Práctica 6: Curvatura. 1. Sea M una superficie regular de R 3

geometria proyectiva
segundo cuatrimestre 2010
Práctica 6: Curvatura.
1. Sea M una superficie regular de R3 , orientable según un campo normal unitario
N : M −→ R3 . Sean p ∈ M , v ∈ Tp M y S es subespacio generado por v y N (p).
a) Mostrar que p + S = {x ∈ R3 / < w, x − p >= 0} para un w ∈ S ⊥ , |w| = 1
b) Construir una parametrización (A, f ) de M con 0 ∈ A ⊂ R2 , f (0) = p que satisfaga
df0 (1, 0) = v y df0 (0, 1) = w
c) Sea h : A −→ R2 dada por h(u, v) = (u, < w, f (u, v) − p >). Verificar que
dh0 (1, 0) = (1, 0) y dh0 (0, 1) = (0, 1)
d) Mostrar que existen entornos abiertos A0 ⊂ A de 0 ∈ R2 , I , J de 0 ∈ R tales que
h : A0 −→ I × J es difeomorfismo.
e) Si g : I −→ M está dada por g(t) = f ◦ h−1 (t, 0), comprobar que g(0) = p ,
ġ(0) = v y g(t) ∈ M ∩ (p + S) para cada t ∈ I.
f) Probar que existe un ε > 0 y una curva diferenciable c : (−ε, ε) −→ M parametrizada por longitud de arco tal que c(0) = p , ċ(0) = v y c(t) ∈ M ∩ (p + S) si |t| < ε.
2. Sea M una superficie regular y p ∈ M . Si κ(θ) es la curvatura normal en p en una
dirección que forma un ángulo θ con una dirección principal, probar
a) κ(θ) = κ1 cos2 (θ) + κ2 sen2 (θ), donde κ1 y κ2 son las curvaturas principales.
Z 2π
1
b) H(p) = 2π
κ(θ)dθ donde H es la curvatura media.
0
c) Probar que la suma de las curvaturas normales asociadas a cualquier par de direcciones ortogonales en un punto es constante.
(a, b, c)
3. Sea el plano M = {(x, y, z) ∈ R3 / ax+by+cz = d} ((a, b, c) 6= 0) y N = √
.
a2 + b 2 + c 2
Verificar que dNp = 0 para todo p ∈ M y que por lo tanto K ≡ 0.
4. a) Dados S 2 , la esfera unitaria de R3 , y N : S 2 −→ R3 la normal exterior, verificar
que dNp (v) = v para cada p ∈ S 2 y v ∈ Tp M .
Deducir que a curvatura de Gauss de S 2 en p es 1.
b) Calcular la curvatura de la tierra, sabiendo que su radio es aproximadamente 6400
km.
p
5. a) Probar que si κi son las curvaturas principales entonces κ1 = H(p)− H 2 (p) − K(p)
p
y κ2 = H(p) + H 2 (p) − K(p).
b) Verificar que k1 (p) = k2 (p) si y sólo si H 2 (p) − K(p) = 0. Un punto p ∈ M tal que
k1 (p) = k2 (p) se llama punto umbı́lico. Dar un ejemplo de una superficie con un
sólo punto umbı́lico y una con infinitos pero que no todos sean umbı́licos.
GEOMETRIA PROYECTIVA — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2010
6. Sean M la superficie regular de R3 definida por M = {(x, y, z) ∈ R3 / z = x4 } ,
f : R2 −→ R3 la parametrización f (u, v) = (u, v, u4 ) y N : M −→ R3 definida por
fu × fv
. Verificar que dN0 = 0. Calcular los puntos planos de M .
N ◦f =
|fu × fv |
7. Sea el cilindro M = {(x, y, z) ∈ R3 / x2 + y 2 = 1} y N : M −→ R3 definida por
N (x, y, z) = (x, y, 0). Verificar que dNp (v1 , v2 , v3 ) = (v1 , v2 , 0) para cada p ∈ M . Deducir que los autovalores de dNp son λ1 (p) = 0 , λ2 (p) = 1 y que la curvatura de
Gauss es idénticamente nula.
8. Una curva se dice una lı́nea de curvatura si α̇(t) es una dirección principal para
todo t. Probar que α es lı́nea de curvatura si y sólo si existe f diferenciable tal que
(N ◦ α)0 (t) = f (t).α̇(t) para todo t.
9. Sea (U, x) una carta de M y N el campo normal unitario en U . Si η = N ◦ x−1 y
ηui (a) = ∂u∂ i η |a probar que
∂x−1
∂x−1
|a ×
|a )
ηu1 (a) × ηu2 (a) = (K ◦ x (a))(
∂u1
∂u2
−1
10. Sea el paraboloide elı́ptico M = {(x, y, z) ∈ R3 / z = x2 + y 2 }. Calcular las curvaturas
principales y la curvatura gaussiana en 0.
11. Sea el paraboloide hiperbólico M = {(x, y, z) ∈ R3 / z = y 2 − x2 } y f : R2 −→ M la
parametrización f (u, v) = (u, v, v 2 − u2 ). Sea N : M −→ R3 definida por N ◦ f =
fu × fv
. Verificar que
|fu × fv |
N ◦ f (u, v) =
−u
−v
1
!
p
,p
,p
u2 + v 2 + 1/4
u2 + v 2 + 1/4
u2 + v 2 + 1/4
Deducir que para cada v ∈ T0 M es v3 = 0 y dN0 (v) = (2v1 , −2v2 , 0).
Concluir que los autovalores de dN0 son λ1 (0) = 0 , λ2 (0) = 1 y K(0) = −4.
12. Calcular los coeficientes de la segunda forma fundanetal y las curvaturas principales
en (u, v) = 1, 1 de M = (u2 + v 2 , u2 − v 2 , u.v).
13. Sea el cilindro parabólico M = {(x, y, z) ∈ R3 / z = x2 } y f : R2 −→ M la parametrización
fu × fv
f (u, v) = (u, v, u2 ). Sea N ◦ f =
. Verificar que
|fu × fv |
N ◦ f (u, v) =
−2u
1
√
, 0, √
1 + u2
1 + u2
Deducir que dN0 (v1 , v2 , v3 ) = (−2v1 , 0, 0). Concluir que los autovalores de dN0 son
λ1 (0) = −2 , λ2 (0) = 0 y K(0) = 0.
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14. Sea M el toro de R3 definido por M = F −1 (r2 ), donde F : R3 − {(0, 0, z) / z ∈ R}
p
está dada por F (x, y, z) = z 2 + ( x2 + y 2 − a)2 (a > r). Verificar que la aplicación
N : M −→ R3 dada por
!
p
p
1 x( x2 + y 2 − a) y( x2 + y 2 − a)
p
p
N (x, y, z) =
,
,z
r
x2 + y 2
x2 + y 2
es un campo normal unitario en M .
Sea f : (0, 2π) × (0, 2π) −→ M la parametrización
f (u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r. sen u)
Comprobar que
N ◦ f (u, v) = (cos u cos v, cos u sen v, sen u) = −
Deducir que K(f (u, v)) =
fu × fv
(u, v)
|fu × fv |
cos u
. Analizar el signo de la curvatura en cada
r(a + r cos u)
punto de M .
15. Sea M una superficie regular y sea (A, f ) una parametrización de M con f (u, v) =
(u, v, h(u, v)) donde h : A ⊂ R2 → R es una función diferenciable (C ∞ ).
(a) Calcular g11 , g12 y g22 , la matriz del segundo tensor fundamental (l11 , l12 y l22 ),
y encontrar una expresión para las curvaturas gaussiana K y media H.
(b) Probar que la curvatura gaussiana es 0 si y sólo si huu hvv − h2uv = 0.
16. Encontrar la mejor aproximación cuadrática en el origen a siguientes superficies:
(a) z = (x + 3y)3 .
(b) x2 − y 2 = kz, k > 0.
(c) z = x2 + y 2
17. Sea M una superficie regular tangente a un plano a lo largo de una curva. Probar que
los puntos sobre la curva son parabólicos o planares.
18. Si todos los puntos de una superficie M son planos, entonces es un plano o esta incluı́da
en uno.
19. Probar que si (U, x) es una carta ortogonal de una superficie M (g12 = 0), entonces la
curvatura Gaussiana en x−1 (u, v) es
!
−1
1
(g
◦
x
)
11
v
K(x−1 (u, v)) = − p
{ p
+
2 (g11 ◦ x−1 )(g22 ◦ x−1 )
(g11 ◦ x−1 )(g22 ◦ x−1 ) v
!
(g22 ◦ x−1 )u
+ p
}.
(g11 ◦ x−1 )(g22 ◦ x−1 ) u
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20. Deducir si existe una isometrı́a local entre estas superficies, justificar
a) M = {x2 + y 2 = 1}.
b) M = {x2 − y 2 − z = 0}.
c) M = {x2 + y 2 + z 2 = 1}.
2
d) M = { x4 +
y2
2
+
z2
}
3
= 1.
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