Introducción a los sistemas dinámicos Actividad 5 Juan Pablo

Introducción a los sistemas dinámicos
Actividad 5
Juan Pablo Navarrete Carrillo
DINÁMICA SIMBÓLICA
El espacio de sucesiones de 0’s y 1’s se denota por
Σ2 . Si s = (s0 s1 s2 . . .) y t = (t1 t2 t3 . . .) son elementos
de Σ2 , definimos la distancia entre ellos mediante la
fórmula:
∞
∑
|si − ti |
d[s, t] :=
2i
i=0
Proposición. 0.1. La función d es una métrica en
Σ2
Proposición. 0.2. Sean s, t ∈ Σ2 y suponga que
si = ti para i = 0, 1, . . . , n, entonces d[s, t] ≤ 1/2n .
Recı́procamente, si d[s, t] < 1/2n , entonces si = ti
para i ≤ n.
Definición. 1. La función “shift” σ : Σ2 → Σ2
está dada por
σ(s0 s1 s2 . . .) = (s1 s2 s3 . . .)
Proposición. 0.3. La función shift σ : Σ2 → Σ2 es
continua.
Proposición. 0.4. Se tiene lo siguiente:
1. La cardinalidad de P ern (σ) es 2n .
2. P er(σ) es denso en Σ2 .
3. Existe una órbita densa para σ en Σ2 .
Ejercicios
1. Sean
s = (001001001 . . .)
t = (010101 . . .)
r = (101010 . . .).
Calcule:
a) d[s, t],
b) d[t, r],
c) d[s, r].
2. Identifique todas las sucesiones en Σ2 que
son puntos periódicos de perı́odo 3 para σ.
¿Qué sucesiones están en la misma órbita bajo
σ?
3. Sea Σ′ el subconjunto de Σ2 que consiste de todas las sucesiones que satisfacen: si sj = 0 entonces sj+1 = 1. En otras palabras, Σ′ consta
de las sucesiones en Σ2 que no tienen dos ceros
consecutivos.
a) Muestre que σ preserva Σ′ y que Σ′ es un
subconjunto cerrado de Σ.
b) Muestre que los puntos periódicos de σ son
densos en Σ′ .
c) Muestre que hay una órbita densa en Σ′ .
d ) ¿Cuántos puntos fijos hay para σ, σ 2 , σ 3 en
Σ′ ?
e) Encuentre una fórmula recursiva para el
número de puntos fijos de σ n en términos
del número de puntos fijos de σ n−1 y σ n−2 .
4. Sea s ∈ Σ2 . Defina el conjunto estable de s,
W s (s), como el conjunto de t ∈ Σ2 tales que
d[σ i (s), σ i (t)] → 0 cuando i → ∞. Identifique
todas las sucesiones en W s (s).