Fundamentos de la Teoria de Aproximacion

Fundamentos de la Teorı́a de Aproximación de Funciones.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica. Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
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Introducción.
Estas notas tienen como objetivo presentar los fundamentos de la teorı́a de aproximación de funciones. La
aproximación de funciones, además de constituir un problema importante por si misma, es una subtarea en
muchos otros problemas de análisis numérico, por ejemplo: En la integración numérica de funciones y en la
solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, tanto en los problemas de valor inicial como
en los problemas de valor en la frontera.
De una manera muy simple, el problema de aproximación de funciones puede establecerse de la siguiente
manera. Aproximar una función f mediante una función f ∗ que pertenece a una clase de funciones
que es muy sencilla de trabajar con ellas. Posibles ejemplos son: Polinomios, funciones racionales
o funciones trigonométricas. En estas notas, se considerará exclusivamente el problema de aproximar una
función f de una única variable definida en un intervalo cerrado. Frecuentemente, no se conoce la función f de
manera completa, sino que exclusivamente se conoce el valor de la función en forma de una tabla f (x0 ), f (x1 ),
f (x2 ), . . ., f (xm ), de los valores de la función para el conjunto de puntos G = {xi }m
i=0 que se denomina una
red.
Cuando, se realiza la tarea de aproximación de funciones, aparecen dos posibles fuentes de error:
1. Errores en los datos necesarios para resolver el problema. Es decir, errores en los valores de f (xi ), este
tipo de errores se denominan errores en la medición.
2. Errores en la selección de la clase de funciones seleccionadas para aproximar la función, f (x), este tipo de
error se denomina error en el modelo.
El problema mas frecuente que trataremos es el problema de interpolación lineal, en este problema, la
función f (x) debe aproximarse empleando una función f ∗ (x) que puede expresarse como una combinación
lineal, dada por
(1)
f ∗ (x) = c0 φ0 (x) + c1 φ1 (x) + · · · + cn φn (x),
de las n + 1 funciones φ0 , φ1 , · · ·, φn que se seleccionan de antemano y c0 , c1 , · · ·, cn son los parámetros cuyos
valores deben determinarse.
Suponga, ahora, que deseamos determinar los n + 1 parámetros c0 , c1 , · · ·, cn de manera que f ∗ (xi ) = f (xi )
para todos los m + 1 puntos de la red. Entonces, se obtiene un sistema de m + 1 ecuaciones con n + 1 incógnitas
dado por
φ0 (x0 ) c0 + φ1 (x0 ) c1 + · · · + φn (x0 ) cn
φ0 (x1 ) c0 + φ1 (x1 ) c1 + · · · + φn (x1 ) cn
=
=
··· =
φ0 (xm ) c0 + φ1 (xm ) c1 + · · · + φn (xm ) cn =
1
f ∗ (x0 )
f ∗ (x1 )
···
f ∗ (xm )
(2)
La ecuación (2) puede expresarse en forma matricial como
⎡
⎢
0 | φ
1 | · · · | φ
n ⎢
φ
⎢
⎣
c0
c1
..
.
⎤
⎥ ⎥
⎥ = f∗
⎦
(3)
cn
donde
⎡
⎢
i = ⎢
φ
⎢
⎣
φi (x0 )
φi (x1 )
..
.
⎡
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
y
⎢
⎢
f∗ = ⎢
⎣
f ∗ (x0 )
f ∗ (x1 )
..
.
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
(4)
f ∗ (xm )
φi (xm )
Existen dos posibles situaciones de este sistema de ecuaciones:
1. Si m = n, el sistema de ecuaciones tiene, normalmente, exactamente una solución. En este caso, la determinación de la función f ∗ se denomina interpolación o colocación. La condición necesaria y suficiente
para que el sistema tenga solución única es que el conjunto de las columnas de la matriz de coeficientes
1 , · · · , φ
n } deben
0 , φ
de la ecuación (3) sea linealmente independiente; en otras palabras, los vectores {φ
ser linealmente independientes. Otra manera de indicar la condición anterior es decir que las funciones
{φ0 , φ1 , . . . , φn } sea linealmente independiente sobre la red, dada por G = {xi }m
i=0 .
2. Si m > n, entonces sólo de manera excepcional es posible asegurar f ∗ (x) = f (x) para todos los puntos
de la red G = {xi }m
i=0 . En este caso el sistema tiene mas ecuaciones que incógnitas y el sistema se
denomina sobredeterminado. La sobredeterminación se emplea para lograr dos diferentes tipos de
suavizamiento.
• Reducir el efecto de los errores aleatorios en los valores de la función, es decir el efecto de los errores
en la medición.
• Proporcionar a la función f ∗ (x) una forma “mas suave” entre los puntos de la red, aun cuando no
se presentan error en las mediciones alguno.
En notas posteriores, se indicarán algunos métodos para resolver estos dos tipos de problemas de la aproximación de funciones.
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