2009-06-Practico 8 ST _3_ - FCEA

Universidad de la República, Facultad de Ciencias Económicas y Administración
ECONOMETRIA II - CURSO 2009
PRACTICO 8
MODELOS DE SERIES DE TIEMPO (3)
EJERCICIO 1
III) Si un proceso ARMA(1,1) está dado por:
yt= 0.50yt-1 + at - 0.3at-1
Se pide:
1. Investigar si se puede representar como un AR únicamente y en caso afirmativo hallar los
pesos, ηi, correspondientes. Fundamente.
2. Investigar si se puede representar como un MA únicamente y en caso afirmativo hallar los
pesos ψi correspondientes. Fundamente.
3. Una vez calculados los pesos anteriores en los casos que pueda hacerse, fundamente que el
proceso es estacionario.
EJERCICIO 2
I) Se ha simulado 1000 observaciones de un proceso estocástico cuyas primeras 10 rk de la
función de autocorrelación estimada son:
r0 = 1.0000
r6 = 0.0132
r1 = 0.0376
r7 = 0.0049
r2 = -0.0082
r8 = -0.0641
r3 = -0.0114
r9 = -0.0194
r4 = -0.020
r10 = .0381
r5 = 0.0261
.
Se pide:
1. Presente la gráfica de la función de autocorrelación estimada
2. Estudie la significación de las rk.
3. ¿A qué tipo de proceso estocástico ARMA corresponde la FAC estimada?
II) Se ha simulado 10000 observaciones de un proceso estocástico cuyas primeras 10 rk de la
función de autocorrelación estimada son:
r0 = 1.0000
r6 = -0.0216
r1 = 0.0488
r7 = -0.0204
r2 = 0.0085
r8 = -0.0049
r3 = 0.0044
r9 = 0.0092
r4 = 0.0057
r10 = 0.0010
r5 = 0.0049
Se pide:
1. Grafique la función de autocorrelación estimada
2. Estudie la significación de las rk.
3. ¿A qué tipo de proceso estocástico ARMA corresponde la FAC estimada?
EJERCICIO 3
Se dispone de 200 observaciones de la serie de tiempo Yt.
El investigador decide modelizar la serie a partir de la información de que es un proceso
ARMA, estacionario e invertible. No conoce los valores de p y q.
Para recoger la regularidad de la serie se consideran los modelos alternativos siguientes:
[1] Y t = const + at + θ 1 at -1
[ 2 ] Y t = const + φ 1 Yt −1 + φ 2 Y t - 2 + ... + φ 4 Yt − 4 + at
[ 3 ] Y t = const + φ 1 Yt −1 + at + θ1 at −1
1
Los resultados de las estimaciones se presentan a continuación:
Modelo 1
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 2 200
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
MA(1)
5.215977
0.777783
0.117838
0.044852
44.26378
17.34095
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.397924
0.394867
0.935677
172.4717
-268.1332
1.890613
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.209475
1.202820
2.714906
2.748005
130.2010
0.000000
Modelo 2
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 6 200
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
AR(1)
AR(2)
AR(3)
AR(4)
5.197851
0.778227
-0.603076
0.306996
-0.154040
0.101879
0.072678
0.089816
0.089732
0.072796
51.02009
10.70786
-6.714550
3.421266
-2.116041
0.0000
0.0000
0.0000
0.0008
0.0356
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.384932
0.371983
0.955663
173.5255
-265.3172
1.904834
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.194315
1.205922
2.772484
2.856407
29.72719
0.000000
Modelo 3
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 3 200
Variable
Coefficient
C
AR(1)
MA(1)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
5.208538
0.067351
0.752777
0.396710
0.390523
0.936831
171.1423
-266.5184
1.972482
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.125033
0.092265
0.060894
41.65730
0.729975
12.36208
0.0000
0.4663
0.0000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.201076
1.200004
2.722408
2.772231
64.11394
0.000000
Se pide:
a)
b)
c)
Si tuviera que optar entre estas especificaciones del modelo univariante de Yt, con la
información disponible en el ejercicio, ¿con cuál se quedaría? Justifique su respuesta.
¿Cuál es la relación entre el modelo MA(1) y el modelo AR(4) estimado?
Después de responder b) examine el correlograma de la serie Yt e indique que modelo
habría estimado si lo hubiera tenido al iniciar el ejercicio.
2
Sample: 1 200
Included observations: 199
Autocorrelation
.|****
*|.
*|.
*|.
.|.
.|*
.|*
*|.
*|.
*|.
*|.
.|.
.|.
*|.
**|.
*|.
.|.
.|.
.|.
*|.
Partial Correlation
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.|****
***|.
.|*
*|.
.|*
.|.
.|.
*|.
.|.
*|.
.|.
.|.
*|.
*|.
*|.
.|*
*|.
.|.
.|.
*|.
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.476
-0.065
-0.112
-0.058
0.046
0.144
0.083
-0.077
-0.147
-0.145
-0.089
0.030
0.020
-0.123
-0.201
-0.091
0.002
-0.014
-0.029
-0.073
0.476
-0.378
0.167
-0.138
0.175
0.023
-0.013
-0.099
-0.034
-0.104
0.000
0.035
-0.089
-0.094
-0.086
0.076
-0.082
-0.034
-0.036
-0.064
45.796
46.666
49.231
49.926
50.365
54.685
56.122
57.367
61.918
66.338
68.007
68.195
68.278
71.566
80.389
82.182
82.183
82.229
82.418
83.612
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
EJERCICIO 4
Con una serie de tiempo, Yt de longitud 100, se preparó el correlograma siguiente:
Sample: 1 100
Included observations: 100
Autocorrelation
******| .
. |****
***| .
. |**
.*| .
. |*.
.*| .
. |*.
.|.
.|.
.*| .
. |*.
|
|
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|
Partial Correlation
******| .
***| .
.*| .
.*| .
**| .
.|.
. |*.
.*| .
.*| .
. |*.
.*| .
.|.
|
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
AC
PAC
Q-Stat
Prob
-0.823
0.566
-0.376
0.232
-0.184
0.186
-0.158
0.084
-0.020
0.024
-0.093
0.180
-0.823
-0.346
-0.115
-0.093
-0.218
-0.035
0.067
-0.119
-0.070
0.153
-0.112
0.033
69.841
103.23
118.07
123.78
127.41
131.17
133.89
134.68
134.72
134.79
135.77
139.55
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
No se conoce el verdadero proceso de generación del dato. Quien examinó el gráfico del
correlograma opina que puede tratarse de un proceso AR (2), aunque también presenta
similitudes con un ARMA (1,1). Se resuelve estimar con la muestra disponible los
siguientes modelos:
[1]
Yt = φ Yt −1 + at + θ at −1
[2]
Yt = φ1 Yt −1 + φ 2 Yt − 2 + at
Ambas especificaciones tienen la ventaja de tener la misma cantidad de parámetros a
estimar. Se procedió a estimar ambas especificaciones y los resultados son presentados
a continuación:
3
Modelo 1
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 2 100
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
AR(1)
MA(1)
-0.678182
-0.510666
0.084679
0.100157
-8.008847
-5.098641
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.723708
0.720860
0.856747
71.19945
-124.1580
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.023381
1.621590
2.548646
2.601073
1.936302
Modelo 2
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 3 100
Variable
Coefficient
AR(1)
AR(2)
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.095408
0.095638
-11.53922
-3.549519
0.0000
0.0006
-1.100933
-0.339470
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.717334
0.714389
0.867564
72.25603
-124.1231
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.038000
1.623357
2.573942
2.626696
2.021573
A continuación se presentan los correlogramas de los residuos de las dos regresiones. Si
la parte sistemática de los modelos ARMA seleccionados es correctamente recogida
por las estimaciones los residuos de las mismas serán un ruido blanco.
Residuos del ajuste del Modelo 1
Sample: 1 100
Included observations: 99
Autocorrelation
Partial Correlation
.|.
.|.
.*| .
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.|.
.|.
.|.
. |*.
.*| .
.|.
.*| .
. |*.
.*| .
.*| .
.|.
.|.
.*| .
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.*| .
. |*.
.|.
. |*.
.*| .
. |*.
.*| .
. |*.
.*| .
.*| .
|
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.007
0.007
-0.072
-0.146
0.016
0.083
-0.100
0.007
0.104
-0.079
-0.015
0.039
-0.051
0.125
-0.061
0.062
-0.108
0.111
-0.094
-0.095
0.007
0.007
-0.072
-0.145
0.018
0.083
-0.125
-0.014
0.132
-0.078
-0.063
0.069
-0.010
0.075
-0.084
0.120
-0.125
0.115
-0.086
-0.115
0.0047
0.0093
0.5552
2.7856
2.8127
3.5623
4.6546
4.6607
5.8588
6.5538
6.5799
6.7586
7.0641
8.8909
9.3337
9.7937
11.225
12.757
13.854
14.984
0.945
0.995
0.907
0.594
0.729
0.736
0.702
0.793
0.754
0.767
0.832
0.873
0.899
0.838
0.859
0.877
0.845
0.806
0.792
0.777
4
Residuos del ajuste del Modelo 2
Sample: 1 100
Included observations: 98
Autocorrelation
Partial Correlation
.|.
.*| .
.*| .
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.|.
. |*.
.|.
.|.
.|.
.*| .
. |*.
.*| .
.|.
.*| .
. |*.
.*| .
.*| .
.|.
.*| .
.*| .
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.|.
. |*.
.*| .
.|.
. |*.
.|.
. |*.
.*| .
. |*.
.*| .
. |*.
.*| .
.*| .
|
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
AC
PAC
Q-Stat
Prob
-0.027
-0.125
-0.141
-0.098
0.024
0.125
-0.147
-0.003
0.108
-0.038
-0.026
0.054
-0.073
0.116
-0.070
0.046
-0.109
0.133
-0.066
-0.088
-0.027
-0.126
-0.151
-0.131
-0.028
0.075
-0.178
-0.008
0.101
-0.058
-0.045
0.068
-0.038
0.088
-0.094
0.116
-0.127
0.132
-0.061
-0.118
0.0752
1.6797
3.7245
4.7350
4.7982
6.4502
8.7816
8.7827
10.059
10.216
10.293
10.628
11.247
12.812
13.396
13.649
15.082
17.262
17.797
18.768
0.784
0.432
0.293
0.316
0.441
0.375
0.269
0.361
0.346
0.422
0.504
0.561
0.590
0.541
0.572
0.625
0.590
0.505
0.536
0.537
Se pide:
a) Examine la significación de los parámetros p y q de las dos regresiones.
¿Son significativos? ¿Esta información es suficiente para decidir por alguna de
las dos especificaciones?
b) Examine los correlogramas de los residuos de ambas regresiones, someta a
prueba la autocorrelación de los residuos:
i) para los primeros ocho retardos
ii) para los primeros veinte retardos.
Escriba el estadístico, la hipótesis nula, la distribución del estadístico bajo la
hipótesis nula y el criterio de decisión. ¿Cuál es la conclusión a que llega,
respecto de las dos especificaciones, después de éste análisis? ¿Es suficiente para
decidir entre ambas?
c) Dispone en los resultados de alguna otra información que le ayude a realizar
la selección. Si es así: ¿cuál? ¿Qué especificación entiende es la más adecuada?
5