UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER SEDE MÁLAGA 1.er

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
SEDE MÁLAGA
1.er parcial de cálculo I
Prof. Edwin Flórez G.
1. (1 punto)
a) Demuestre que los siguientes números son irracionales (escoja uno de los dos)
i) log10 3.
√
√
ii) 2 + 3
b) Conteste falso (F) o verdadero (V). Sea a, b ∈ I y c ∈ Q, entonces
i. a + b ∈ I
iii. ab ∈ I
v. a + c ∈ I
vii. c − a ∈ I
iv. ac ∈ I
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
ii. a − b ∈ I
iv. ab ∈ I
vi. a − c ∈ I
viii. ac ∈ I
x. ac ∈ I
( )
( )
( )
( )
( )
2. (1 punto) Si π ≈ 3,14159265368979323846
a) Encuentre dos racionales no periódicos, uno mayor y otro menor que π cuyo error de aproximación sea menor o igual a 0,00001.
b) Encuentre dos irracionales uno mayor y otro menor que π con la misma aproximación del item
anterior.
³ ´
c) Encuentre dos racionales periódicos
p
q
que cumplan las condiciones del item anterior.
3. (1 punto) Demuestre (escoja uno de los dos)
√
a) Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces 12 (a + b) ≥ ab.
¯
¯
b) ∀ a, b ∈ R se tiene que |a − b| ≥ ¯|a| − |b|¯.
4. (1 punto si hace 4a y dos si hace 4b)
a) Encuentre la distancia del punto (6, 6) y la recta 7y + 2x = −13.
b) Deduzca la fórmula para encontrar la distancia de cualquier punto (x0 , y0 ) a cualquier recta
Ax + By + C = 0.
5. (1 punto) Resuelva
a)
1
|x−3|
−
1
|x+4|
≥ 0.
b) 8x3 + 4x2 − 2x − 1 < 0.
6. (1 punto) Dado el triángulo formado por los puntos A(0, 2), B(−8, 8) y C(8, 6), encuentre la ecuación
de la recta que pasa por el punto A y es la bisectriz del ángulo formado por el mismo punto.
7. (1 punto) Evaluar y simplificar la expresión
√
a) f (x) = 2x.
b) f (x) =
f (x+h)−f (x)
h
para las siguientes funciones
x
x+1 .
8. (1 punto) De cada esquina de un cuadrado de hojalata de 12 cm de lado, se retiran cuadrados de
x cm’s de lado, y los extremos se doblan para formar una caja abierta. Exprese el volumen V de la
caja (en centı́metros cúbicos) como función de x, y determine el dominio y recorrido de la función;
encuentre aproximadamente el volumen máximo que puede tener la caja, sugerencia: realice un
bosquejo de la gráfica.
“No se ha hecho nada si aun queda
algo por hacer”.
Carl F. Gauss (1777-1865)