FUNDACION UNIVERSIDAD CENTRAL

TALLER No 0
GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
OBJETIVO ESPECÍFICO: Comprender el significado de una ecuación diferencial y de su solución
Solución de una ecuación diferencial, clases de ecuaciones diferenciales y planteamiento de
ecuaciones diferenciales a partir de algunos enunciados de problemas de aplicación.
EJERCICIOS
1. En cada una de las siguientes ecuaciones, identifique el tipo de ecuación,
orden.
a. Y ’ + 2Y = x
el grado y el
2
b. X 2-Y =3
Y
c. X 2  X  3  LnX
d. ( Y ’’ ) 3 – Y ’ - 2Y = x ( 2x +3 ) dx + xdY = 0
2
e. ( 2X +3 ). X + X. Y = 0
f. 2Y 2 + Y + 4 = 0
g.
2
Y ’’ - 2Y = cos( x )
2. En el espacio de la izquierda, coloque el número de la ecuación diferencial de la derecha,
de la cual la función dada es solución.
___ Y = 2X 3
1. Y ‘’ +Y = 0
___ Y = 3 Cos X – 5 SenX
2. Y ‘’ + 4Y = 5e-x
___ Y = SenX +X2
3. X dY = 3Y dX
3x
___ Y = 2 e - e
2x
___ Y = e2x - 3 e-x
___ Y = 3 Sen2X + e-x
d 2 y dy
4.

 2y  0
dx 2 dx
d2y
dy
5.
y
 3 y  2e 2 x
2
dx
dx
6. Y ‘’ + Y = X 2 + 2
3. Dé 2 ejemplos de:
a. Ecuaciones diferenciales de primer orden, una lineal y otra no lineal.
b. Ecuaciones diferenciales de segundo orden, una lineal y otra no lineal.
c. Ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, una lineal y otra no lineal.
4. En los siguientes enunciados, plantee una ecuación diferencial que se ajuste a la
descripción.
a. La razón de cambio de una población p de bacterias en un instante t es proporcional a
la cantidad de bacterias que hay en ese instante.
b. La velocidad en un instante t de una partícula que se mueve a lo largo de una línea
recta es proporcional a la cuarta potencia de su posición .
c. La razón de cambio en la temperatura T del café en el instante t es proporcional a la
diferencia entre la temperatura m del aire y la temperatura del café.
d. La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado
de la masa de sal presente en el instante t.
e. Suponga que un alumno portador del virus de la gripe regresa a su escuela, que
queda aislada y tiene 1000 alumnos. Deduzca una ecuación diferencial que
represente la cantidad de personas x(t) contagiadas, si la rapidez con que se propaga
la enfermedad es proporcional a la cantidad de contactos entre los alumnos con gripe
y los que todavía no han estado expuestos a ella
5. El piloto A ha permanecido 3 millas delante de su rival B durante cierto tiempo. A solo 2
millas antes de la meta, el piloto A se quedó sin gasolina y comenzó a desacelerar a una
razón proporcional al cuadrado de su velocidad restante. Una milla después, la velocidad
del piloto A se había reducido exactamente a la mitad. Si la velocidad del piloto B
permaneció constante, ¿quién ganó la carrera?
6. Investigue dos (2) temas de aplicación de las ecuaciones diferenciales a su respectiva
carrera. Enuncie y plantee un (1) problema relacionado con cada uno de esos temas.
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TALLER No. 1
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
OBJETIVO ESPECIFICO: Reconocer las ecuaciones diferenciales de variables separables como
antiderivadas y solucionarlas correctamente.
Algoritmo de solución:
y ´ = f(x) g(y)
dy
 f ( x) g ( y )
dx
dy
 f ( x)dx
g ( y)
dy
 g ( y)   f ( x)dx
G ( y )  F ( x)  C
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EJERCICIOS
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales:
1. xydx - (x - 1)dy = 0
2. xcos2ydx + tanydy = 0
3. (1 + lnx)dx + (1 + lny)dy = 0
4. a2dx = x ( x2 - a2) dy
5. dr = bcos  dr + r sen  d 
6. dx = t(1 + t2)sec2xdt
7. dy/dx = ysecx
8. (e2x + 4)dy = ydx
9. du/dt = (t2 + 1)/(u2 + 1)
10. y’ = x2y2 + y2 + x2 + 1
11.
y’ = y2(y - 1)2
12. ex+y dx + e 2x-3y dy = 0
13. xydx - (x +2)dy =0
14. xy3dx + (y + 1)e-x dy = 0
15. x2yy’ = ey
16. N ' (t )  N  Nte t 2
dy
xy  3 y  x  3
17.

dx xy  2 x  4 y  8
dx
 
18.
 4( x 2  1)
si x    1
dt
4
2
19. x y'  y  xy
si y(1)  1
20.
1  y 2 dx  1  x 2 dy  0
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si y(0)  1
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TALLER No. 2
PROBLEMAS DE CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION
MODELO MATEMÁTICO:
dA
 kA
dt
PROBLEMAS
1. La población de una ciudad crece con una rapidez que es proporcional al número de
habitantes presente en cualquier tiempo t. Si la población de esa ciudad era de 30.000 en
1970 y 35.000 en 1980. Cual será la población de esa ciudad en 1990?
2. En un cultivo de bacterias la rapidez de crecimiento del número de bacterias es
proporcional al número presente.
a) ¿Si el número se triplica en 5 horas. ¿Cuántas habrá en 10 horas?
b) ¿Cuándo el número será 10 veces en número inicial?.
3 Suponga que la rapidez con que se desintegra un núcleo radioactivo es proporcional al
número de núcleos que están presentes en una muestra dada. En una determinada muestra
10% del número original de núcleos radioactivos han experimentado desintegración en un
periodo de 200 años.
a) ¿Que porcentaje de núcleos radioactivos originales quedará después de 1000 años?.
b) ¿En cuantos años quedará solamente un cuarto del número original?.
4. La cantidad de bacterias de un cultivo en un instante cualquiera crece con una rapidez
proporcional al número de ellas presente en dicho instante. Después de 3 horas se observa
que se tienen 400 bacterias y que al cabo de 10 horas hay 2500.
a) ¿Cuál es el número de bacterias que hay en cualquier instante?
b) ¿Cuál es el número inicial de bacterias del cultivo?.
5. El isótopo radioactivo de plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad
existente en un instante, y tiene una semivida o periodo medial de 3.3 horas. Si inicialmente
hay 10 gramos de plomo. ¿Qué tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho
elemento?
6. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con
que su intensidad I disminuye es proporcional a I(t), en donde t representa el espesor del
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medio, expresado en pies. En agua de mar limpia, la intensidad a 5 pies bajo la superficie es
35% de la intensidad inicial Io del rayo incidente.
a) ¿Cuánta es la intensidad del rayo a 20 pies bajo la superficie?
b) ¿Cuál es la intensidad para cualquier espesor?
7. Se sabe que cierta población de la bacteria B tiene una tasa de crecimiento proporcional a
B. si entre el mediodía y las dos de la tarde la población se triplica sin ejercer control alguno.
¿A qué hora B será 100 veces mayor que al medio día?
8. El elemento radio se descompone a una velocidad que es proporcional a la cantidad
presente de este elemento. Suponga que en 25 años se ha descompuesto aproximadamente
el 11% de cierta cantidad de radio. Determine de manera aproximada cuánto tiempo pasará
para que la mitad de la cantidad original del radio se descomponga.
9. Cierta sustancia radioactiva tiene una vida media de 38 horas. Encuentre cuánto tiempo
debe pasar para que el 90% de la radioactividad se disipe.
10. La cantidad de bacterias de un cultivo crece en un instante cualquiera, con una rapidez
proporcional al número de ellas que haya en dicho instante. Después de 3 horas se observa
que se tienen 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 2000. ¿Cuál es el número inicial de
bacterias?
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TALLER No. 3
ENFRIAMIENTO Y CALENTAMIENTO
Esta aplicación se fundamenta en la LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON:
dT
 k (T  Tm )
dt
PROBLEMAS
1. Un termómetro que marca 18oF se lleva al interior de una habitación donde la
temperatura mide 70oF; un minuto más tarde la lectura del termómetro es de 31 oF.
a) Determine las lecturas en el termómetro como una función del tiempo.
b) Encuentre cuánto marcará 5 minutos después de que es llevado a la habitación
2. Un termómetro que marca 75oF se lleva al exterior, donde la temperatura es de 20oF.
Cuatro minutos después la lectura indica 30oF. Encuentre
a) La temperatura que marcará el termómetro 7 minutos después de sacarlo al exterior.
b) El tiempo que pasa para que la lectura descienda desde los 75 oF hasta los 20oF.
3. A la 1:00 p.m., un termómetro que marca 70 oF es llevado al exterior donde la temperatura
del aire mide -10oF. A la 1:02 p.m., la lectura indica 26oF. A la 1:05 p.m., el termómetro es
regresado al interior, donde la temperatura ambiente está a 70 oF. ¿Qué temperatura
marcará el termómetro a la 1:09 de la tarde?
4. Un cuerpo cuya temperatura es de 80oF se coloca en el tiempo t = 0 en un medio en que la
temperatura se conserva a 50oF. Después de 5 minutos, el cuerpo se ha enfriado hasta una
temperatura de 70oF.
a) ¿Cuál será la temperatura del cuerpo después de 10 minutos?
b) ¿Cuándo la temperatura del cuerpo será de 60oF?
5. Un cuerpo se enfría desde 60oC hasta 50oC en 15 minutos y el aire en que se encuentra se
conserva a 30oC. ¿En qué tiempo se enfriará el cuerpo desde 100 oC hasta 80oC en el aire que
se conserva a 50oC?
6. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, donde la
temperatura del aire es de 5oF. Después de 1 minuto el termómetro marca 55oF y después de
5 minutos marca 30oF. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?
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7. Un termómetro se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 70oF, al
exterior en donde la temperatura es de 10oF. Después de ½ minuto el termómetro marca
50oF.
a) ¿Cuánto marca el termómetro cuando t = 1 minuto?
b) ¿Cuánto tiempo demorará el termómetro en alcanzar los 15oF?
8. Se saca un alimento de un refrigerador que está a - 90oC al medio ambiente cuya
temperatura es de 22oC. Si después de 10 minutos el alimento se encuentra a -75oC.
a) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo en cualquier tiempo?
b) ¿En qué tiempo alcanza el alimento los 0oC?
9. A las 9 de la mañana un termómetro que marca 70oF es llevado fuera, donde la
temperatura mide 15oF. Cinco minutos después, el termómetro marca 45oF. A las 9:10 a.m.,
el termómetro es regresado al interior, donde la temperatura es fija a 70 oF. Encuentre:
a) La lectura marcada a las 9:20 a.m
b) Al grado más cercano, calcule cuándo mostrará la lectura la temperatura correcta de la
habitación 70oF.
10. A las 2:00 p.m., un termómetro que marca 80oF es llevado al exterior, donde la
temperatura del aire mide 20oF. a las 2:03 p.m., la temperatura obtenida de la lectura del
termómetro es de 42oF. Más tarde el termómetro es llevado dentro, donde la temperatura
está a 80oF. A las 2:10 p.m., la lectura indica 71oF. Cuándo se regresó el termómetro al
interior.
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TALLER No 4
Ecuaciones diferenciales homogéneas
OBJETIVO ESPECIFICO: Identificar las ecuaciones diferenciales homogéneas y solucionarlas
correctamente.
Algoritmo de solución
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
Busque
otra
opción
No
Grados
de
Términos
son
Sí
Es
homogénea
Iguales?
Haga:
U = y/x
o
V = x/y
Derive
Reemplace
Variables separables
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EJERCICIOS
Solucionar:
1. (x - y)(4x + y)dx + x(5x - y)dy = 0
2. t(s2 + t2)ds - s(s2 - t2)dt = 0
3. (xcsc(y/x) - y)dx + xdy = 0
4. (y2 + 7xy + 16x2)dx + x2dy = 0; y(1) = 1
5. (x - ylny + ylnx)dx + x(lny - lnx)dy = 0
6. (5v - u)du + (3v - 7u)dv = 0
7. y2dy = x(xdy - ydx)ex/y
8. (y + x Cot (y/x))dx - xdy = 0
9. xydx + ( x2 + 2y2 )dy = 0
10. xCos(y/x). dy/dx = yCos(y/x) - x
11. 3x2 (dy/dx) = 2x2 + y2
`
12. ( 4x + y ) (dy/dx) = y - 2x ; y(2) = 1
13. ( yCos(y/x) + xSen(y/x) )dx = xCos(y/x)dy
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TALLER No 5
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
OBJETIVO ESPECIFICO: Identificar éste tipo especial de ecuaciones diferenciales, hallar su
solución correctamente y preparar al estudiante para enfrentar el tema de factor de
integración.
Algoritmo de solución
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0
Busque
otra
Opción
No
M N

y
x
?
Sí
Es
Exacta
Integre
Halle la(s) constante(s)
Dé la solución: f(x,y) = c
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EJERCICIOS
Analice cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, si es exacta resuélvala:
1. (2xy - tany)dx + (x2 - xsec2y)dy = 0
2. 3y(x2 - 1)dx + ( x3 + 8y - 3x)dy = 0
3. (xy2 + x - 2y +3)dx + x2ydy = 2(x + y)dy
4. 3y(x2 - 1)dx + (x3 + 8y -3x) dy = 0 ; Y(0) = 1
5. (w3 + wz2 - z)dw + ( z3 + w2z - w) dz = 0
6. (1 - xy)-2 dx + (y2 + x2(1 - xy)-2 )dy = 0
7. (cosxcosy - cotx)dx - senxsenydy = 0
8. v(2uv2 - 3)du + (3u2v2 - 3u + 4v)dv = 0
9. (2x + y)dx - (x +6y)dy = 0
10. (Seny - ySenx)dx + (Cosx + xCosy - y)dy= 0
11. (x3 + y3)dx + 3xy2dy = 0
12. (5y - 2x)y’ - 2y = 0
13. (3xCosx + Senx - 3)dx + (2y + 5)dy = 0
14. (2x/y)dx - (x2/y2)dy = 0
15. (1 + lnx + (x/y))dx = (1 - lnx)dy
16. (x + y)(x - y)dx + x(x - 2y)dy = 0
17. (2x + 4)dx + (3y - 1)dy = 0
18. xy’ = 2xex - y + 6x2
19. (1 - 2x2 - 2y)y’ = 4x3 + 4xy
20. (x2y3 - 1/(1 + 9x2))y’ + x3y2 = 0
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TALLER No 6
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
OBJETIVO ESPECIFICO: Las ecuaciones diferenciales lineales, tienen múltiples aplicaciones y
su solución permite analizar y predecir el comportamiento de fenómenos físicos, químicos y
sociales, por lo tanto es indispensable reconocerlas y solucionarlas correctamente.
Algoritmo de solución
Y´ + P (x) Y = f (x)
P( x ) dx
 (x) = e 
 (x) y´ +  (x) y = f (x)  (x)
 (x) y =
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
f (x)  (x) dx
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EJERCICIOS
Solucionar:
1. ydx + (xy + 2x - yey)dy = 0
2. (x + 1)dy/dx + (x + 2)y = 2x e-x
3. y’ - 4y = 9x - 6
4. y’ - 6y = 4x2 + 3
5. (1 + x2)dy + (xy + x3 + x)dx = 0
6. (1 - x3)y’ = 3x2y
7. y’ + yCotx = 2 Cosx
8. (y - Cos2x)dx + Cos xdy = 0
9. udx + (1 - 3u)xdu = 3udu
10. (1 + x)y’ - xy = x +x2
11. xy’ + (1 + x)y = e-x Sen2x
12. x(1 - x2)dy/dx - y + ax3 = 0
13. (1 - Cosx)dy + (2ySenx - tanx)dx = 0
14. (x2 + x)dy = (x5 + 3xy)dx
15. (x + 2)y’ + (x + 2)y = 2xe-x
16. xy’ + 2y = ex + lnx
17. y’ = x - 2yCot2x
18. y’ + 2xy = f(x) ; f(x) = x si 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = 0 si x >1 ; y(0) = 0
19. y’ + 2y = f(x) ; f(x) = 1 si 0 ≤ x < 3 y f(x) = 0 si x ≥ 3 ; y(0) = 1
20. y’ + y = f(x) ; f(x) = 1 si 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = -1 si x > 1 ; y(0) = 0
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TALLER No 7
APLICACIÓN A PROBLEMAS DE MEZCLAS
Modelo Matemático:
dQ
Q
 c E .v E 
.v S
dt
Vo  (v E  v S )t
PROBLEMAS
1. Un tanque de 600 galones contiene inicialmente 200 galones de salmuera con 25 libras de
sal. Una salmuera que contiene 2 libras de sal por galón entra al tanque a una tasa de 4
galones por minuto, la salmuera bien mezclada en el tanque fluye hacia fuera a razón de 6
galones por minutos.
a) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque en cualquier tiempo?
b) ¿Cuando tiene el tanque la máxima cantidad de sal?
2. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de agua. Comenzando en un t = 0, entra agua
que contiene 3 libras de sal por galón a razón de 4 galones por minuto. La mezcla se conserva
uniforme mediante agitación y estando bien mezclada sale del tanque a razón de 6 galones
por minuto.
a) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque en cualquier tiempo?
b) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque a los 20 minutos?
3. Un tanque grande contiene inicialmente 200 galones de salmuera en la que se han disuelto
15 kilogramos de sal, en el tiempo cero entra al tanque agua a razón de 5 galones por
segundo, bien mezclada la solución sale de el tanque con la misma rapidez.
a) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque el cualquier momento?
b) ¿Cuándo tiene el tanque la máxima cantidad de sal?
4. Se bombea cerveza con un contenido de 8% de alcohol por galón a un tanque que
inicialmente 1000 galones de cerveza con 4% de alcohol. La cerveza se bombea hacia el
interior con una rapidez de 5 galones por /minuto, en tanto que el liquido bien mezclado sale
del tanque a razón de 8 galones por minuto.
a) ¿En que tiempo hay en el tanque la máxima cantidad de alcohol?
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b) Cuál es el porcentaje de alcohol que hay en el tanque después de 20 min?
5. Un gran depósito está lleno con 500 galones de agua. Una salmuera que contiene 2 lbs.,
de sal por galón se bombea al deposito con una rapidez de 6 galones por minuto, la solución
adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma velocidad.
a) ¿Qué cantidad de sal hay en el tanque en cualquier instante?
b) ¿En qué tiempo tiene el deposito la mayor cantidad de sal?
6. Un tanque contiene 80 galones de agua pura. Una solución de salmuera que contiene 2
libras de sal por galón es introducida en el tanque a razón de 2 galones por minuto y luego
perfectamente mezclada, sale a una velocidad de 3 galones por minuto.
a) Encuentre la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier momento.
b) ¿En qué tiempo tiene el tanque la mayor cantidad de sal?
7. Para el tanque del problema 6, determine la cantidad de sal que hay en el valor límite de
tiempo. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que la cantidad de sal alcance un valor de 4 libras?
8. Un tanque contiene inicialmente 100 galones de salmuera en el que se han disuelto 20
libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, una salmuera que contiene 3 libras de sal
disuelta por galón entra al tanque a razón de 4 galones por minuto. La mezcla se conserva
uniforme mediante agitación, y estando bien agitada sale simultáneamente del tanque con la
misma rapidez.
a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 10 minutos?
b) ¿Cuándo se tendrán en el tanque 160 libras de sal?
9. Un tanque grande contiene inicialmente 100 galones de salmuera en el que se han disuelto
10 libras de sal. Comenzando en t = 0, entra agua pura al tanque a razón de 5 galones por
minuto. La mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y estando la mezcla bien
agitada sale simultáneamente con una rapidez de 2 galones por minuto.
a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 15 minutos y cual será la
concentración en ese tiempo?
b) Si la capacidad del tanque es de 250 galones, ¿cuál será la concentración en el tanque
en el instante en que se llena?
10.Un tanque contiene inicialmente100 galones de agua pura. Comenzando en t = 0, una
salmuera que contiene 4 libras de sal por galón entra al tanque a razón de 5 galones por
minuto. La mezcla se conserva uniforme mediante agitación y estando bien agitada sale con
una rapidez de 3 galones por minuto.
a) ¿Qué cantidad de sal habrá en el tanque después de 20 minutos?
b) ¿Cuándo habrá en el tanque 50 libras de sal?
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TALLER No. 8
CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE RC Y RL
Esta aplicación se fundamenta el las LEYES DE KIRCHOFF:
CIRCUITO ELECTRICO RC EN SERIE:
CIRCUITO ELECTRICO RL EN SERIE:
Ri +
L
1
q  E (t ) ,
C
i=
dq
dt
di
+ Ri = E(t)
dt
PROBLEMAS
1. A un circuito en serie en el cual la inductancia es de 0.1 Henrios y la resistencia es de 50
ohmios, se le aplica una tensión de 30 Voltios. Evalúe la corriente i(t), si i(0) = 0. Determine
también la corriente cuánto t tiende a infinito.
2. A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 200 ohmios y la capacitancia es de 10-4
Faradios, se le aplica una tensión de 100 voltios. Calcule la carga q(t) en el capacitor si q(0) =
0 y obtenga la corriente i(t).
3. A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 1000 ohmios y la capacitancia es de 5 x
10-6 Faradios, se le aplica una tensión de 200 voltios. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si
i(0) = 0.4. Determinar la carga y la corriente para t = 0.005 segundos y la carga cuando t
tiende a infinito.
4. Un circuito RC tiene una fuerza electromotriz (V) de 5 voltios, una resistencia de 10
ohmios, una capacitancia de 10-2 faradios y una carga inicial de 5 culombios en el
condensador. Hallar:
a) La corriente transitoria.
b) La corriente en condiciones estables.
5. Un circuito RL que no tiene fuente fem. (Fuerza electromotriz), tiene una corriente
inicial dada por Io. Hallar la corriente en cualquier momento t .
6. Un circuito RL tiene una fem., dada en voltios por 4 Sen (t), una resistencia de 100
ohmios, una inductancia de 4 henrios y no tiene corriente inicial. Hallar la corriente en
cualquier momento t.
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7. La corriente RL tiene una fem., de 5 voltios, una resistencia de 50 ohmios, una
inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inicial. Halle la corriente en el circuito para un
momento t.
8. Un circuito RL tiene una fem., dada en voltios por 3 Sen (2t), una resistencia de 10
ohmios, una inductancia de 0.5 henrios y una corriente inicial de 6 amperios. Halle la
corriente en el circuito en un momento t.
9. Un circuito RC tiene una fem., dada en voltios por 400 Cos (2t), una resistencia de 100
ohmios y una capacitancia de 10-2 faradios, inicialmente no hay carga en el condensador.
Halle la corriente en el circuito en un momento t.
10. Se aplica una fuerza electromotriz, correspondiente a:
120
E (t )  
0
si 0  t  20
si
t  20
a un circuito en serie LR, en donde la inductancia es de 20 henrios y la resistencia de 2 Ω
ohms. Determine la corriente i(t), si i(0) = 0.
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TALLER No 9 (Opcional)
APLICACIÓN A TRAYECTORIAS ORTOGONALES
Esta aplicación, se fundamenta en el principio de perpendicularidad de las rectas:
Dos rectas son ortogonales, si el producto de sus pendientes es igual a
menos uno:
m1 m2 = -1
EJERCICIOS
Encontrar una familia de trayectorias ortogonales a cada familia dada:
1. y = C1 x
2. y2 = C1 (x + y)
3. y = (x + C1 )3
4. y3 (x +1) = C1
5. y = e C1 x
6. x 1/5 + y 1/5 = C1
7. y = Cosx + C1
8. e y - e x = C1
9. tag y + tan x = C1
10. y = ln (tanx + C1 )
11. 2x2 + y2 = 4C1 x
12. x2 + y2 = 2C1 x
13. Senhy = C1 x
14. y = - x - 1 + C1 ex
15. 4y + x2 + 1 + C1 e2y = 0
16. y = 1/(C1 + x)
17. ya = C1 xb , a y b constantes
18. y3 + 3x2y = C1
19. y2 - x2 = C1 x3
20. y = 1/lnC1 x
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TALLER No. 10
ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR REDUCIBLES A PRIMER ORDEN.
OBJETIVO ESPECIFICO: Estas Ecuaciones Diferenciales son casos particulares de las
ecuaciones diferenciales de orden superior y los estudiantes, aplicando un proceso o una
sustitución adecuada, deben reducirlas a ecuaciones diferenciales de primer orden y
solucionarlas.
1. y ’’ = x 2 + 4
2. y’’’ = x 2 + 4
3. y’’ + y’ = x + 7
4. y’’’ + y’’ = x
5. x2 d2y/dx2 + (dy/dx)2 - x(dy/dx) = 0
6. 2(d2y/dx2) = (dy/dx)2 + 1
7. (1 + x2)(d2y/dx2) + x(dy/dx) + ax = 0
8. x(d2y/dx2) + dy/dx = 0
9. y(d2y/dx2) + (dy/dx)2 = 0
10. (d2y/dx2) = (dy/dx) ey
11. (d2y/dx2) + 2y (dy/dx) = 0
12. y2(d2y/dx2) + (dy/dx)3 = 0
13. (d2y/dx2) + (dy/dx)2 - 2ey(dy/dx) = 0
.
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TALLER No. 11
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
OBJETIVO ESPECÍFICO: Estos ejercicios tienen como finalidad que el estudiante practique los
procesos de los métodos que usan Coeficientes Indeterminados: método de Superposición
EJERCICIOS
Solucionar:
1. y’’ - 2y’ - 8y = 4e2x - 21 e-3x
2. y’’ + 2y’ + 2y = 10 Sen4x
3. y’’ - 3y’ - 4y = 16x - 12 e2x
4. y’’ + 2y’ + 10y = 5xe-2x
5. y’’’ +2y’’ - 3y’ - 10y = 8xe2x
6. 4y’’’ - 4y’’ - 5y’ + 3y = e2x +3x3
7. y’’ + y’ - 2y = 6 e3x + 4x2
8. y’’’ - 2y’’ - y’ + 2y = 9x2 - 8e3x
9. y(4) - 3y’’’ + 2y’’ = 3e-x + 6x2
10. y’’ - 6y’ + 9y = 4ex + 3x
11. y’’ + 8y’ +16y = 10e-4x - Senx
12. 2y’’ + y’ - y = ex/2 + e-x
13. y’’ + 5y’ - 14y = e2x + 3x
14. 4y’’ - 12y’ +9y = exCosx
15. y’’’- 6 y’’ = 3 - cosx
16. y (4) - 4 y’’ = 5x2 – e 2x
17. y’’’ - y’’ + y’ – y = xex
- e-x + 7
18. y’’’ - 3 y’’+ 3 y’ - y = x - 4 ex
19. y (4) + 2 y’’ + y = ( x - 1 )2
20. Use ecuaciones diferenciales de primer orden, con la teoría de las ecuaciones
diferenciales de orden superior, para solucionar la siguiente integral:
∫ ex cosx dx
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TALLER No. 12
VARIACIÓN DE PARAMETROS
OBJETIVO ESPECIFICO: Solucionando estos ejercicios el estudiante estará en capacidad de
comprender en mejor forma el método de Variación de Parámetros.
El proceso se basa en el uso del Wronskiano y en la aplicación del método de Cramer, para
la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
EJERCICIOS
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros:
1. y’’ + y = Coscx
2. y’’ - 2y’ + y = e2x(ex + 1)-2
3. y’’ + y = tanx
4. y’’ + y = tan2x
5. y’’ + y = Secx. Coscx
6. y’’ - 3y’ + 2y = e2x/(1 + e2x)
7. y’’ - 2y’ + y = exSen-1(x)
8. y’’ + 9y = Sen(2x)
9. y’’ + 9y = 2Sec(3x)
10. y’’’ + 8y’’ = -6x2 + 9x + 2
11. y’’ + 3y’ + 2y = e-x/x
12. y’’ - 2y’ + y = e x Lnx
13. y’’ + y = 1/(1 + Senx)
14. y’’’ + y’ = tanx
15. y’’ + y = Sec3x
16. y’’ - 2y’ + y = x ex lnx
17. y’’’ - 3y’’ + 3y’ - y = ex – x + 16
18. y (4) - y’’’ = ex
19. y’’ + 3y’ + 2y = 1/(1 + ex)
20. y’’ + 4y’ + 5y = e-2x.Secx
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TALLER No 13
CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN SERIE LRC
Esta aplicación se fundamenta en la LEY DE KIRCHOFF:
L
di
1
+ Ri + q  E (t ) ,
dt
C
i=
dq
dt
PROBLEMAS
1. Determine la carga q(t) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando L=0.25
henrys (h), R=10 ohms (Ω), C=0.001 farads (f), E(t)=0 voltios (V), q(0)=q0 coulombs ©
e i(0)=0 amperes (A)
2. Demuestre que la respuesta del problema anterior puede ser:
q 10 20t
q(t )  0
e sen(60t  1.249)
3
3. Determine la carga q(t) en el capacitor de un circuito en serie LRC, cuando t = 0.01seg,
L=0.05 h, R=2 Ω, C= 0.01 f, E(t)= 0 V, q(0) = 5 C e i(0)=0 A. Encuentre el primer
momento en el que la carga en el capacitor es cero.
4. Determine la carga y la corriente en el circuito en serie LRC, L=5/3 h, R=10Ω, C= 1/30
f, E(t)= 300 V, q(0) = 0 C e i(0)= 0 A. Encuentre la carga máxima en el capacitor.
5. Determine la carga y la corriente de estado estable en el circuito en serie LRC,
cuando: L=1 h, R=2Ω, C= 0.25 f y E(t)= 50cost V
6. Determine la carga en el capacitor de un circuito en serie LRC, si: L=1/2 h, R=10Ω,
C=0.01 f, E(t)= 150 V, q(0) =1 C e i(0)= 0 A. Cual es la carga en el capacitor cuando ha
transcurrido mucho tiempo?.
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TALLER No 14
SISTEMAS: MASA - RESORTE
Modelo Matemático:
m
d 2x
dx

 kx  f (t )
2
dt
dt
ó
d 2x
dx
 2
 w 2 x  f (t )
2
dt
dt
PROBLEMAS
1. Al fijar un contrapeso de 24lb al extremo de un resorte, lo estira 4 pulg. Deduzca una
ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un
punto que está 3 pulg., arriba de la posición de equilibrio.
2. Un contrapeso de 20 lb., estira 6 pulg., a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se
suelta partiendo del reposo, a 6pulg., debajo de la posición de equilibrio.
a) Calcule la posición del contrapeso cuando t = 3π/16
b) Hacia dónde se dirige el contrapeso en ese instante?
c) Cuándo pasa el contrapeso por la posición de equilibrio?
3. Un contrapeso de 64lb está unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 pies. Si
parte de una posición 8 pulg., sobre la posición de equilibrio, con una velocidad de 5
pies/s hacia abajo.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Deduzca la ecuación del movimiento.
Cuáles son la amplitud y el período del movimiento?
Cuántas oscilaciones completas habrá hecho el contrapeso a los 3πs?
Cuál es la posición del contrapeso cuando t = 3s?
Cuál es la velocidad cuando t = 3s?
Cuál es la aceleración cuando t = 3s?
4. Un contrapeso de 4 lb está unido al extremo de un resorte cuya constante es
2 lb/pie. El medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la
velocidad instantánea. Si parte de una posición 1 pie arriba de la posición de
equilibrio, con una velocidad de 8 pies/s hacia abajo.
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a) ¿En qué momento habrá hecho el contrapeso su desplazamiento extremo
respecto de la posición de equilibrio?
b) ¿Cuál es la posición del contrapeso en ese instante?
5. Una masa de 1 kg. Esta unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema
se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguación numéricamente
iguala 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento en
los siguientes casos:
a. El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m abajo de la posición de
equilibrio.
b. El contrapeso se suelta 1 m abajo de la posición de equilibrio con una
velocidad de 12 m/s hacia arriba.
6. Un contrapeso de 16 lb estira 8/3 pie un resorte. Al principio el contrapeso parte del
reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un
medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad
de la velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso esta
impulsado por una fuerza externa igual a: f(t) = 10 cos3t.
7. Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 pies,y llega al reposo
en su posición de equilibrio. A partir de t=0, se aplica una fuerza externa al sistema
igual a: f(t) = 8 cos4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una
fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea.
8. Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m,
llega a la posición de equilibrio. A partir de t=0 se aplica al sistema una fuerza igual a:
f (t )  68e 2t cos 4t Halle la ecuación del movimiento.
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TALLER No. 15 (Opcional)
ECUACIONES DIFERENCIALES DE CAUCHY-EULER
OBJETIVO ESPECIFICO: Con estos ejercicios el estudiante comprenderá la diferencia entre
resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables y coeficientes constantes.
El proceso se basa en suponer que la función y = xm es una solución de la
EJERCICIOS
ecuación diferencial de Cauchy-Euler
EJERCICIOS
Solucionar:
1. x2 y’’ + xy’ - 4y = 0
2. x2y’’ - 3xy’ + 4y = 0
3. x2 y’’ - 3xy’ + 13y = 0
4. x2y’’ - 5xy’ + 10y = 0
5. x3 y’’’ + 2x2y’’ - 10xy’ -8y = 0
6. x2y’’ - 4xy’ + 6y = 0
7. x2y’’ - 4xy’ + 6y = 4x – 6
8. x2y’’ + 4xy’ + 2y = 4lnx
9. x2y’’ + xy’ + y = 4Sen(lnx)
10. x2y’’ - 2y = 4x - 8; y(1) = 4, y’(1) = -1
11. x2y’’ + 2xy’ - 6y = 10x2 ; y(1) = 1, y’(1) = -6
12. x2y’’ - 6y = lnx ; y(1) = 1/6 ,
y’(1) = -1/6
13. 4x2y’’ + y = 0
14. xy’’ - y’ = 0
15. x3y’’’ - 6y = 0
16. 4x2y’’ + 4xy’ - y = 0
17. x2y’’ + 8xy’ + 6y = 0
18. x2y’’ - 4xy’ + 6y = ln(x2)
19. 2x2y’’ - 3xy’ - 3y = 1 + 2x + x2
20. x3y’’’ + xy’ - y = 0
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TALLER No. 16
SERIES DE POTENCIAS
El método se basa en suponer que la serie de potencias
es una
solución de la ecuación diferencial lineal de cualquier orden, con o sin
coeficientes constantes.
EJERCICIOS
Solucionar:
1. y’’ + xy’ + y = 0
2. y’’ + 8xy’ - 4y = 0
3. y’’ + xy’ + (2x2 + 1)y = 0
4. y’’ + xy’ + (x2 - 4)y = 0
5. y’’ + xy’ + (3x + 2)y = 0
6. y’’ - xy’ + (3x - 2)y = 0
7. (x2 + 1)y’’ + xy’ + xy = 0
8. (x - 1)y’’ - (3x - 2)y’ + 2xy = 0
9. (x3 - 1)y’’ + x2y’ + xy = 0
10. (x + 3)y’’ + (x + 2)y’ + y = 0
11. y’’ - xy’ - y = 0 ; y(0) = 1, y’(0) = 0
12. y’’ + xy’ - 2y = 0;
y(0) = 0,
y’(0) = 1
13. (x2 + 1)y’’ + xy’ + 2xy = 0;
y(0) = 2, y’(0) = 3
14. (2x2 - 3)y’’ - 2xy’ + y = 0 ;
y(0) = -1, y’(0) = 5
15. y’’ + x2y’ + xy = 0
16. y’’ + 2xy’ + 2y = 0
17. (x - 1)y’’ + y’ = 0
18. y’’ - xy’ - (x + 2)y = 0
19. y’’ - (x + 1)y’ - y = 0
20. (x2 + 1)y’’ + 2xy’ = 0 ;
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y(0) = 0 , y’(0) = 1
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TALLER No 17
TRANSFORMADA DE LAPLACE
OBJETIVO ESPECÍFICO: Solucionar Ecuaciones Diferenciales con coeficientes constantes y con
condiciones Iniciales dadas, usando la teoría y las propiedades de la Transformada de
LAPLACE.
EJERCICIOS
1. y’ - y = e 5t , y(0) = 2
2. y’’ - 5y’ + 6y = 0 , y(0) = 1 y’(0) = 2
3. y’’ + 4y = 8 , y(0) = 0 y’(0) = 6
4. y’’ + y’ + 12y = 0 , y(0) = 4 y’(0) = -1
5. y’’’ - 5y’’ + 7y’ - 3y = 20Sent , y(0) = 0
y’(0) = 0
y’’(0) = -2
6. y’’ + 2y’ + y = te-2t , y(0) = 1 y’(0) = 0
8. y’ + 4y = e-4t , y(0) = 2
7. y’ - y = Sent , y(0) = 0
9. y’’ - 6y’ + 9y = t , y(0) = 0 y’(0) = 1
10. y’’ - y’ = e t Cost, y(0) = 0 y’(0) = 0
11. 2y’’’ +3y’’-3y’-2 y = e-t, y(0) = y’(0)=0, y’’(0)=1
12. y’ + y = 5U(t-1) , y(0) = 0
13. y’’ + 4y =sent.U( t-2  ), y(0) = 1, y’(0) = 0
14. y’’ - 6y’ + 13y = 0 , y(0) = 0 , y’(0) = -3
15. y’’ - 4y’ + 4y = t 3 , y(0) = 1,
y’(0) = 0
16. y’ - 3y = δ(t-2) , y(0) = 0
17. y’’ - 2y’ = e t Senht,
y(0) = y’(0) = 0
18 y’’ + y = δ( t-2  ) ,
y(0) = 0 ,
y’(0) = 1
19. y’’+ 4y’+5y = δ( t-2  ) , y(0) = y’(0) = 0
t
8
20. f (t )  1  t   (  t ) 3 f ( )d
30
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TALLER No 18
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES
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TALLER No 19
GENERALIDADES DE LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS
En los siguientes ejercicios verifique si la función discreta es solución de la ecuación en
diferencias dada y clasifique la ecuación de acuerdo a: orden, coeficientes y homogeneidad
1. Ut = 3
t
2
2.
Yt = 3t + 6
3.
Yt =
4.
Xt = A 3 + B 4
5.
Ut = (1 + t).2
6.
Yt = a ( c1 + c2t + c3t )
7.
Yk = 2 + k
8.
Yt = 3
;
Ut+2 – 3Ut+1 = 0
;
ΔYt - 6t – 6 = 0
;
t
t
t
;
Xt+2 – 7Xt+1 + 12Xt = 0
;
Ut – 4Ut-1 + 4Ut-2 = 0
;
Yt - 3aYt-1 + 3a Yt-2 = a Yt-3
t
2
k
2
t
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(t + 2) Yt+1 + (t+1) Yt = 2t – 5
2
3
k
;
Yk+5 – 2Yk+2 = k + 2
;
Yt+2 – At Yt+1 + (3 At – 9)Yt = 0
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TALLER No 20
ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE PRIMER ORDEN
Hallar la solución de las siguientes ecuaciones en diferencias y analizar su convergencia o divergencia
y si hay equilibrio estable:
1. Yt+1 – 3 Yt = 0
2. Yt+2 + 3 Yt+1 = 0
3. 4Yt+1 - 7 Yt = 0
4. Yt+1 – Yt = 0
5. 2Yt+1 – 6 Yt = 0
si Y(0) = 3
6. Yt+1 – 3 Yt = 2t – 5
7. Yt+1 – Yt = 2t – 5
8. Yt – Yt-1 = t2
si Y(0) = 1
t
9. Yt+3 – 8Yt+2 = 2
10. Yt+3 – Yt+2 = 2t
11. Yt+3 – 2Yt+2 = t.3t si Y(0) = 3
12. Yt-3 + Yt-2 = 4
13. Yt+1 – 4Yt = cost
14. Yt+1 – Yt = sen4t
15. Yt+3 – 2Yt+2 = 3t - 2sent
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TALLER No 21
ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR
Solucionar las siguientes ecuaciones en diferencias:
1. Yx+2 - Yx = 0
2. Yx+2 + 2 Yx+1 + YX = 0
3. Yx+2 - 5 Yx+1 + 2YX = 0
4. Yt+2 - 4 Yt+1 + 4Yt = 0
5. Ux+2 - 6 Ux+1 + 9UX = 0
si U0 = 3; U1 = 0
6. Ut+3 - 3 Ut+2 - 4Ut+1 + 12Ut = 0
7. Ut+3 - 5 Ut+2 + 8Ut+1 - 4Ut = 0
8. Ut+4 + 2 Ut+2 + Ut = 0
9. Ut+5 + Ut+3 + 2Ut+1 – 12 Ut+1 + 8Ut = 0
10. Yx+2 - 5 Yx+1 + 6YX = 4
11. Yx+2 - 4 Yx+1 + 4YX = 1
si Y0 = 0; Y1 =1
12. Yx+2 + 4Yx = 9
13. Yx+2 - 2 Yx+1 + YX = -12 x2 – 8x - 8
14. Yx+2 - 4Yx = 2x
15. Yt+2 + Yt = cos (πt)
16. Ut+3 - Ut+2 - 5Ut+1 - 3Ut = t. 3t
17. Ut+4 - Ut = 3t + 4
18. Ut+3 - Ut+2 + 2Ut = t + 2t
19. Ut+3 - Ut+2 - Ut+1 + Ut = sen (90o t)
20. La sucesión: {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…}, es llamada sucesión de FIBONACCI.
a) Modele una ecuación en diferencias que la represente.
b) Hallar la solución general de la ecuación que modeló.
c) Halle una solución particular, suponga las condiciones iniciales.
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TALLER No 22
SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones en diferencia:
1. Yt+1 - Xt = 0
Xt+1 - 4Yt = 0
si: X(0) = 1 ; Y(0) = 0
2. Yt+1 - Xt = t
Xt+1 - 4Yt = 0
3. Yt+1 = 7Yt - 4 Xt + 2
Xt+1 = 6Yt – 3Xt
4. Yt+1 = Yt - 2 Xt
Xt+1 = 3Yt – 6Xt
si: X(0) = 0 ; Y(0) = 1
5. Yt+1 - 2 Yt = Xt
Xt+1 + 2Xt = 3Yt
6. Yt+2 - Xt = 0
Xt+1 - 4Yt = 0
si: X(0) = 0 ; Y(0) = 1 ;
Y(1) = 3
7. Yt+2 - Xt = t
Xt+2 - 4Yt = 0
8. Ux+1 – Vx = 0
Vx+1 – 4Ux = 3x
9. Ux+1 – Vx = x
Vx+1 – 4Ux = 3x
10. Xt+1 + Yt = 0
Yt+1 – 2Zt = 0
Zt+1 + 4Xt = 7t
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RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
TALLER No 1: Ecuaciones Diferenciales de variables separables
1. X  Ln
X 1
C
Y
X2
1

C
2
2Cos 2Y
1
4.
Ln X 2  a 2  Ln X  Y  C
2
2.
3. XLnX  YLnY  C
1
5. r  C 1  bCos  b
6. 2 X  Sen 2 X  2t 2  t 4  C
e2X
C
e2X  4
7.
Y
C
SecX  TanX
8. 8 Ln Y  Ln
9.
u3
t3
u  t C
3
3
X3

10. Y  Tan
 X  C 
 3

11.
2Y  1
1 Y 
 Ln
  X C
Y 1  Y 
 Y 
2
1  4Y
e
4
1
1
14. Xe X  e X  
C
Y 2Y 2
12. C  e  X 
13. C  Ln Y ( X  2) 2  X
15. Ye Y  e Y 
1
C
X
17. Y  Ln Y  1
3
16. Ln N  te t  2  e t  2  t  C
1
X
18. arctg    8t  arctg (0.5)  
2
 2
 X  Ln X  4
1
C
X
19. Ln XY  
20. arcsenX  arcsenY 

2
TALLER No 2: Crecimiento y Descomposición
1. a ) T (t )  70  52e 0.287682t
b) T  57.66 0 F
2.
a ) T  26.53 0 F
b) t  
3. a ) T  7.80 F
b) T  56 F
4.
a ) T  63.33 0 F
b) 13.55 min
6.
64.46 0 F
8.
a ) T  22  112e 0.0143788t
0
5.
18.89 min
7.
a ) 36.67 0 F
9. a ) T  58.5 F
0
0
b) 3.06 min
b) T  
10.
b) 113.18 min
4.96 min
TALLER No 3: Enfriamiento y calentamiento
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 34 de 45
1.
40833 habi tan tes
3.
a ) P  0.59 Po ;
2.
a ) P  9 Po ;
b) t  10.48 horas
4.
a ) P(t )  182e 0.2617974t
b) 182 bacterias
b) 2631.5 años
a ) I  0.015 I o
5. 10.96 horas
6.
7.
8. 148.7 años
8.38 horas
9. 125.1 horas
10.
b) I  I o e 0.209964t
200 bacterias
TALLER No 4: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
7
1.
Y

X   2
X


6
2
C
2
2.
1s
   Ln  st   C
2t 
4.
LnX 
Y
3
  1
X

3.
Y
LnX  Cos 
X
5. C 
Y
X
 Y
 Ln  X
 

C

 
  1  LnX
 
X
X 
7. C  e Y   1  LnY
Y

6. C 
8.
1
9. C  Y ( X 2  Y 2 ) 2
10.
Y  2 X 
X Y  X 
12.
3
11.
13. C 
3
C
X
1

4X  Y
5
u v
(u ·3v) 2
X
Y
Sec 
X
Y
Sen 
X



C

  LnX  C

( X  Y )3
9

(2 X  Y ) 2 25
X
Sen
Y
X
TALLER No 5: Ecuaciones Diferenciales Exactas
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 35 de 45
1.
X 2Y  XTanY  C
X 2Y 2 X 2

 2 XY  3 X  Y 2  C
2
2
4
W
1
1
5.
 Z 2W 2  ZW  Z 4  C
4
2
4
7. SenXCosY  Ln SenX  C
3.
9.
2.
X 3Y  3 XY  4Y 2  C
4.
X 3Y  3 XY  4Y 2  4
X
Y3
6.

C
1  XY
3
8. U 2V 3  3UV  2V 2  C
10. XSenY  YCosX 
NO ES EXACTA
X4
 XY 3  C
4
13. Y 2  5Y  3 XSenX  2CosX  3 X  C
Y2
C
2
5 2
Y  2 XY  C
2
14. X 2  CY
11.
12.
15. NO ES EXACTA
16. NO ES EXACTA
3
17. X 2  4 X  Y 2  Y  C
2
4
2
19. X  2 X Y  Y 2  Y  C
18. 2 Xe X  2e X  XY  2 X 3  C
20. NO ES EXACTA
TALLER No 6: Ecuaciones Diferenciales lineales
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 36 de 45
2.
1 Y
eY
eY
Ce Y
e 


2
2Y 4Y 2
Y2
2
Y ( X  1)e X 1  e X  C
3.
Y 
1.
4.
5.
6.
X 
3 X
1


 Ce 4 X
2 4 16
2
2
29
Y  X2  X 
 Ce 6 X
3
9
54
1
1
Y  C (1  X 2 ) 2  (1  X 2 )
3
3 1
Y  C (1  X )
1 Cos 2 X
2 SenX
X  CosX  C
8. Y 
Secx  TanX
1
e3U
9. X  1 
C
3U
U
2
10. Y ( X  1)    X  3 X  3  Ce( X 1)
1
11. XYe X  C  Cos 2 X
2
CX
12. Y  aX 
1 X 2
13. Y (1  CosX ) 2  Ln SecX  CosX  C
7.
Y  C.CscX 
14.
Y ( X  1) 3  X  1  4 Ln( X  1)) 
15.
Ye X  2 X  Ln( X  2) 4  C
6
2
1


C
2
X  1 ( X  1)
3( X  1) 3
X2
X2
LnX 
C
2
4
17. 4 Y  1  2 XCot 2 X  C.Csc 2 X
16.
YX 2  Xe X  e X 
18.
2Y  1  e  X
2Y  (e  1)e
19.
2Y  1  e
0  X 1
2
0 X 3
2 X
2Y  (e  1)e
6
20.
Y  1 e
X 1
X2
2 X
Y  (2e  1) e
X 3
0  X 1
x
x
1
X 1
TALLER No 7: Mezclas
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 37 de 45
1. a) Q(t )  4(100  t )  3,75(100) 2 (100  t ) 3
2
2. a ) Q(t )  6(50  t )  6(50) (50  t )
3. a ) Q(t )  15 e
b) t  40,37 min .
b) Q(20)  115,2 lbs de sal
3
t
40
b) t  0
4. a ) t  41.39 min .
b) c  0,044%
 3t
5. a ) Q(t )  1000  1000e 250
b) t  
6. a) Q(t )  2(80  t )  2(80)  2 (80  t ) 3
b) t  33,81 min .
7. a) Q  0 si t  
b) t  1,02 min .
8. a) Q(10)  112,31 lb
b) t  17.33 min .
9. a ) Q(15)  9,68 lb
b) c  0,0085%
10 a ) Q(20)  318,53 lb
b) 2,59849 min .  2,60 min
TALLER No 8: Circuitos eléctricos en serie
3
3 500t

e
2500 2500
1
1 50t
2. a ) q (t ) 

e
100 100
3.
0.001
b) I (t )  0.5 e 50t
4. a )  49,5 e 10t
b) 0
1. a ) I (t ) 
5. i (t )  I 0 e
b)
3
amperios
2500
2
t
c
1
1  25t
(25sent  cos t ) 
e
626
626
1
1
7. i (t ) 
 e 50t
10 10
6
8. i (t ) 
(5se2t  0.5 cos 2t )  C e  20t
101
16
5
9. i (t )  (2 cos 2t  0.5sen 2t )  e 0.5t
17
17
t

si 0  t  20
60  60e 10
10. i (t )  
t
60(e 2  1) e 10
si
t  20

6. i (t ) 
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 38 de 45
TALLER No 9: Trayectorias ortogonales
1.
Y 2  X 2  C2
2.
7.
9 53
Y  X  C2
5
X2 Y2
1

LnY  Y 2  C2
2
2
4
Y  Ln CscX  CotX  C2
9.
2 X  2Y  Sen2 X  Sen2Y  C2
3.
5.
11.
X2
 LnY  C2
Y2
13.
Ln ¨Cosh Y

4.
 2Y  X 
1
1
Ln Y 2  XY  2 X 2 
Arc tan 
  C2
2
7
 7X 
Y 2  3 X 2  6 X  C2
5 95 5 95
Y  X  C2
9
9
X
8. e  e Y  C2
6.
X2
C
2
1
1
X  Sen 2 X  e Y  C2
2
4
3
X
12.
 C2
X 2 Y2
10.
14. C2  eY ( X  Y  1)
1 X2

 C2 X 4
4 6
aX 2  bY 2  C2
15. Y 
16. Y 3  3 X  C2
17.
18. C2 X  Y 2  X 2
19. C2 Y  X 2  3Y 2
20. 3 X 3  2Y 2  C2
TALLER No 10: Ecuaciones de segundo orden reducibles a primer orden
1 4
X  2 X 2  C1 X  C2
12
X2
3. Y 
 6 X  C1 e  X  C2
2
tdt
5. Y 
 C2
LnT  C1
1 5 2 3
X  X  C1 X 2  C2 X  C3
60
3
2
X
4. Y 
 C1 XLnX  C1 X  C2 X  C3
2
1 

6. Y  2 Ln sec  C1  X   C2
2 

7. C1 Arc sen X  aX  Y  C2
8. C1 LnX  Y  C2
1
9. C1 X  Y 2  C2
2
10. X 
1. Y 

11. X  C2 
13.
X  C2 
TALLER
1
Ln
C1
C1  Y
No
11:
Departamento de Matemáticas


1
Y  Ln  C1  eY   C2
C1
12. C1Y  LnY  X  C2
C12  Y 2
 eY
1
Arc tan 
 C
C1
 1
2. Y 




Ecuaciones
Diferenciales
lineales
Universidad Central
de
orden
superior
con
Página 39 de 45
coeficientes constantes
1. Y  C1 e 4 X  C2 e 2 X  3 e 2 X 
1 3 X
e
2
4
7
Cos 4 X  Sen4 X
13
13
 3  4 X  2 e2 X
2. Y  C1 e X CosX  C2 e X SenX 
3. Y  C1 e 4 X  C2 e  X
1
5
4. Y  C1 e  X Cos3 X  C2 e  X Sen3 X  e 2 X  X e 2 X
6
6
5. Y  C1 e 2 X  C2 e 2 X CosX  C3 e 2 X SenX 
3
1
X
X
6. Y  C1 e  X  C2 e 2  e 2 
7. Y  C1 e  X  C2 e X 
32
2
X e2 X  X 2 e2 X
85
5
418 74

X  5X 2  X 3
9
3
3 3X
e  3  2X  2X 2
5
15
 3X  3X 2
2
1
21 2 3 3 1 4
 C2 e X  C3  C4 X  e  X 
X  X  X
3
4
2
4
8. Y  C1 e 2 X  C2 e  X  C3 e X  e3 X 
9. Y  C1 e 2 X
10. Y  C1 e3 X  C2 X e3 X  e X 
2 1
 X
9 3
11. Y  C1 e 4 X  C2 X e 4 X  5 X 2 e 4 X 
8
15
CosX 
SenX
289
289
X
1 X2 1  X
Xe  Xe
3
3
1
15 3
 C1 e 2 X  C2 e 7 X  Xe 2 X 
 X
8
196 14
3X
3X
1
4
 C1 e 2  C2 X e 2  e X CosX  e X SenX
19
57
5
5 4 1
 C1  C2 X  C3 e 2 X  C3 e 2 X  X 2 
X  Xe 2 X
16
48
16
 C1  C2 X  C3 e6 X
12. Y  C1 e3  C2 e  X 
2
13. Y
14. Y
15. Y
16. Y
2 X 1 2 X 1 X
Xe  X e  e  7
5
5
4
2 3 X
X
X
2
X
18. Y  C1 e  C2 Xe  C3 X e  X  3  X e
3
19. Y  C1 CosX  C2 SenX  C3 XCosX  C4 XSenX  X 2  2 X  3
17. Y  C1 CosX  C2 SenX  C3 e X 
20. Y 
1 X
1
e CosX  e X SenX
2
2
TALLER No 12: Variación de parámetros
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 40 de 45
1. y = Acosx + Bsenx + cosx ln  cosx +xsenx
1
1
2. y = Aex + Bxex - x
exLn  ex + 1 - x
xex
e 1
e 1
3. y = Acosx + Bsenx – Ln  secx + tanx cosx
4. y = Acosx + Bsenx + Ln  secx + tanx 
5. y = Acosx + Bsenx – Ln  secx + tanx cosx + Ln cscx - cotanx senx
ex
6. y = Aex + Be 2x + e2xln
1 e
2x
- ex arctan(ex)

 x
1
1
1
2 
x
1
2
7. y = Aex + Bxex + ex   2 sen x  4 arcsenx  4 x 1  x   xe xsen x  1  x


2

8. y = Acos3x + Bsen3x + yp
6
1
6
yp = cos 3x  sen3x cos 2 x  cos 3 xsen2 x   sen3x  cos 3x cos 2 x 
 31

4
 13

9. y = Acos3x + Bsen3x + 2/9 Ln cos3x cos3x +2/3x sen3x
10. y = A + Bx + C e-8x + 11/256x2 + 7/32x3 – 1/16x4
11. y = Ae2x + Be –x + e –x( 1/x + x – 1 + Lnx )
12. y = Aex + Bxe x – ¾ x2 ex + ½ x2 ex Lnx
13. y = Acosx + Bsenx + cosx Ln 1 + senx + senx (-secx + tanx – x )
14. y = A + Bcosx + Csenx - Ln cosx  - senx Ln secx + tanx 
15. y = Acosx + Bsenx - ½ secx + tanx senx
16. y = Aex + Bxe x +1/9 ex (3x3 Lnx - x3 ) + ½ x2 ex (Lnx – 1 )
17. y = Aex + Bxe x + Cx2 ex + 1/6 x3 ex + x – 13
18. y = A + Bx + Cx2 + D ex + (x – 3) ex
19. y = Ae-x + Be –2x - e x Ln(1+ ex ) + e-2x (1+ ex -Ln(1+ ex ) )
20.
y = Ae-2x cosx+ Be 2x senx + e-2x cosx Ln (Cosx) + x e-2x senx
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 41 de 45
TALLER No 13: Circuitos en serie LRC
1
1. q(t )  q0 e  20t (cos 60t  sen60t )
3
3. 4.568C ;
4. q(t )  10  10e 3t (cos 3t  sen3t )
5. q p 
0.0509 s
100
150
sent 
cos t
13
13
100
150
ip 
cos t 
sent
13
13
i (t )  60e 3t sen3t )
0.432 C
1
3
6. q(t )   e 10t (cos 10t  sen10t ) 
2
2
1.5 C
TALLER No 14: Ecuaciones diferenciales de Cauchy – Euler
1. Y  C1 X 2  C2 X 2
2. Y  C1 X 2  C2 X 2 LnX
3. Y  X 2 C1Cos (3LnX )  C2 Sen (3LnX ) 
4. Y  X 3 C1Cos ( LnX )  C2 Sen ( LnX ) 
5. Y  C1 X 4  C2 X 2  C3 X 1
6. Y  C1 X 2  C2 X 3
7. Y  C1 X 2  C2 X 3  X  1
8. Y  C1 X 1  C2 X 2  2 LnX  3
9. Y  C1Cos ( LnX )  C2 Sen ( LnX )  ( Sen (2 LnX )  2 LnX ) Cos ( LnX )  2 Sen 3 ( LnX )
10. Y  C1 X 2  C2 X 1  2 X  4
27 2 8 3
2
X 
X  2 X 2 LnX 
25
25
5X
7
26
3
2
12 Y  C1 X  C2 X  LnX 
30
120
11. Y 
1
1
13. Y  C1 X 2  C2 X 2 LnX
14. Y  C1  C2 X 2
15. Y  C1 X 3  C2Cos ( 2 LnX )  C3 Sen ( 2 LnX )
1
16. Y  C1 X 2  C2 X

1
2
17. Y  C1 X 6  C2 X 1
1 2 8
 X
2 15
1

1
2
1
2
4
2
19. Y  C1 X 3  C2 X 2  X 3 LnX  X 3  X 5  X 2  X 
7
7
14
35
21
7
20. Y  C1 X  C2 XLnX  C2 X ( LnX ) 2
18. Y  C1 X 2  C2 X 3 
Departamento de Matemáticas
Universidad Central
Página 42 de 45
TALLER No 15: Solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias
1 2 1 4 1 6
1
1
1 5
1
X  X 
X 
X 8  ...)  C1 ( X  X 3 
X 
X 7  ...)
2
8
48
384
3
15
105
28 6 124 8
2
2
4
2. Y  C 0 (1  X 2  2 X 4 
X 
X  ...)  C1 ( X  X 3  X 5  X 7  ...)
15
105
3
5
7
1
1
1 5 1 6
1
1 5 1 6
3. Y  C 0 (1  X 2  X 4 
X 
X  ...)  C1 ( X  X 3  2 X 4 
X  X  ...)
2
8
20
48
3
15
3
1
1 6
19
1
1 5 1 7
4. Y  C 0 (1  2 X 2  X 4 
X 
X 8  ...)  C1 ( X  X 3 
X 
X  ...)
4
15
3360
2
40
90
1
1
11 5
52
1
1
5
5. Y  C 0 (1  X 2  X 3  X 4 
X 
X 6  ...)  C1 ( X  X 3  X 4  X 5  ...)
2
3
40
1080
2
4
2
1
1
3
9
2
1
1
6. Y  C 0 (1  X 2  X 3  X 4 
X5 
X 6  ...)  C1 ( X  X 3  X 4  X 5  ...)
2
3
10
60
2
4
8
1 3 3 5
1
1
1
3
1
7. Y  C 0 (1  X 
X 
X 6  ...)  C1 ( X  X 3 
X4 
X5 
X 6  ...)
6
40
180
6
12
40
20
1
1 4 1 5
1
1 3 7 4
7
8. Y  C 0 (1  X 3 
X 
X  ...)  C1 ( X  X 2 
X 
X 
X 5  ...)
6
16
80
2
12
96
480
1
1 5 1 6
1
1 6
9. Y  C 0 (1  X 3 
X 
X  ...)  C1 ( X  X 4 
X  ...)
6
20
45
6
15
1
2
23 4
1
2
945 4
10. Y  C 0 (1  X 2  X 3 
X  ...)  C1 ( X  X 2  X 3 
X  ...)
6
9
648
3
9
8748
1
1
1 6
1
1
11. Y  1  X 2  X 4 
X  ...
12. Y  X  X 3  X 4  ...
2
6
36
6
4
1
1
1
1
13. Y  2(1  X 2  X 4 
X 5  ...)  3( X  X 3 
X 5  ...)
4
20
8
12
1
1
1 3
1
14. Y  (1  X 2 
X 4  ...)  5( X 
X 
X 5  ...)
6
216
18
1080
1
1 6
1
5
15. Y  C 0 (1  X 3 
X  ...)  C1 ( X  X 4 
X 7  ...)
6
45
6
252
1
1
2
4 5
8 7
16. Y  C 0 (1  X 2  X 4  X 6  ...)  C1 ( X  X 3 
X 
x  ...)
2
6
3
15
105
1
1
1
1
17. Y  C 0  C1 ( X  X 2  X 3  X 4  X 5  ...)
2
3
4
5
1 3 1 4 1 5
1
1 4 1 4
18. Y  C 0 (1  X  X 
X  ...)  C1 (1  X 3 
X 
X  ...)
6
3
24
2
12
12
1
1
1
1
1
1
19. Y  C 0 (1  X 2  X 3  X 4  ...)  C1 ( X  X 2  X 3  X 4  ...)
2
6
6
2
6
6
1
1
1
1
20. Y  1  ( X  X 3  X 5  X 7  X 9  ...)
3
5
7
9
1. Y  C 0 (1 
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Universidad Central
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TALLER No 16: Solución de ecuaciones diferenciales por Transformada de
Laplace
1 5t 7 t
e  e
4
4
2t
2. y (t )  e
1. y (t ) 
3. y (t )  2(1  cos 2t )  3sen2t
13  4t 15 3t
e  e
7
7
5. y (t )  18 cos t  24 sent  18e t  42te t
4. y (t ) 
6. y (t )   5e  2t  te  2t  6e t  te t
7.
8.
1 t 1
1
e  sent  cos t
2
2
2
 4t
 4t
y (t )  25e  te
y (t ) 
6 1
6
10
 t  e 3t  te 3t
81 9 81
9
5
5 6t 18 t
30 t
10. y (t ) 

e 
e sent 
e cos t
132 132
132
132
t
8
1
5
1
11. y (t )   e 2  e  2t  e t  e t
9
9
18
2
 ( t 1)
12. y (t )  5  5e
U (t  1)
9.
y (t ) 


1
1
13. y (t )  cos 2t  sen 2(t  2 )U (t  2 )  sen(t  2 )U (t  2 )
6
3
 3 3t
14. y (t ) 
e sen2t
2
1 1 1
1
5
15
15. y (t )    t  t 2  t 3  e 2t  te 2t
4 8 4
4
4
8
3( t  2 )
16. y (t )  e
U (t  2)
1 1 1
1
17. y (t )   t  e 2t  te 2t
4 4 4
4
18. y (t )  sent  sent U (t  2 )
19. y (t )  e  2 (t  2 ) sent U (t  2 )
3
1
1
1
20. f (t )  e 2t  e  2t  cos 2t  sen2t
8
8
2
4
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Universidad Central
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BIBLIOGRAFIA
1. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones
Autor: Dennis G. Zill.
Editorial Grupo Editorial Iberoamérica.
2. Ecuaciones Diferenciales con Problemas Valor de Frontera.
Autor: Stephen L. Campbell - Richard Haberman.
Editorial Mac Graw Hill.
3. Ecuaciones Diferenciales Elementales
Autor: Edward Penney.
Editorial Prentice Hall.
4. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Autor S. L. Ross.
Editorial Interamericana.
5. Ecuaciones Diferenciales
Autor Rainville - Bedient - Bedient.
Editorial Prentice Hall.
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