Función cuadrática

 ! Este trabajo debe realizarce después de haber trabajado el taller virtual qué se encuentra en
la http://ceciba.escuelaing.edu.co/mrey página bajo la pestaña de Talleres Virtuales.
1. Para las siguientes funciones: l ( x ) = 2 ( x − 1) 2 + 2 y g ( x ) = −2 ( x + 1) 2 + 2
Haga la representación en el plano cartesiano y y complete la tabla siguiente.
CARACTERÍSTICAS
l (x )
g (x )
Dominio
Rango
Concavidad
Coordenadas del vértice
Eje de simetría
Intervalos dónde es creciente
Intervalos dónde es decreciente
Corte(s) con eje x
Corte con eje y
Intervalos dónde la función es mayor
que 0
Intervalos dónde la función es mayor
que 0
2.
Qué diferencias encuentra entre las dos gráficas anteriores.
3.
Grafique, h(x ) = − 2 (x + 1)2 + 2 y complete la siguiente tabla
(
)
h (x )
CARACTERÍSTICAS
Dominio
Rango
Concavidad
Coordenadas del vértice
Eje de simetría
Intervalos dónde es creciente
Intervalos dónde es decreciente
Corte(s) con eje x
Corte con eje y
Intervalos dónde
Intervalos dónde
g (x ) >0
g (x ) <0
Valor mínimo o máximo de la función
4.
Qué diferencias encuentra entre las gráficas de g (x ) y h (x )
5.
Dibujar la gráfica de
g ( x ) = abs (
CARACTERÍSTICAS
1
2
(
− 2 (x − 2 )2 − 3
)
llenar la tabla
g (x )
g (x )
Dominio
Intervalos dónde es decreciente
Rango
Corte(s) con eje x
Concavidad
Corte con eje y
Coordenadas del vértice
Intervalos dónde
Eje de simetría
Intervalos dónde
Intervalos dónde es creciente
Valor mínimo o máximo de la función
" # $ % &
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
g (x ) >0
g (x ) <0
y
4
2
! 6.
3
La gráfica y = f ( x ) representa una parte
de una parábola, relacione cada una de
las gráficas dibujadas con su efecto
geométrico.
5
a.
−f (x )
b.
2f (x )
c.
f (x − 5 )
d.
f (x ) + 3
e.
−f (x − 4 )
3
f(x)
x
−3
3
−3
1
7.
Para la gráfica dibujada en el siguiente plano cartesiano determine:
y
3
2
a.
Las ecuaciones de las formas:
b.
y = a(x − h )2 + k
c.
y = ax 2 + bx + c
y = a(x − r1 )(x − r2 ) , donde r1 y r 2 son los
cortes con el eje x
Rango
Conjunto solución de la inecuación y < 0
Las coordenadas del punto máximo de la
función.
d.
1
x
−2
−1
1
2
3
4
5
6
e.
f.
g.
−1
−2
−3
8.
Encontrar las ecuaciones de cada una de
las funciones representadas en el
siguiente gráfico:
y
3
f(x)
2
1
g(x)
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
9.
Sea f (x ) = ax + bx + c . Considere a y c constantes y b variable.
" # $ % &
2
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
2
x
3
! Dibuje f (x ) = x + 8 x + 5 y 5 parábolas más variando b y dejando fijos los valores de a
y de c .
Qué puntos son comunes en las gráficas?
Encuentre le vértice de cada parábola dibujada. Qué tipo de curva contiene todos los
vértices?
Dibuje 5 ó más parábolas con las mismas condiciones de a . Se mantiene su conclusión
de la parte c?
Repita el proceso para parábolas con a ≠ 0 qué sucede?
2
a.
b.
c.
d.
e.
10. Determine las ecuaciones de las siguientes familias de funciones:
5
4
4
3
3
2
2
1
1
-3
-2
-1
1
2
3
-4
-3
-1
-2
-1
1
2
3
4
5
-1
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
11. Considere la siguiente inecuación (x − 2 )2 − 1 > −( x − 1)2 , encuentre el conjunto solución
usando el método gráfico
12. Considere la siguiente inecuación 1 (x − 2 )2 ≤ 3 x − 1. Encuentre el conjunto solución usando
2
4
el método gráfico
13. Si h ( x ) = − 3(x − 2 )2 + 1 y g (x ) = − 2 x + 4 .
" # $ % &
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
a.
b.
! Haga la gráfica de las dos funciones
Determine para que valores h ( x ) ≤ g ( x )
14. Sea f (x ) la gráfica que se presenta en el siguiente sistema de coordenadas.
Usando colores diferentes dibuje en el mismo
sistema de coordenadas
b.
f ( x + 2)
−f ( x )
c.
f( x ) −1
d.
f( x ) −1
a.
15. Para la gráfica dada en el siguiente sistema de coordenadas, obtenga la gráfica qué resulta
de:
3
a.
Reflejar respecto a la recta y = x
b.
Es función? por qué?
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-3
" # $ % &
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
8
7
6
5
4
3
2
1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
! 16. La siguiente gráfica representa la función
g (x ) ,
a.
En el mismo plano cartesiano usando
colores diferentes dibuje las siguientes
funciones
f (x ) = g (x ) − 2
f (x ) = g (x − 6 )
1 2 3 4 5 6 7 8 9
f (x ) = g (x ) + 2
b.
Encuentre la ecuación que representa la
función g (x ) ,
17. Para la gráfica de la función f (x ) diga si es
Falso o Verdadero
f(x)
4
3
b.
b 2 > 4ac
c.
c>0
18. Escriba una inecuación en términos de f (x ) y g (x ) cuyo
conjunto solución es el intervalo señalado en el eje x
1
−2
0 <a <1
f(x)
2
−4 −3 −2 −1
−1
a.
1 2 3 4 5
g(x)
19. Escriba la inecuación anterior como una comparación de 2
polinomios
−3
−4
20. El polinomio ax + bx + c evaluado en 1 es 6. El conjunto solución de la inecuación
2
ax 2 + bx + c ≥ 0 es (− ∞,−1]
[0, ∞ ). Determine las constantes a, b, c que satisfacen las
condiciones dadas.
21. Es posible que una inecuación de la forma ax + bx + c < 0 tenga como conjunto solución
x ∈ (− ∞,−6 (3, ∞ ) ? Justifique su respuesta.
2
]
22. Para que valor de m la ecuación
" # $ % &
(m + 1)x 2 − 4mx + m + 1 = 0 tiene dos raíces diferentes.
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
! 23. Para las siguientes funciones haga la gráfica y determine: Dominio, Rango, Intervalo s donde
es creciente , decreciente
a.
f (x ) = x 2 − 4 − 4
c.
f (x ) = [ x ]+ [ − x
] donde [ x ]
es el mayor entero menor o igual a x
e.
2 − x si − 5 < x < −1

f (x ) =  x
si − 1 ≤ x < 1

2
(x − 1) si 1 ≤ x ≤ 5
g.
2 x − x 2 si

si
2 − x
f (x ) = 
si
x − 4
π
si
i.
si x < 0
0

si 0 ≤ x < 1
 x
f (x ) =  2
− x + 4 x − 2 si 1 ≤ x < 3
4 − x
si x ≥ 3

0≤x≤2
2< x≤3
3< x< 4
x≥4
b.
f (x ) = x 2 − 4 x − 4
d.
x 2
si x > −1
f (x ) = 
 x + 2 si x ≤ −1
f.
 x 2 − 1 si x ≤ −1

f (x ) = 2 x + 2 si − 1 < x < 2
 − x + 2 + 6 si x ≥ 2

h.
2(x + 1) si − 2 < x < 3

f (x ) = 4
si x = 3
 x 2 − 1 si x > 3

j.
 x si x > 1
f (x ) = 
− 1 si x ≤ 1
24. Encontrar algebraicamente el conjunto solución de
a.
3 x − y = −2
 2
2 x − y = 0
b.
3 r 2 + 2s 2 = 11
 2
2
− r + 2s = 7
25. Para las gráficas dibujadas determine:
f(x)
g(x)
" # $ % &
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
Coordenadas del Vértice
Rango
Coeficiente de dilatación
El punto (2,1) pertenece a la función?
Ecuación
Ecuación eje de simetría
Cortes con el eje x
Cortes con el eje y
Intervalos donde es creciente
Intervalos donde es decreciente
Valor máximo
Valor mínimo
Tipo de concavidad
Para que valores de x es la función
mayor que 0
! mayor que 0
Intervalo donde f (x ) ≤ g (x )
Si h(x ) = 3 , para que valores es
g (x ) > h(x )
26. Escriba las ecuaciones correspondientes al sistema representado en la gráfica.
3.0
2.0
1.0
-2.0 -1.0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.
-1.0
-2.0
-3.0
27. Graficar: f ( x ) = 2( x + 1) 2 − 3 y determinar
a.
Coordenadas del Vértice
c.
Rango de la función
e.
Coordenadas del punto Mínimo
g.
Puntos de corte con el eje y
i.
Intervalo(s) donde la función crece:
Dominio de la función
Coordenadas del punto Máximo
Puntos de corte con el eje x
Ecuación del eje de simetría
Intervalo(s) de decrecimiento de la
b.
d.
f.
h.
j.
función
Intervalo(s) donde la función es
k.
Intervalo(s) donde la función es menor
o igual a cero.
l.
positiva
28. Para la siguiente gráfica;
a.
b.
c.
y
7
Encuentre las ecuaciones de cada una
de las funciones
Para qué valores de x es l(x) > h(x)
Calcule los cortes de l(x)con el eje x.
6
l(x)
5
4
h(x)
3
2
1
x
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
3
-2
-3
2
-4
29. Teniendo en cuenta 1la siguiente gráfica,
0
-3
" # $ % &
-2
-1
0
1
2
3
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
-1
4
1
2 3
4 5
6
! c.
Encuentre las ecuaciones de f y de g
Encuentre en forma analítica la intersección de las dos curvas
Indique para que valores g ( x ) ≥ 0
d.
Encuentre la ecuación de la recta AB
a.
b.
30. Hallar cortes con los ejes, vértice, intervalos donde es positiva y donde es negativa, y hacer la
gráfica de la función f (x ) = 6 − 4x − 3 x 2
31. Cual es el valor de m en la función f (x ) = (4m − 1)x 2 + 3 x + 2m + 3 , si su gráfica contiene al punto
P: (−2,2) ?
32. En que puntos se cruzan las gráficas de y = x
y
y = x2
33. Con base en las gráficas del siguiente sistema de coordenadas
12 y
y1
y3
10
8
6
4
2
x
-4
-2
2
y2
-2
a.
b.
c.
d.
4
Determine la expresión para y1 y y 2 .(Justifique su respuesta)
Determine la ecuación de la recta Y3
Para que valores de x es Y3 > y 2 .(Justifique su respuesta)
Para Y2 determine :
a.
Dominio y Rango.
b.
Intervalos donde es creciente y donde es decreciente
34. La gráfica de una función cuadrática pasa por los puntos A(2,0), B(4,4) y C(8,3).
a.
Encuentre el rango de la función.
b.
¿Dónde es negativa esta función?
35. Complete la siguiente tabla:
FUNCIÓN
Dominio
Rango
Coord.
Corte con
y
f(X)= 1 − 3 x
2
36. Determine el conjunto solución de − x + 4 x + 11 ≥ −3
3
3
3
" # $ % &
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
Coord.
Corte con
x
- f(0)
1+f(-4)
! 2
37. Determine el conjunto solución de − x + 4 x + 11 ≥ − 1 x + 1
3
3
3
2
2
38. La gráfica representa una función de la forma f ( x ) = ax + bx + c ,
7
B
Cuál es el valor de f (0 )
Determine el valor de c a partir de la gráfica.
El punto A sobre la gráfica corresponde a f (
El punto B sobre la gráfica corresponde a f (
Determine el valor de a y de b
a.
6
5
b.
4
c.
3
d.
2
e.
A
)=
)=
1
-3
-2
-1 -1
1
2
3
39. Determine la expresión simbólica que representa la curva
40. Dibujar en el siguiente plano cartesiano la función h ( x ) = − 1 x
3
2
+ 4 x + 11
3
3
41. La gráfica muestra parte de la función y = 2 x 2
Q
a.
b.
P
Si P tiene coordenadas (c; d ) . Escriba d en términos
de c
Si Q tiene coordenadas (c + h ; e ) Escriba e en
términos de c y h
c.
Encuentre la longitud del segmento de recta PR.
d.
Muestre que la pendiente de la recta PQ es
4c + 2h
R
42. REVISIÓN DE CONCEPTOS
a.
" # $ % &
En un polinomio los exponentes de las variables deben ser números ___________.
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
b.
Una expresión con n ∈ Z + {0}
llama
________________,
an x
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
s.
t.
n
+ a n −1 x
+ a n −1 x
n −1
n −1
! y an ≠ 0
, de la forma
mientras
que
+ .... + a1 x + a 0 = 0
an x
n
+ a n −1x
una
n −1
+ .... + a1 x + a 0
de
la
, se llama _____________________ y una de la forma
+ .... + a1 x + a 0 < 0
reales como máximo mientras que una de la forma y = ax 2 + bx + c
tiene
______________soluciones en los reales como mínimo.
En una función cuadrática de la forma y = a ( x − h ) 2 + k el punto ( h , k ) se llama
__________, el valor de k es el valor ________ de la función si a > 0 , ó, el valor
_________ de la función si a < 0
Para una función definida en un intervalo (a; b ) si x 1 < x 2 y x 1 ∈ (a ; b ) y x 2 ∈ (a ; b ) si
f (x 1 ) > f (x 2 ) , se dice que la función es ____________ .
Al resolver una inecuación del tipo − ax ≤ 0 la solución es el conjunto ____________
En la representación gráfica de una función f (x ) en un intervalo (a; b ) , si la gráfica está
por encima del eje x se dice que f (x ) es ________ que cero en el intervalo (a; b )
Sea
h=
y 2 xw
5
si x permanece constante, y se duplica y w se triplica, se puede decir que
el nuevo valor h , es ____________
u.
Para 6 + 3 i , la parte real es ________ la parte imaginaria es _____
v.
Una ecuación cuadrática cuyas raíces son 3
w.
La expresión de la forma
x.
Si
" # $ % &
se
forma
se llama ______________.
Cuando un polinomio ha sido factorizado, cada uno de los factores es llamado un factor
___________
Si una parábola abre hacia abajo se dice que la función tiene en el vértice un ________
Si una función cuadrática tiene el vértice tangente al eje x se dice que la raíz tiene
_________ 2
La representación gráfica de y = ax 2 + bx + c , es una ____________ si a = 0 y es una
_______________ si a ≠ 0
Los puntos de corte con el eje x de una función se denominan: ____________,
__________ ó ________.
En una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 a ≠ 0 y a, b, c ∈ ℜ la expresión
b 2 − 4 ac se llama _____________
Cuando nos referimos a la distancia de un punto a una recta se trata de la distancia sobre
la ________ _________ a la recta dada.
Al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas si se llega a una identidad
se dice que el sistema tiene ________soluciones
La línea paralela al eje y que pasa por el vértice de una parábola se llama
________________
El conjugado del número complejo a + b i es ______ y el opuesto es __________
La razón entre el número de unidades de desplazamiento vertical y el cuadrado de las
unidades de desplazamiento horizontal, permite determinar en la función _____________
la ___________únicamente si se miden a partir de _______________.
Una función es uno a uno si cada elemento del __________ está asociado con
exactamente un elemento de ____________.
Una función de la forma y = ax + b con a, b ∈ ℜ y a ≠ 0 tiene ________ soluciones en los
an x
c.
n
2
2
m = 1 + 8i
a+bi
equivalente a
la expresión de la forma
a+bi
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
y
−
8 ± −36
2
2
3
es __________________
es ______________
equivalente a
m 2 + 2m + 1
es _______
! 43.
E
T
M
P
D
I
L
A
T
A
C
I
O
N
L
V
M
I
R
O
U
I
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L
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B
A
R
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F
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Z
B
A
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C
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R
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C
I
R
R
I
L
U
I
S
R
O
M
O
S
S
L
A
L
A
U
E
1.
Así se le dice a la expresión
T
M
I
A
N
C
U
T
I
L
P
M
A
B
O
L
G
C
E
O
C
C
A
R
M
E
N
I
U
A
E
V
P
S
R
P
M
D
I
I
T
I
C
R
E
D
U
C
I
B
L
E
P
O
b 2 − 4ac
I
N
D
O
E
M
V
A
G
A
N
A
X
M
C
T
I
R
donde
S
E
A
N
X
I
T
O
I
R
T
P
P
I
S
N
C
I
E
W
D
T
M
N
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T
R
Y
S
E
E
U
A
E
O
N
D
T
S
S
V
A
C
I
O
A
T
N
E
R
T
D
D
D
a, b, c ∈ R
E
O
P
O
R
N
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L
A
S
T
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P
C
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I
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J
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P
T
O
A
B
A
I
R
A
O
N
X
L
I
Z
Y
X
E
W
E
V
y corresponden a la expresión
ax + bx + c = 0
2
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Así se le dice a una función que es simétrica respecto al eje y.
Cuando un polinomio ha sido factorizado, cada uno de los factores es llamado un factor ..
La línea paralela al eje y que pasa por el vértice de una parábola se llama…
Cuando en una función a mayor valor de x, se obtiene un valor mayor en y , se dice que la función es. .
Si una parábola abre hacia abajo se dice que la función tiene en el vértice un …
Una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas válida para todos los reales se llama ….
Si no existen valores en los reales que hagan verdadera una relación de menor entre dos expresiones algebraicas, el
conjunto solución es
9.
La representación gráfica de una función de la forma
y = ax + b
es una línea ….
10.
11.
12.
13.
La diferencia en la definición de expresión algebraica y polinomio está en la clase de conjunto al que pertenecen los…
El coeficiente de x en una función igual a un polinomio de grado uno representa..
Así se le dice tambien a los cortes con el eje x de una función.
Para determinar los coeficientes del polinomio resultante de un binomio elevado a un número entero positivo, se
puede usar el triángulo de ..
14. En una función cuya representación gráfica es una recta al corte con el eje y se le dice …. - y.
15. La representación en el plano cartesiano de una expresión de la forma
ax 2 + bx + c = y
es una ……
16. Al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas si se llega a una identidad se dice que el sistema tiene
…. Soluciones
17. En una expresión de la forma
y = f( x )
se dice que la variable y es la variable ….
18. En las parejas ordenadas del plano cartesiano (x , y) a la x se le llama …
19. La relación entres dos expresiones algebraicas con los simbolos >
<
20. La representación gráfica de
y = ax + b
≤
≥
se dice que es una ….
en el plano cartesiano es una …
21. El conjunto de posibles valores que puede tomar la variable independiente en una función se llama …
22. El punto donde cambia de curvatura una parábola se llama …
( x , y )∈ f ( x ) , el punto ( − x , − y )∈ f ( x ) , entonces, la gráfica es simétrica con respecto al
23. Si para todo
…..
24. La pendiente de una recta vertical es …
25. Dos rectas que tienen igual pendiente se llaman rectas ….
26. Si conocemos la gráfica de
……… de
f ( x ) , entonces , la gráfica de f ( x − 2 ) se obtiene mediante un corrimiento a la
f( x ) ,
27. Cuántas intersecciones con el eje y puede tener una función?
28. Si una función cuadrática tiene el vértice tangente al eje x se dice que la raíz tiene ….. 2
29. Al resolver una inecuación del tipo
− ax ≤ 0
la solución es el conjunto …..
( x , y )∈ l1 , ( x , y )∈ l 2
30. Sea l1
y l2
" # $ % &
' ( # ) # * # ( $ ( ) $ + $ ,+ $
dos rectas, si para todo
se dice que las rectas son ……
S
M
S
C
P
A
R
A
L
E
L
A
S
P
R
E
C
Z