7.- Una empresa de alimentación produce dos tipos de tallarines

Programación Matemática para Economistas
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7.- Una empresa de alimentación produce dos tipos de tallarines: delgados y gruesos. Cada
kg. de tallarines delgados le reporta a la compañía una ganancia de 2 u.m. y requiere 6
minutos en su máquina cortadora. Cada kg. de tallarines gruesos produce una ganancia neta
de 1,4 u.m. y precisa 4 minutos de tiempo en la máquina. La empresa tiene 40 horas de
tiempo máquina disponible esta semana y necesita producir, al menos, 100 kg. de tallarines
delgados y 250 kg. de tallarines gruesos. Además de maximizar la ganancia total, la empresa
quiere minimizar el consumo de energía. Se sabe que el consumo de energía es de 1 kw. por
kg. de tallarín delgado y la misma cantidad por kg. de tallarín grueso.
a) Formule el problema de programación multiobjetivo que permita obtener el plan de
producción que maximiza las ganancias de la empresa y minimiza el consumo de energía.
b) Si la máxima ganancia se alcanza en el punto (100, 450) y, por otra parte, el mínimo de
consumo de energía en (100, 250), elabore la matriz de pagos.
c)
Si es posible, dibuje el conjunto de puntos eficientes.
d)
¿Qué se entiende por solución satisfactoria? Indique alguna técnica para su obtención.
Solución:
a)
Denotemos por x1 al número de kg. de tallarines delgados y por x2 a los kg. de
tallarines gruesos. Las restricciones del problema se corresponden, en primer lugar, con el
tiempo disponible en la máquina cortadora y, en segundo lugar, con las necesidades de
producción. Así, las restricciones del problema serían las siguientes:
6x1 + 4x2 ≤ 2400
x1 ≥ 100
x2 ≥ 250
x1 , x2 ≥ 0
El conjunto de oportunidades es:
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Los objetivos de la empresa son, por un lado, maximizar las ganancias de la empresa
y, por otro, minimizar el consumo de energía. Así pues, los objetivos son:
Max 2x1 + 1,4x2
Min x1 + x2
Por tanto, el problema multiobjetivo que permite el plan de producción que
maximiza las ganancias de la empresa y minimiza el consumo de energía es el siguiente:
Max 2x1 + 1,4x2
Min x1 + x2
s. a
6x1 + 4x2 ≤ 2400
x1 ≥ 100
x2 ≥ 250
x1 , x2 ≥ 0
Para la obtención de los óptimos individuales, tendríamos que resolver dos
problemas correspondientes a:
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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1. Beneficios
Max B(x1, x2 ) = 2x1 + 1,4x2
s. a
6x1 + 4x2 ≤ 2400
x1 ≥ 100
x2 ≥ 250
x1 , x2 ≥ 0
2. Energía
Min E(x1, x2 ) = x1 + x2
s. a
6x1 + 4x2 ≤ 2400
x1 ≥ 100
x2 ≥ 250
x1 , x2 ≥ 0
Si representamos gráficamente ambos problemas, calculando sus correspondiente
óptimos y curvas de nivel, obtenemos que:
f1(x1, x2) = B(x1, x2) alcanza su máximo en el vértice (100, 450)
f2(x1, x2) = E(x1, x2) alcanza su mínimo en el vértice (100, 250)
©R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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b)
La matriz de pagos, tras evaluar los óptimos individuales en el otro objetivo, nos
quedaría:
*
1
*
2
x = (100, 450)
x = (100, 250)
f1 = B
830
550
-f2 = -E
-550
-350
Hemos considerado -f2 para tener los dos objetivos bajo máximo.
c)
En el apartado anterior ya hemos representado gráficamente el conjunto de
oportunidades y obtenido los óptimos individuales. El conjunto de puntos eficientes se
corresponde con el segmento de la frontera del conjunto de oportunidades que va desde el
punto (100, 250) al punto (233.33, 250) y el segmento que va de este último al punto
(100,450).
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d)
Una solución satisfactoria es un punto que verifica las restricciones originales del
problema y además las metas impuestas por el decisor, en el caso de que éste haya impuesto
niveles de aspiración a los objetivos del problema. La técnica que encuentra soluciones
satisfactorias se conoce como Programación por Metas.
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