TAREA_14 Lic

Econometría I
Dr. V. Aguirre, ITAM
Tarea 14
Ago-Dic 2006
Problema 1.
En un estudio para evaluar la eficiencia terminal en educación primaria, se recopilaron datos de las
siguientes variables:
ET = Eficiencia terminal primaria nacional (medida como porcentaje)
GEPR = Gasto gubernamental en el ciclo de primaria
para los datos anuales de México, en el periodo que ve de 1977 a 1991. Se ajustó el siguiente modelo de
regresión
ET̂ = 58.28 – 18.85 GEPR
(3.11) (8.78)
R2=26%
los valores entre paréntesis indican los errores estándar estimados. Haz un análisis de la especificación del
modelo.
Problema 2.
Considera el siguiente conjunto de observaciones:
X
-1
0
1
Y
2
1
3
Suponiendo que se cumplen los siguientes supuestos: E( Yi | X i ) =
β0 + β1 X i
Var( Y1 | X 1 ) = σ 2
Cov( Y1 ,Y2 / X ' s ) = −0.4σ 2
Var( Y2 | X 2 ) = 3σ 2
Cov( Y1 ,Y3 / X ' s ) = 0.5σ 2
Var( Y3 | X 3 ) = 5σ 2
Cov( Y2 ,Y3 / X ' s ) = 2σ 2
Realiza lo siguiente:
a)
Calcula el estimador de mínimos cuadrados ordinarios del vector
β 
β =  0  , llámale β̂ MCO . La
 β1 
respuesta debe ser numérica.
b) Escribe la matriz de varianza-covarianza condicional del vector de Y’s dado X .
c)
Calcula la matriz Cov( βˆ MCO | X ' s ) . La respuesta debe ser numérica.
d) Calcula el estimador de mínimos cuadrados generalizados del vector
respuesta debe ser numérica (sugerencia: usa Excel).
e)
β 
β =  0  , llámale β̂ MCG . La
 β1 
Calcula la matriz Cov( βˆ MCG | X ' s ) . La respuesta debe ser numérica(sugerencia: usa Excel).
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Econometría I
Dr. V. Aguirre, ITAM
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Ago-Dic 2006
Problema 3
Se ajustaron varios modelos de regresión a las siguientes variables :
ET = Eficiencia terminal primaria nacional (medida como porcentaje)
PAM = Promedio nacional alumno maestro de primaria (total de alumnos entre total de
profesores)
GEPR = Gasto gubernamental en el ciclo de primaria
para los datos de México en el periodo que ve de 1977 a 1991.
Los resultados de los ajustes se muestran en los siguientes cuadros. Usa los resultados como
gustes para responder las siguientes preguntas, solo que al contestar indica el numero de cuadro que usaste.
a) ¿Cuál es la cantidad de variación de ET explicada por el modelo 3?.
b) Encuentra la tabla de Análisis del varianza para el modelo 3. ¿Es significativa al 5% la variación
explicada por el modelo?
c) Encuentra la tabla de Análisis del varianza para la contribución incremental de PAM dado que GEPR
está presente en el modelo. ¿Es significativa al 5%?
d) Con el modelo 3, prueba la hipótesis de si hay evidencia de que H1: β 1 < -0.5 (negativo punto cinco).
Escribe las hipótesis, usa un nivel de significancia del 1%, indica el estadístico de prueba, la región de
la hipótesis nula, y tu decisión.
e) Con el modelo 3, encuentra el intervalo de 95% de confianza para β 1 − β 2 . (respuesta numérica)
f) Obtén el pronóstico puntual y por intervalo (con 90% de confianza) de la variable dependiente si para
1992 si se supone que PAM= 28 y GEPR = .33.
g) ¿Hay evidencia de autocorrelación en el modelo 1? En el modelo 3?.
Cuadro 1. Modelo 1. Ajuste.
LS // Dependent Variable is ET
Date: 10/19/97 Time: 06:05
Sample(adjusted): 1977 1991
Included observations: 15 after adjusting endpoints
Variable Coefficient
C
GEPR
Std. Error
t-Statistic
Prob.
58.28117
-18.85284
R-squared
0.261562
Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.204759
S.D. dependent var
S.E. of regression 3.502644
Akaike info criterion
Sum squared resid
159.4907
Schwarz criterion
Log likelihood -39.01359
F-statistic
Durbin-Watson stat
0.520993
Prob(F-statistic)
Matriz de Varianza - covarianza
C
GEPR
C
9.716334
-26.20783
GEPR
-26.20783
77.18780
Página 2 de 4
51.88000
3.927777
2.630602
2.725009
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Ago-Dic 2006
Cuadro 2. Modelo 2. Ajuste.
LS // Dependent Variable is ET
Date: 10/19/97 Time: 06:06
Sample(adjusted): 1977 1991
Included observations: 15 after adjusting endpoints
Variable Coefficient
C
PAM
Std. Error
t-Statistic
Prob.
83.21892
-0.885948
R-squared
0.939371
Mean dependent var
Adjusted R-squared
0.934707
S.D. dependent var
S.E. of regression 1.003644
Akaike info criterion
Sum squared resid
13.09492
Schwarz criterion
Log likelihood -20.26538
F-statistic
Durbin-Watson stat
1.125824
Prob(F-statistic)
51.88000
3.927777
0.130841
0.225247
Matriz de Varianza - covarianza
C
PAM
C
4.943210
-0.137846
PAM
-0.137846
0.003897
Cuadro 3. Modelo 3. Ajuste.
LS // Dependent Variable is ET
Date: 10/19/97 Time: 06:07
Sample(adjusted): 1977 1991
Included observations: 15 after adjusting endpoints
Variable Coefficient
C
PAM
GEPR
Std. Error
t-Statistic
Prob.
84.89061
-1.003587
7.332466
R-squared
Mean dependent var
51.88000
Adjusted R-squared
S.D. dependent var
3.927777
S.E. of regression 0.822929
Akaike info criterion
-0.212914
Sum squared resid
8.126547
Schwarz criterion
-0.071304
Log likelihood -16.68722
F-statistic
Durbin-Watson stat
1.456531
Prob(F-statistic)
Matriz de Varianza - covarianza
C
PAM
GEPR
C
3.704246
-0.119479
1.670767
PAM
-0.119479
0.004506
-0.117575
GEPR
1.670767
-0.117575
7.328432
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Problema 4
Supón que un modelo apropiado para la variable dependiente Y está dado por
E( Yi | X ) = β 0 + β 1 X i 1 para i = 1, 2, ..., n
donde las variables X representan variables explicativas. Supongamos que todos los supuestos se
cumplen, excepto: Var( Yi | X ) = σ i
2
para i = 1, 2, ..., n . Si se estima β 1 por
n
β̂ 1 =
∑Y ( X
i1
∑( X
− X 1 )2
i =1
n
i
i =1
i1
− X1 )
Encuentra una expresión, lo más simple posible, para Var( βˆ 1 | X ) . Evalúa la expresión si n=3 y
X 1 = 1 , X 2 = 3 , X 3 = 0.5 .
Problema 5
Considera ( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ), ( X 3 , Y3 ) tres observaciones de un vector aleatorio en el que se
cumplen los siguientes supuestos:
E( Yi | X i ) = βX i
Var( Yi | X i ) = σ 2 X i2
Cov( Yi ,Y j | X ' s ) = 0 para i ≠ j
Este es un modelo radial donde la heterocedasticidad es proporcional al cuadrado de la variable explicativa.
Realiza lo siguiente:
a)
Encuentra el estimador de mínimos cuadrados de
β . Llámale β̂ .
b) Encuentra la expresión de Var ( βˆ / X ' s ) .
c)
Evalúa las expresiones si X 1 = 1 , X 2 = 3 , X 3 = 0.5 .
Problema 6
Considere el modelo de regresión lineal múltiple en su forma matricial, esto es:
Y = Xβ + ε
donde X es una matriz con n renglones y (r+1) columnas de rango completo, la primer columna de X es
de unos. Supongamos que
E (Y | X ) = Xβ
Cov( Y | X ) = σ 2V
Donde
β
(vector) y
σ
2
son constantes, desconocidos y V es una matriz de constantes, positiva
definida de dimensión n por n, la cual suponemos conocida. Existe una matriz P invertible tal que
V = PP T . Definimos Y * = P −1Y .
*
*
a) Encuentra y justifica el valor de E( Y | X ) , Cov( Y | X ) .
*
−1
*
*
−1
b) Escribe Y como un modelo de regresión lineal múltiple en función de X = P X y ε = P ε .
c)
Denotemos por
β̂ *
el EMC del parámetro de interés en b). Demuestra que
Proposición 20.
d) Deduce las expresiones de E( βˆ MCG | X ) y Cov( βˆ MCG | X ) .
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β̂ *
es igual a
β̂ MCG
de la