede utilizar para estimar el parámetro α 0 .
Como la ecuación está exactamente identificada, MCI es equivalente a aplicar MC2E. Para
aplicar MC2E recordemos en primer lugar que la razón por la cual no podemos aplicar
MCO en la ecuación:
Yt = α 0 + α1 Rt + u2t
4
es porque la variable del lado derecho es endógena, y por consiguiente debemos utilizar un
instrumento. La primera etapa de MC2E es la ecuación de forma reducida de R:
Dependent Variable: R
Method: Least Squares
Sample: 1960 1974
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
M
-0.176195
0.027615
0.811705
0.003991
-0.217068
6.919989
0.8315
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.786487
0.770063
0.691227
6.211332
-14.67152
1.167829
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.303333
1.441505
2.222869
2.317276
47.88625
0.000011
A partir de esta ecuación encontramos Rˆt . Posteriormente, en la segunda etapa estimamos:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1960 1974
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
RHAT
-324.8250
221.0456
24.93584
4.579381
-13.02643
48.26975
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.994451
0.994025
21.90448
6237.480
-66.51119
1.270539
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
847.4533
283.3689
9.134825
9.229232
2329.969
0.000000
5
Si utilizamos la opción TSLS disponible en Eviews, para estimar los parámetros de la
segunda ecuación obtenemos:
Dependent Variable: Y
Method: Two-Stage Least Squares
Sample: 1960 1974
Included observations: 15
Instrument list: C M
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
R
-324.8250
221.0456
163.5428
30.03408
-1.986177
7.359826
0.0685
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.761333
0.742974
143.6615
54.16704
0.000006
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
Durbin-Watson stat
847.4533
283.3689
268302.1
1.128420
Los parámetros estimados son idénticos a los que se obtienen cuando aplicamos MC2E
“manualmente”. Sin embargo, es importante observar que los errores estándar difieren
considerablemente. Para efectos de inferencia debemos utilizar los de arroja la opción
TSLS.
Para propósitos de comparación, la estimación de la ecuación por MCO produce los
siguientes resultados:
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1960 1974
Included observations: 15
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
R
-91.61179
177.0707
129.8351
23.67899
-0.705601
7.477969
0.4929
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.811376
0.796866
127.7155
212046.1
-92.95789
0.922227
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
847.4533
283.3689
12.66105
12.75546
55.92002
0.000005
6
Corrección del error estándar:
Y
503.70
520.10
560.30
590.50
632.40
684.90
749.90
793.90
864.20
930.30
977.10
1054.90
1158.00
1294.90
1396.70
Y
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
847.45
Y −Y
-343.75
-327.35
-287.15
-256.95
-215.05
-162.55
-97.55
-53.55
16.75
82.85
129.65
207.45
310.55
447.45
549.25
R
3.99
3.60
3.57
3.72
4.06
4.22
5.16
5.07
5.59
6.85
7.37
5.77
5.85
6.92
7.81
R
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
R−R
-1.31
-1.70
-1.73
-1.58
-1.24
-1.08
-0.14
-0.23
0.29
1.55
2.07
0.47
0.55
1.62
2.51
Rˆ − Rˆ
-1.50
-1.37
-1.31
-1.16
-0.96
-0.75
-0.64
-0.32
0.09
0.28
0.63
1.03
1.58
2.02
2.36
R̂
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
5.30
R̂
3.81
3.93
3.99
4.15
4.34
4.55
4.67
4.99
5.39
5.59
5.94
6.34
6.89
7.32
7.66
βˆ2 SLS = 221.0456
σˆ u2 =
1
N
∑ ( y − βˆ
1
2 SLS y2
)
2
σˆ w2 =
1
N
2856.56
2416.80
9214.54
8655.61
3573.65
5915.57
4338.87
3.90
2173.40
67100.27
107047.35
10876.83
35989.28
8116.14
23.43
σˆ u2 = 17886.8138
σˆ u = 133.7416
∑ ( y − βˆ
1
ˆ
2 SLS y2
)
2
162.45
567.13
8.74
1.05
9.47
9.19
1849.42
282.48
10.46
405.49
112.06
453.52
1573.60
1.95
790.47
σˆ w2 = 415.8320
σˆ w = 20.3920
La corrección es entonces: 4.579381(133.7416 20.3920 ) = 30.034 .