Untitled - Departamento de Matemáticas

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
Departamento de Matemáticas
Matemáticas
Manuel Fernández Garcı́a-Hierro
Badajoz, Febrero 2008
Capı́tulo IX
Interpolación
9.2 Introducción Interpolación es el proceso de encontrar
y evaluar una función cuya gráfica pasa por un conjunto de
puntos. Los puntos pueden ser mediciones en un proceso fı́sico,
o pueden obtenerse a partir de una función conocida. La
función de interpolación se elige dentro de una clase restringida
de funciones, siendo las funciones polinómicas las usadas con
mayor frecuencia y las únicas que utilizaremos. La primera
parte del Capı́tulo se dedica a la evaluación polinómica desde
el punto de vista numérico. En la segunda parte se presentan
las formulaciones de Lagrange y Newton del polinomio de
interpolación y la tercera parte se dedica al análisis del error
que aparece en la interpolación polinómica.
La interpolación se utiliza para resolver problemas dentro del
área más general de la teorı́a de aproximación.
Para hacernos una idea del papel de la interpolación, daremos
una lista de problemas en los que interviene:
1. Dada una tabla de valores de una función, por ejemplo,
f (x) = cos(x), usamos interpolación para extender la tabla a
argumentos x que no están en la tabla. Éste fue un problema
importante, aunque actualmente no lo es, debido a que el uso
de ordenadores ha eliminado la necesidad de usar tablas.
2. Dado un conjunto de puntos (datos), encuentre una función
diferenciable y no oscilatoria que se ajuste a dichos datos, bien
de manera exacta, bien de forma aproximada. El caso exacto
conduce a la interpolación mediante funciones spline y el caso
aproximado se suele llevar a cabo mediante el método de los
mı́nimos cuadrados.
3. Dada una función conocida, por ejemplo, f (x) = ln(x), se
necesita un método para poder evaluarla en un odenador: la
interpolación se usa para obtener una aproximación a la función
que puede ser calculada en un ordenador.
4. Al integrar o derivar numéricamente una función, se suele
reemplazar por un función más sencilla que la aproxima, que es
la que se integra o deriva. Esta función más sencilla se obtiene
por interpolación.
9.1 Evaluación polinómica Aunque la evaluación de un
polinomio pueda parecer en principio un trabajo sencillo, no lo
es. Para aclarar esta afirmación consideremos la evaluación del
polinomio
p(x) = 3 − 4x − 5x2 − 6x3 + 7x4 − 8x5.
Desde el punto de vista de un programador, el método más
sencillo es calcular cada término independientemente de los
otros. Más concretamente, el término cxk se calcula como
c ∗ xk
lo que requiere k multiplicaciones.
habrá
Con esta aproximación
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 multiplicaciones
en la evaluación de p(x).
El segundo método de evaluación es más eficiente.
Calculamos cada potencia de x multiplicando por x la
precedente, como en
x3 = x(x2), x4 = x(x3), x5 = x(x4).
Entonces cada término cxk necesita dos multiplicaciones si
k > 1. La evaluación de p(x) usa
1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 multiplicaciones,
bastantes menos que en el caso anterior, sobre todo si el grado
del polinomio es alto.
El tercer método se llama multiplicación anidada. Para ello
escribimos y evaluamos p(x) en la forma
p(x) = 3 − 4x − 5x2 − 6x3 + 7x4 − 8x5
= 3 + x(−4 + x(−5 + x(−6 + x(7 − 8x)))).
El número de multiplicaciones es sólo 5.
Este método de
evaluación es el más usado y es tanto más ventajoso, cuanto
más alto es el grado del polinomio.
Considérese un polinomio de grado n,
p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn,
an 6= 0.
Si se utiliza el segundo método, el número de multiplicaciones
es
1 + 2+ n−1
. . . +2 = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1.
Para el método de multiplicación anidada, se escribe
p(x) = a0 + x(a1 + x(· · · + x(an−1 + anx) . . . ).
Este método usa solamente n multiplicaciones, sobre el 50 %
menos que el método anterior. Ambos usan n sumas.
Supóngase que queremos evaluar p(x) en un punto z.
Defı́nase la sucesión de coeficientes bi de la siguiente forma:
bn = an
bn−1 = an−1 + zbn
bn−2 = an−2 + zbn−1
..
b0 = a0 + zb1.
Entonces
p(z) = b0
En la multiplicación anidada, los bi se corresponden con la
operación entre pares de paréntesis correspondientes. Ası́ bn−1
es la operación más interior, mientras que b0 es el último
cálculo. Cuando la multiplicación anidada se mira de esta
manera, se llama método de Horner.
Sea q(x) = b1 +b2x+· · ·+bnxn−1. Entonces comprobaremos
que
p(x) = b0 + (x − z)q(x).
En efecto,
b0 + (x − z)q(x)
= b0 + b1x + . . . bnxn
− b1z − b2zx − . . . bnzxn−1
= (b0 − b1z) + (b1 − b2z)x + · · · + (bn−1 − bnz)xn−1 + bnxn
= a0 + a1x + · · · + anxn = p(x)
Nótese que para el cálculo a mano de los coeficientes bi,
se pueden disponer tal como se hace en la conocida regla de
Ruffini. Es decir
an
z
bn = an
bn−1
an−1
zbn
= an−1 + zbn
···
···
···
a1
zb2
b1
a0
zb1
b0 = a0 + zb1
9.2 Interpolación Polinómica
A modo de introducción se describe la interpolación lineal.
Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) con x0 6= x1, se
considera la recta que pasa por dichos puntos. Esta recta
es la gráfica del polinomio lineal
y1 − y0
P1(x) = y0 +
(x − x0)
x1 − x0
Se dice que esta función interpola el valor yi en el punto xi,
i = 0, 1, o
P1(xi) = yi, i = 0, 1
Ejemplo Considérense los puntos (1, 1) y (4, 2).
polinomio P1(x) es
El
1
P1(x) = 1 + (x − 1).
3
Sea una tabla de valores de f (x).
Queremos usar
interpolación lineal para estimar los valores de f (x) cuando
x no está en la tabla. Para ello se localizan dos valores x0, x1
en la tabla tales que x0 ≤ x ≤ x1. Se construye P1(x) que
interpola f (xi) en xi y se utiliza P1(x) para estimar f (x).
Ejemplo Sea la tabla:
x
.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
ex
2.225541
2.247908
2.270500
2.293319
2.316367
2.339647
2.363161
2.386911
2.410900
2.435130
Obtener una estimación de e0.826 usando interpolación lineal
en la tabla anterior. Se elige x0 = 0.82 y x1 = 0.83. Entonces
P1(x) = 2.270500 +
2.293319 − 2.270500
(x − 0.82)
0.83 − 0.82
= 2.270500 + 2.2819(x − 0.82)
En particular
P1(0.826) = 2.2841914.
El valor verdadero redondeado a ocho dı́gitos significativos es
e
0.826
.
= 2.2841638
Para mayor facilidad de cálculo resecribimos el polinomio lineal
de interpolación como:
P1(x) = y0 + µ(x)(y1 − y0),
x − x0
µ(x) =
x1 − x0
Interpolación cuadrática Cuando los datos provienen
de gráficos que son curvados en lugar de rectos, es
más conveniente aproximar tal comportamiento mediante
polinomios de orden superior a 1. Supóngase que los datos
son tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) siendo x0, x1, x2
distintos. Construimos el polinomio cuadrático que pasa por
dichos puntos del modo siguiente:
P2(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x)
con
(x − x1)(x − x2)
L0(x) =
(x0 − x1)(x0 − x2)
(x − x0)(x − x2)
L1(x) =
(x1 − x0)(x1 − x2)
(x − x0)(x − x1)
L2(x) =
(x2 − x0)(x2 − x1)
La fórmula para P2(x) se llama fórmula de Lagrange para el
polinomio de interpolación cuadrático y los polinomios L0, L1
y L2 se llaman funciones base para interpolación de Lagrange.
Cada polinomio Li(x) tiene grado 2. por tanto P2(x) tiene
grado ≤ 2. Además
Li(xj ) = 0 si i 6= j
Li(xi) = 1
que puede escribirse de forma más compacta como
Li(xj ) = δij
donde δij , llamada función delta de Kronecker, está definida
por
δij =
(
1,
i=j
0,
i 6= j
Ejemplo 1. El polinomio P2(x) para los puntos (0, −1),
(1, −1) y (2, 7) es
(x − 1)(x − 2)
(−1)
P2(x) =
2
x(x − 2)
x(x − 1)
+
(−1) +
(7)
−1
2
En la interpolación lineal es obvia la unicidad del polinomio de
interpolación, teniendo en cuenta que existe una única recta que
pasa por dos puntos. Pero con tres puntos es menos obvio que
hay un único polinomio cuadrático de interpolación que pasa
por dichos puntos. Para ver la unicidad, supóngase que hay un
segundo polinomio de interpolación Q2(x). Comprobaremos
que es igual a P2(x).
Sea Q2(x) un polinomio de grado ≤ 2 tal que su gráfica
pasa por los puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2). Considérese
R(x) = P2(x) − Q2(x).
Tiene grado ≤ 2 y se anula en los tres puntos anteriores, ya
que
R(xi) = P2(xi) − Q2(xi), i = 0, 1, 2.
Entonces R(x) ≡ 0 (Teorema Fundamental del Álgebra) y, en
consecuencia, P2(x) ≡ Q2(x).
Deberı́amos esperar que el polinomio de interpolación
cuadrático aproxime mejor la tabla de valores de una función.
Al igual que antes, si queremos evaluar en x la función tabla
f (x), se eligen tres puntos igualmente espaciados
x0 < x1 < x2, x1 − x0 = x2 − x1,
x0 < x < x 2 .
La fórmula de Lagrange no es conveniente para los cálculos,
por lo que usaremos la fórmula
P2(x) = y0 + µ(x)(y1 − y0)
µ(x)(µ(x) − 1)
+
(y2 − y1) − (y1 − y0) .
2
donde
x − x0
µ(x) =
x1 − x0
Nótese que
µ(x)(µ(x) − 1)
P2(x) = P1(x) +
(y2 − y1) − (y1 − y0) .
2
Ası́ que P2(x) se obtiene añadiendo a P1(x) un término de
corrección.
Ejemplo 2. Calcule una interpolación cuadrática a e0.826 a
partir de la tabla
x
.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
ex
2.225541
2.247908
2.270500
2.293319
2.316367
2.339647
2.363161
2.386911
2.410900
2.435130
Se elige x0 = 0.82, x1 = 0.83 y x2 = 0.84. Entonces
µ(0.826) = 0.6,
y1 − y0 = 0.022819,
y2 − y1 = 0.023048
P2(0.826) = P1(0.826)
1
+ (0.6)(0.6 − 1)(0.023048 − 0.022819)
2
= 2.2841914 − 0.00002748
= 2.2841639
Puesto que e
0.826
.
= 2.2841638 redondeado a ocho dı́gitos,
.
P2(0.826) − e
= 0.0000001
.
P1(0.826) − e0.826 = 0.0000276
0.826
el error usando interpolación cuadrática es sensiblemente menor
que cuando se utiliza interpolación lineal.
Interpolación de grado superior Ahora consideramos
el caso general. Sean n + 1 puntos, (x0, y0), . . . , (xn, yn) con
todos los xi’s distintos. El polinomio de interpolación de grado
≤ n es
Pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + · · · + ynLn(x),
(1)
donde cada Li(x) es el polinomio de grado n dado por
Li(x)
(x − x0) . . . (x − xi−1)(x − xi+1) . . . (x − xn)
.
=
(xi − x0) . . . (xi − xi−1)(xi − xi+1) . . . (xi − xn)
Es fácil comprobar que
Li(xj ) = δij ,
de donde sigue
Pn(xj ) = yj , j = 0, 1, . . . , n
(2)
La fórmula 1 se llama fórmula de Lagrange del polinomio de
interpolación.
El hecho de que hay un único polinomio de grado ≤ n que
verifica 2 se prueba de la misma manera a como se hizo en
el caso cuadrático. Debido a su importancia, establecemos los
resultados de este apartado en forma de Teorema.
Teorema 1. Sea n ≥ 0, supóngase que x0, x1, . . . , xn son
números distintos y que y0, y1, . . . , yn son números no
necesariamente distintos. Entre todos los polinomios de grado
≤ n hay exactamente uno, Pn(x) que verifica
Pn(xj ) = yj , j = 0, 1, . . . , n
Diferencias Divididas
Vamos a definir una versión discreta de la derivada de una
función f (x). Sean x0, x1 números distintos. Se define
f (x1) − f (x0)
f [x0, x1] =
x1 − x0
y se llama diferencia dividida de primer orden de f (x). Si f (x)
es derivable en un intervalo que contiene a x0 y x1, entonces
el Teorema del Valor Medio implica
f [x0, x1] = f 0(c)
para algún c entre x0 y x1. Ésto justifica el considerar f [x0, x1]
como un análogo a la derivada de f (x). También si x0 y x1
son suficientemente próximos, entonces
. 0 x0 + x1
f [x0, x1] = f
2
que usualmente es una aproximación muy precisa.
Ejemplo 3. Sea f (x) = cos(x), x0 = 0.2 y x1 = 0.3.
Entonces
cos(0.3) − cos(0.2) .
= −0.2473009
f [x0, x1] =
0.3 − 0.2
.
Se comprueba fácilmente que c = 0.2498936. Además
f
0
x0 + x1
2
.
= − sin(0.25) = −0.2474040
y f [x0, x1] es una buena aproximación de esta derivada.
Se definen las diferencias divididas de orden superior de
manera recurrente usando las de orden inferior.
Sean x0, x1, x2 números distintos. Defı́nase
f [x1, x2] − f [x0, x1]
f [x0, x1, x2] =
.
x2 − x0
Se llama diferencia dividida de segundo orden.
x0, x1, x2, x3 distintos, se define
Para
f [x1, x2, x3] − f [x0, x1, x2]
.
f [x0, x1, x2, x3] =
x3 − x0
y se llama diferencia dividida de tercer orden. En general si
x0, x1, . . . , xn son puntos distintos, la diferencia dividida de
orden n es
f [x0,x1, x2, . . . , xn]
f [x1, x2, . . . , xn] − f [x0, x1, . . . , xn−1]
=
.
x n − x0
La relación entre las diferencias divididas de orden superior y las
derivadas del orden correspondiente viene dada por el siguiente
resultado:
Teorema 2. Supóngase que f (x) es n veces derivable con
continuidad en un intervalo [α, β] = {x : α ≤ x ≤ β}. Sean
x0, x1, . . . , xn, n + 1 números distintos de [α, β]. Entonces
1 n
f [x0, x1, x2, . . . , xn] = f (c)
n!
donde c es un número comprendido entre el mı́nimo y el máximo
de los números x0, x1, . . . , xn.
Ejemplo 4. Sea f (x) = cos(x), x0 = 0.2, x1 = 0.3 y x2 =
.
0.4. Ya hemos calculado f [x0, x1] = −0.2473009. Además
cos(0.4) − cos(0.3) .
f [x1, x2] =
= −0.3427550
0.4 − 0.3
. −0.3427550 − (−0.2473009)
f [x0, x1, x2] =
0.4 − 0.2
= −0.4772705
Por otra parte, del teorema anterior
1 00
f [x0, x1, x2] = f (c)
2!
para algún c entre el mı́nimo y el máximo de x0, x1, x2. Puesto
que f 00(x) = − cos(x) se tiene
cos c
.
f [x0, x1, x2] = −0.4772705 = −
2
.
Entonces c = 0.30268.
Propiedades de las diferencias divididas
Las diferencias divididas tienen propiedades que simplifican
su utilización.
La definición de diferencia dividida parece indicar que
depende del orden de los puntos x0, x1, . . . , xn. Sin embargo
se puede demostrar que si {i0, i1, . . . , in} es una permutación
de {1, 2, . . . , n}, se cumple
f [xi0 , xi1 , . . . , xin ] = f [x0, x1, . . . , xn].
La prueba no es trivial, por lo que sólo consideraremos los casos
n = 1 y n = 2.
Para n = 1
f (x0) − f (x1)
f [x1, x0] =
x0 − x1
f (x1) − f (x0)
=
= f [x0, x1]
x1 − x0
Para n = 2
f [x1, x2] − f [x0, x1]
f [x0,x1, x2] =
x2 − x0
=
f (x2)−f (x1)
x2−x1
(x0)
− f (xx11)−f
−x0
x2 − x0
f (x2)
f (x0)
+
=
(x0 − x1)(x0 − x2) (x2 − x1)(x2 − x0)
−
f (x1)
x2−x1
1)
+ xf1(x
−x0
x2 − x0
f (x0)
f (x1)
=
+
(x0 − x1)(x0 − x2) (x1 − x0)(x1 − x2)
f (x2)
+
.
(x2 − x1)(x2 − x0)
Si se intercambian los valores de x0, x1 y x2, entonces las
fracciones del lado derecho intercambian su orden, pero la
suma total permanece constante.
Las definición de diferencia dividida se puede extender al
caso en que alguno o todos los xi’s coinciden. Supóngase que
f es suficientemente derivable. Entonces
f [x0, x0] = lim f [x0, x1]
x1→x0
f (x1) − f (x0)
= lim
= f 0(x0).
x1→x0
x1 − x0
En el caso en que sólo alguno de los nodos coinciden también
puede extenderse la definición del modo siguiente
f [x0, x1, x0] = f [x0, x0, x1]
f [x0, x1] − f [x0, x0]
=
x1 − x0
f [x0, x1] − f 0(x0)
=
.
x1 − x0
La fórmula de interpolación de las diferencias
divididas de Newton
La fórmula de Lagrange del polinomio de interpolación no
es conveniente a la hora de realizar cálculos. Además, el
cálculo de Pn(x) es muy poco aprovechado cuando se tiene que
calcular Pn+1(x) y los siguientes polinomios de interpolación.
Para evitar estos problemas se utilizará otra fórmula para el
polinomio de interpolación en la que intervienen las diferencias
divididas de los datos xi a interpolar.
Sea Pn(x) el polinomio que interpola f (xi) en xi, i =
0, 1, . . . , n. Entonces el grado de Pn(x) es menor o igual que
ny
Pn(xi) = f (xi).
Se verifica:
P1(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]
P2(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1]
+ (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]
y en general
Pn(x) = f (x0) + (x − x0)f [x0, x1] + . . .
+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . , xn],
que se llama fórmula de las diferencias divididas de Newton
para el polinomio de interpolación. Nótese que
Pn(x) = Pn−1(x)
+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn−1)f [x0, x1, . . . , xn].
Ası́ que, una vez que las diferencias divididas han sido
calculadas, podemos ir del grado n al grado n + 1 con un
mı́nimo de cálculo.
Únicamente presentaremos la demostración de los casos
n = 1 y n = 2. Para n = 1. Desde luego P1(x0) = f (x0).
f (x1) − f (x0)
P1(x1) = f (x0) + (x1 − x0)
x1 − x0
= f (x0) + (f (x1) − f (x0)) = f (x1).
Puesto que el grado de P1(x) es menor o igual que 1 y
cumple las condiciones de interpolación, es el polinomio de
interpolación, ya que es único.
Para el caso n = 2, nótese que
P2(x) = P1(x) + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]
y es de grado menor o igual que 2. Además
P2(x0) = P1(x0) = f (x0),
P2(x1) = P1(x1) = f (x1),
P2(x2)
= f (x0) + (x2 − x0)f [x0, x1] + (x2 − x0)(x2 − x1)f [x0, x1, x2]
= f (x0) + (x2 − x0)f [x0, x1] + (x2 − x1)(f [x1, x2] − f [x0, x1])
= f (x0) + (x1 − x0)f [x0, x1] + (x2 − x1)f [x1, x2]
= f (x0) + (f (x1) − f (x0)) + (f (x2) − f (x1)) = f (x2)
y de nuevo se aplica la unicidad del polinomio de interpolación.
La deducción de la fórmula en el caso general es más complicada
y sale fuera de los objetivos de este Capı́tulo.
Error en la interpolación polinomial Supóngase
que f (x) es n + 1 veces derivable con continuidad en el
intervalo [a, b]. Sea Pn(x) el polinomio de interpolación a f (x)
en los n + 1 puntos distintos de [a, b], x0, x1, . . . , xn. Entonces
f (x) − Pn(x)
(x − x0)(x − x1) . . . (x − xn) (n+1)
=
f
(cx)
(n + 1)!
(3)
()
para a ≤ x ≤ b, donde cx es un punto entre el el mı́nimo y el
máximo de x0, x1, . . . , xn y x.
Ejemplo 5. Sea f (x) = ex con 0 ≤ x ≤ 1 y considérese el
error en la interpolación lineal a f (x). De (3)
(x − x0)(x − x1) cx
e − P1(x) =
e
2
x
para algún cx entre el mı́nimo y el máximo de x0, x1 y x.
Supóngase que x0 < x < x1, entonces el error de interplación
es negativo y escribimos
(x − x0)(x1 − x) cx
e
e − P1(x) = −
2
x
lo que muestra que el error de interpolación es parecido a
un polinomio cuadrático con raı́ces x0 y x1. Puesto que
x0 < cx < x1 se tiene
(x − x0)(x1 − x) x0
e ≤ |ex − P1(x)|
2
(x − x0)(x1 − x) x1
≤
e .
2
Para obtener una cota independiente de x, utilice
(x − x0)(x1 − x) h2
=
max
x0≤x≤x1
2
8
h = x1 − x0 .
Nótese que la función (x − x0)(x1 − x) alcanza el máximo en
el punto medio de x0 y x1.
Por otra parte, téngase en cuenta que ex ≤ e para 0 ≤ x ≤ 1.
Ası́ que
2
h
e
x
|e − P1(x)| =
,
8
En el ejemplo:
0 ≤ x0 ≤ x ≤ x1 ≤ 1.
Sea la tabla:
x
.80
.81
.82
.83
.84
.85
.86
.87
.88
.89
Obtener una estimación de
ex
2.225541
2.247908
2.270500
2.293319
2.316367
2.339647
2.363161
2.386911
2.410900
2.435130
e0.826 usando interpolación lineal
en la tabla anterior. Se elige x0 = 0.82 y x1 = 0.83. Entonces
P1(x) = 2.270500 +
2.293319 − 2.270500
(x − 0.82)
0.83 − 0.82
= 2.270500 + 2.2819(x − 0.82)
En particular
P1(0.826) = 2.2841914.
El valor verdadero redondeado a ocho dı́gitos significativos es
.
e0.826 = 2.2841638.
El error es e0.826 − P1(0.826) = −0.0000276.
Tenemos en
2
h
e
x
|e − P1(x)| =
,
8
0 ≤ x0 ≤ x ≤ x1 ≤ 1.
x = 0.826 y h = 0.01. Entonces
2
(0.01)
(2.72)
x
= 0.0000340
|e − P1(x)| ≤
8
Ejemplo 6. Sea f (x) = ex para 0 ≤ x ≤ 1. Considérese el
error de interpolación cuadrático
(x − x0)(x − x1)(x − x2) cx
e − P2(x) =
e
6
x
para algún cx entre el mı́nimo y el máximo de x0, x1, x2, x.
Supóngase que h = x1 − x0 = x2 − x1 y que x0 < x < x2.
Suponiendo que todos los nodos x están en [0, 1], igual que en
el ejemplo anterior, se obtiene
(x − x0)(x − x1)(x − x2)) 1
x
e
|e − P2(x)| ≤ 6
Ahora tenemos en cuenta que
3
(x − x0)(x − x1)(x − x2)) h
= √ .
max 9 3
x0≤x≤x2
6
De donde se obtiene
3
h
e .
x
|e − P2(x)| ≤ √ = 0.174h3.
9 3
Para h = 0.01, 0 ≤ x ≤ 1,
|ex − P2(x)| ≤ 1.74 × 10−7.
Si Pn+1(x) el polinomio de interpolación a f (x) en los n + 2
puntos distintos x0, x1, . . . , xn, xn+1, usando la forma de las
diferencias divididas de Newton, se tiene
Pn+1(x) = Pn(x)
+ (x − x0)(x − x1) . . . (x − xn)f [x0, x1, . . . , xn+1].
con Pn(x) interpolando f (x) en los puntos x0, x1, . . . , xn.
Usando la propiedad de interpolación y haciendo x = xn+1, se
obtiene
f (xn+1) = Pn(xn+1)
+ (xn+1 − x0)(xn+1 − x1) . . . (xn+1 − xn)f [x0, x1, . . . , xn+1].
Considerando a xn+1 como un punto variable y renombrándolo
como t, se tiene
f (t) − Pn(t)
+ (t − x0)(t − x1) . . . (t − xn)f [x0, x1, . . . , t].
Éste es el error de interpolación al sustituir f (t) por Pn(t),
que es cero cuando t es uno de los nodos x0, x1, . . . , xn.
Comparando esta fórmula con la 3 en x = t, se llega a
Ψn(t) (n+1)
f
(ct)
(n + 1)!
= Ψn(t)f [x0, x1, . . . , t],
donde
Ψn(t) = (t − x0)(t − x1) . . . (t − xn).
Simplificando Ψn(t) en ambos lados de la igualdad
f (n+1)(ct)
= f [x0, x1, . . . , t],
(n + 1)!
donde ct está entre el mı́nimo y el máximo de x0, x1, . . . , xn y
t.
REFERENCIAS
Kendall Atkinson, Elementary Numerical Analysis, Second
Edition, Jhon Wiley & Sons, Inc. New York, 1993
A. Cordero Barbero, J.L. Hueso Pagoaga, E. Martı́nez
Molada, J.R. Torregrosa Sánchez, Problemas resueltos de
Métodos Numéricos, Edit. Thomson, Madrid, 2006, ISBN
84-9732-409-9.