Modelado Procedural • Geometría fractal • Gramáticas de formas
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Modelado Procedural • • • • Geometría fractal Gramáticas de formas Sistemas de partículas Modelado basado en características Prof. Sandra Baldassarri Fractales • La geometría fractal es en primer término un nuevo lenguaje matemático que permite expresar cierto tipo de formas que no son expresables mediante la geometría euclídea. • Esta geometría permite describir, de forma concisa y apropiada, objetos complejos del entorno natural (plantas, nubes, montañas, etc). Mediante el lenguaje fractal, la descripción de una nube se hace tan precisa como lo es la descripción de una casa utilizando geometría analítica. Geometría Fractal El lenguaje de los fractales • La geometría fractal se expresa por medio de algoritmos, es decir, por medio de reglas e instrucciones algoritmos de procedimiento • Por lo tanto requieren la ayuda de un ordenador para convertirse en formas y estructuras. Geometría Fractal Breve reseña histórica Geometría Fractal Geometría fractal • La personalidad más conocida dentro del mundo de los fractales es Benoît Mandelbrot quien inició el desarrollo de la geometría fractal. • Benoît B. Mandelbrot puso en marcha una nueva forma de pensar dentro de la matemática y la ciencia natural natural, una ola que, por su amplitud, fuerza y creatividad extraordinarias, se ha convertido en un conocimiento aplicado interdisciplinar de primer orden. Geometría Fractal Geometría fractal • La esencia del mensaje de Mandelbrot es que muchas estructuras naturales que aparentan tener una complejidad extraordinarias, poseen en realidad una propiedad de regularidad geométrica que se denomina invarianza de escala o autosimilaridad – Si se analizan estructuras con esta propiedad a distintas escalas se encuentran una y otra vez formas similares escalas, • Debido a esa propiedad, el algoritmo que describa la forma de un objeto fractal debe exhibir recursividad. recursividad Geometría Fractal Geometría fractal En realidad existen varios tipos de fractales: • Autosimilares exactos: tienen partes que son versiones a escala reducida exacta del objeto completo. • Autosimilares estadísticos: tienen partes que son versiones a escala reducida estadísticamente iguales al j completo p objeto • Autoafines exactos: tienen partes que son versiones a escala reducida exacta del objeto completo, pero se forman con diferentes valores de escalado en las distintas direcciones del espacio. • Autoafines A fi estadísticos: dí i tienen i partes que son versiones i a escala reducida estadísticamente iguales al objeto completo pero se forman con diferentes valores de completo, escalado en las distintas direcciones del espacio. Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Algunos ejemplos de fractales autosimilares exactos : - Curva de Koch (Helge von Koch Koch, 1904) - Curva de Peano (Giuseppe Peano, 1890) - Polvo de Cantor (Georg Cantor Cantor, 1883) - Triángulo de Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1919) Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Curva de Koch Construcción - Cada lado se divide en 3 partes iguales. - La parte central se sustituye por 2 lados triangulares - Se repite de nuevo para cada segmento Dimensión: log g 4 / log g 3 = 1,2618 Longitud: g infinita Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Curva de Koch Cuando se crea una curva de Koch sobre los lados de un triángulo equilátero se forma una isla o copo de nieve de Koch. Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Curva de Koch: Variantes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Curva de Peano Construcción – – – – Se parte de un segmento de longitud unidad Se deducen 9 nuevos segmento de longitud 1/3 Cada segmento se coloca como indica la figura Se reitera el proceso para cada segmento Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Curva de Peano • Curva C d de Hilb Hilbertt Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Polvo de Cantor Construcción – – – – Se toma un segmento de tamaño unidad, S1=[0,1] Se divide el segmento en 3 partes iguales Se borra el segmento central Se reitera el proceso para los segmentos restantes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Triángulo de Sierpinski Construcción – Se parte de un triángulo equilátero de lado unidad – Se toman los puntos medios de cada lado y se construye un triángulo equilátero invertido de lado ½ – Se recorta – Se repite el proceso con cada triángulo Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Tetraedro de Sierpinski • Alfombra Alf b d de Si Sierpinski i ki Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Algunos ejemplos de fractales autoafines estadísticos: - Árbol - Coral - Col - Cuerpo C h humano Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales en la naturaleza: árbol Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales en la naturaleza: coral Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales en la naturaleza: col Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales en la naturaleza: Cuerpo humano P l ó Pulmón Si t Sistema venoso-arterial t i l Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Algunos ejemplos de fractales sintéticos: - Paisajes - Helecho de Barnsley - Nubes - Plantas Pl t Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: paisajes: terrenos Para controlar el crecimiento del fractal se utilizan superficies de control Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: paisajes: terrenos Construcción: – Se marcan los puntos medios de los lados del triángulo – Se trazan rectas perpendiculares al plano por dichos puntos y se marca aleatoriamente un punto arbitrario (hacia arriba o abajo). – Con el nuevo punto obtenido en cada lado se forman tres t iá triángulos, l sobre b llos que se efectúa f tú lla misma i ttransformación. f ió Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: paisajes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: paisajes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: paisajes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: helecho de Barnsley Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: nubes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: nubes Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: plantas Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: plantas Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: plantas Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Fractales sintéticos: plantas Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Fractales sintéticos: plantas, su crecimiento • Vídeo de crecimiento de plantas fractales – basipetal.mov, basipetal mov field field.mov mov • Vídeo de crecimiento acotado a un entorno: – leaves.mov leaves mov • Vídeo de crecimiento de dos árboles compitiendo por el p mismo espacio – two.mov • Vídeo de crecimiento de raíces – root3D.mov Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal • Virtual Garden Creado por medio de agentes que se plantan y abandonan Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal • Aplicando tonos de color a algunos objetos matemáticos que están relacionados con el mundo de los fractales se puede llegar a interesantes resultados estéticos. estéticos • Las galerías de imágenes fractales y sus artistas inundan la red red. Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal A continuación aparecen dos partes del conjunto de Mandelbrot llevadas a 3D. Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal Geometría Fractal Ejemplos de geometría fractal Arte fractal Geometría Fractal Ejemplos de geometría Fractal • Conjunto de Mandelbrot Geometría Fractal Dimensión fractal • La caracterización matemática de un objeto fractal se realiza en base a lo que se denomina su dimensión fractal. Partimos de un segmento de longitud 1 1, y lo subdividimos en segmentos de longitud L, obteniendo ( ) partes p de manera q que: N(L) N(L).L1 = 1 Geometría Fractal Dimensión fractal • Partiendo de un cuadrado de superficie 1 y subdividiéndolo en unidades cuadradas de lado L se obtienen N(L) subunidades de manera que: N(L).L2 = 1 4 . (1/2)2 9 . (1/3)2 = 1 16 . (1/4)2 = 1 =1 Geometría Fractal Dimensión fractal • De forma general, la dimensión de un objeto podría expresarse bajo la forma de la ley de la escala a = sD Geometría Fractal Dimensión fractal • Por lo tanto, se puede generalizar que la dimensión de una forma geométrica es el número D que, que en a = sD, cumple: Geometría Fractal Dimensión fractal • Sin embargo, si las figuras no son subsimilares (cualquier parte de un objeto, objeto arbitrariamente elegida, elegida por pequeña que sea, proporciona el objeto completo) el cálculo no es tan simple. • En ese caso, la dimensión fractal o dimensión de Haussodorf-Besucovic no es un número entero sino un número decimal, referido al grado de ocupación del espacio o a la rugosidad del objeto fractal. – P: tamaño del objeto – N: número de partes que forman el objeto – p: tamaño de cada parte Geometría Fractal Dimensión fractal • La dimensión fractal se halla dividiendo el espacio y considerando los elementos que contienen algún trozo del objeto (N) y el tamaño de los elementos de la malla. Geometría Fractal Dimensión fractal • Los valores de la dimensión fractal indican que la misma estructura (determinista o estadística) se halla a cualquier escala. Geometría Fractal Modelado por gramáticas de formas • Gramáticas de formas: método procedural definido por conjuntos de reglas de producción que se aplican en un objeto inicial para agregar niveles de detalle que concuerdan con la forma original. Se pueden aplicar transformaciones para alterar la geometría del objeto, modificar el color o la textura de la superficie. Modelado procedural Modelado por gramáticas de formas • Gramáticas Lindermayer o gramáticas L: utilizadas para la descripción de plantas plantas. Las reglas ofrecen la conexión entre el tronco, las ramas y las hojas de cada ramificación individual. Modelado procedural Modelado por gramáticas de formas • Sistemas Lindermayer Modelado procedural Modelado por gramáticas de formas Ejemplo: Más allá de los sueños • Plantas generadas por sistemas Lindermayer • Superficie NURB para la descripción del terreno Modelado procedural Modelado por gramáticas de formas Ejemplo: Más allá de los sueños • Plantas generadas por sistemas Lindermayer: Modelado procedural Modelado por gramáticas de formas Ejemplo: Más allá de los sueños • Plantas generadas por sistemas Lindermayer: Modelado procedural Sistemas de partículas • Sistemas de partículas: permiten modelar objetos g q que p presentan naturales o con formas irregulares propiedades de tipo “fluido” u objetos que cambian con el paso del tiempo (nubes, humo, fuego, cascadas, etc) • En objetos como agua, polvo, nieve o lluvia, el efecto visual que el ser humano observa proviene de la interacción de millones de partículas que reaccionan antes otros objetos, la gravedad, el aire, el viento, para crear los l patrones t que vemos. • Los modelos realistas deben trabajar con gran número de partículas para ser creíbles. Modelado procedural Sistemas de partículas Modelo básico de comportamiento de un sistema de partículas: • Se utiliza el proceso aleatorio para generar partículas en alguna región del espacio. A cada partícula se le asigna una serie de atributos que pueden variar con el paso del tiempo. • En algún momento al azar la partícula se suprime. • Durante la vida de la partícula, las características de su trayectoria y superficie se basan en leyes dinámicas y pueden tener códigos de colores, transparencia, desplegarse etc desplegarse, etc.. Modelado procedural Sistemas de partículas • Las formas de las partículas pueden ser esferas, elipsoides recuadros pequeños elipsoides, pequeños, etc etc. • Cada partícula suele tener los siguientes atributos: – – – – – – – – – Posición Velocidad Color Tiempo de vida Edad Forma Tamaño Transparencia … Modelado procedural Sistemas de partículas • Sistema de partículas para la realización de las crestas de las olas olas, la bruma y las gotas en cada golpe de la ola – Ejemplo: La tormenta perfecta Modelado procedural Sistemas de partículas • Ejemplos: Modelado procedural Sistemas de partículas • Ejemplos: Modelado procedural Modelado basado en características • Modelado basado en las características físicas del objetos: se describe el comportamiento del objeto en términos de la interacción entre las fuerzas externas e internas. • Ejemplos: j p telas, p pelota de hule, g gelatina, etc. Modelado procedural Modelado basado en características • El objeto se modela como una red de nodos con conexiones flexibles entre los nodos nodos, generalmente representados por resortes. Sistema masa-muelle. • Los objetos pueden ser homogéneos o tener diferentes tipos de resortes (o en distintas direcciones) Modelado procedural Modelado basado en características lycra Elasticidad de Trama 16 67 N 16.67 N.m m-11 Elasticidad de Urdimbre 10 N.m-1 Cizalladura 217 N.m-1 Curvatura de Trama 17 10-66 N.m Curvatura de Urdimbre 6.5 10-6 N.m Densidad 156 10-3 Kg.m-2 Modelado procedural Modelado basado en características • Animación por medio de un modelo basado en las características físicas del objeto (sistema masa-muelle) masa muelle) Modelado procedural Modelado basado en características Modelado procedural Modelado basado en características • Ejemplos Modelado procedural
