1. Introducci´on a la aproximaci´on

TEMA 3
Aproximación de funciones:
interpolación y ajuste
Chelo Ferreira González
• Introducción a la aproximación
• Interpolación polinómica de funciones
• Aproximación discreta por mı́nimos
cuadrados
Clases estimadas para este tema: 2 clases
1.
Introducción a la aproximación
Objetivo: Utilidad de la aproximación. Ideas de interpolación, aproximación y ajuste.
Polinomios de interpolación de una función. Aproximación de una función. Ajuste por
mı́nimos cuadrados de una recta a una nube de puntos
Problema: concentración de inmunoglobulinas (IgG) en suero de corderos frente al
diámetro del aro de precipitación del suero al reaccionar con el anti-IgG del gel.
4.0 mm
4.5 mm
······
11 mm
3380 mg/l
5780 mg/l
······
62600 mg/l
interpolación
Problema: Computacionalmente a veces es conveniente aproximar
1
2
2
f (x) = √ e−(x−µ) /2σ
σ π
∼
fe(x)
aproximación
Problema: ¿es razonable la tesis de nuestro compañero fisiólogo por la que establece
que la disminución de hemoglobina está relacionada linealmente con el aumento de la
creatinina y el aumento del BUN en pacientes con insuficiencia renal crónica?
hemoglobina (g/dl)
9
9.5
8.4
11.7
10.8
8.2
9.2
8.9
10.1
11.5
creatinina (mg/dl)
4.3
2.8
6.5
2.4
3.7
8.0
5.3
7.9
4.3
3.2
BUN (mg/dl)
42.6
30.1
57.9
33.4
36.0
58.7
43.8
65.6
48.9
40.5
ajuste
1
2.
La interpolación polinómica de funciones
{f (x), {x0 , x1 , . . . , xn }}
{(x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn )}
p(x),
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
p(xi ) = f (xi ) = yi
©
ª
1, x, x2 , . . . , xn
base
Problema de interpolación polinómica
→
sobre la existencia y unicidad de solución
Ejemplo. f (x) = cos x + x2 , I = [0, π/2]. Obtener el polinomio de interpolación de grado
2 para {xi }={0, π/4, π/2}
Interpolación lineal
→
recta que pasa por dos puntos
→
estimación del error. Teorema de Rolle
Ejemplo. Obtener la recta de interpolación para la función anterior con {xi }={0, π/2}.
Dar una estimación del error
{x0 , x1 , . . . , xn } ∈ [a, b], f (xi ), f 0 (xi ), ...
datos:
Polinomio de Lagrange:
→
condición: p(xi ) = f (xi ), 0 ≤ i ≤ n
p(x) =
n
X
f (xi )li (x),
li (x) =
i=0
→
n
Y
(x − xj )
(xi − xj )
j=0,j6=i
único y de grado ≤ n
sobre el error de interpolación
Lagrange:
→ teorema de Rolle
f n+1 (ξ), hn+1
ξ ∈ (a, b)
h = máx |xi − xi−1 |
1≤i≤n
Ejemplo. Obtener el polinomio de interpolación de Lagrange de grado dos para el
ejercicio anterior. Dar una acotación del error de interpolación.
2
Si añadimos un nuevo punto ¿todos los cálculos?
Polinomio de Newton (*):
→ condición: p(xi ) = f (xi ), 0 ≤ i ≤ n
→ diferencias divididas: progresivas, regresivas
Ejemplo. Obtener el polinomio de interpolación de Newton en los puntos:
(−1, 6), (0, 1), (2, 3), (5, 66)
¿Mejorará la interpolación si tomamos mayor número de puntos?
no de Runge →
3.
fenóme-
interpolación a trozos
Aproximación lineal discreta por mı́nimos cuadrados
Objetivo: dado un conjunto de n datos experimentales (xi , yi ), vamos a estimar el
valor de una función en puntos no tabulados, donde es razonable una función lineal
Y
yi
ei
yi
b
b
ax+
=
y
recta de regresión
α
tan α = a
xi
X
¿qué significa buena aproximación?
|función real − función estimada|
mı́nimo
Objetivo: encontrar y = ax + b tal que la distancia anterior sea mı́nima. Se denomina
ajuste de una recta a una nube de puntos
según la distancia y la construcción de f (x) mı́nimos cuadrados discretos
|función real − función estimada| =
n
X
(yi − ybi )2
i=1
3
Por tanto, hay que buscar a y b que verifiquen
mı́n
n
X
(yi − ybi )2 = mı́n
i=1
n
X
(yi − (axi + b))2
i=1
Los valores de a y b que minimizan esta función:
n
n
X
∂ X
(yi − (axi + b))2 =
−2xi (yi − (axi + b)) = 0
∂a i=1
i=1
n
n
X
∂ X
(yi − (axi + b))2 =
−2(yi − (axi + b)) = 0
∂b i=1
i=1
reorganizando el sistema anterior obtenemos:





n
X
yi = nb + a
i=1
n
X
xi
i=1
⇒
n
n
n
X
X
X



x
y
=
b
x
+
a
x2i
i i
i

i=1
i=1
resolver a
y
b
i=1
que son las ecuaciones normales de un problema de mı́nimos cuadrados.
Ejemplo. Ajustar por mı́nimos cuadrados discretos una recta a la siguiente tabla de
datos. Obtener el error cuadrático medio:
xi
2
4
6
8
yi
2
11
28
40
4