Problemas Método de bisección. 1. La ecuación ex − 3x = 0 tiene por raı́z a r = 0,61906129. Comenzando con el intervalo [0, 1], realizar seis iteraciones por el Método de bisección para encontrar la raı́z aproximada. ¿Cuántos decimales significativos tiene dicha aproximación?. ¿Cuántas iteraciones son necesarias para que la raı́z obtenida tenga un error menor que 10−4 ? 2. Utilizar el Método de bisección para encontrar una solución aproximada con un error menor que 10−2 en el intervalo [4, 4,5] para la ecuación x = tg(x). 3. Sabiendo que existe una raı́z de la ecuación x3 + x = 6 entre 1.55 y 1.75, ¿cuántas iteraciones son necesarias hasta obtener mediante el método de bisección, un intervalo de amplitud menor o igual que 10−3 que contenga a la raı́z?. Calcular todas las iteraciones necesarias. 4. Aplicar el Método de bisección a F (x) = x3 − 17 = 0, a fin de determinar la raı́z cúbica de 17 con un error menor que 0.125. Método de Newton. 5. Aplicando el Método de Newton, encontrar una raı́z próxima a x0 = 0 para la ecuación f (x) = 3x + senx − ex = 0. Redondear los cálculos a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla | xi − xi−1 |≤ 0,001. 6. La función f (x) = 4x−7 x−2 tiene una raı́z en x=1.75. Utilizar el método de Newton con las siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produce un proceso convergente o no a la raı́z. a)x0 = 1,6 , b)x0 = 1,5 , c)x0 = 3 7. Mediante el Método de Newton modificado, encontrar una raı́z próxima a x0 = 0 de la ecuación x − 2−x = 0. Utilizar tres decimales redondeados en cada iteración hasta que se cumpla | xi − xi−1 |≤ 10−3 . 8. La concentración c de una bacteria contaminante en un lago decrece según la expresión: c(t) = 80e−2t + 20e−0,5t siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el número de bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el Método de Newton). 9. Una determinada sustancia se desintegra según la ecuación A = P · e−0,0248t , donde P es la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante después de t anõs. Si inicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia, ¿cuánto tiempo habrá de transcurrir para que quede el 1 por ciento de ésta? Utilizar el Método de Newton. Ingenierı́a Técnica Forestal 1 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 10. Demostrar que para encontrar la raı́z r-ésima de un número a, la fórmula iterativa de Newton se puede expresar como 1 a xn+1 = [(r − 1) · xn + r−1 ] r xn 11. Hallar la raı́z cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el método de Newton y comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos decimales redondeados en los cálculos. 12. Se considera la función F (x) = x5 +2x. Mediante el Método de Newton, hallar el menor número positivo x (con tres decimales) para el cual F (x) = 4. 13. En los casos siguientes, aplicar el método de Newton con la estimación inicial propuesta, y explicar por qué falla el método. a) y = 2x3 − 6x2 + 6x − 1, x1 = 1. c) y = −x3 + 3x2 − x + 1, √ x1 = 2. d ) y = 3 x − 1, x1 = 1. b) y = 4x3 − 12x2 + 12x − 3, 14. x1 = 23 . Probar, mediante el método de Newton, que la ecuación xn+1 = xn (2 − axn ) se puede utilizar para aproximar a1 si x1 es una estimación inicial del recı́proco de a. Nótese que este método de aproximar recı́procos utiliza sólo operaciones de suma y multiplicación. [Ayuda: Considerar f (x) = x1 − a.] 15. Aproximar, con ayuda del resultado del ejercicio anterior, con tres cifras decimales, los siguientes recı́procos: a) b) 16. 1 . 3 1 . 11 Una medicina administrada a un paciente produce una concentración en la sangre dada por c(t) = Ate−t/3 mg/ml, t horas después de que se hayan administrado A unidades. La máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denomina concentración de seguridad. a) ¿Qué cantidad debe ser inyectada para alcanzar como máximo esta concentración de seguridad?. ¿Cuándo se alcanza este máximo?. b) Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentración baja a 00 25 mg/ml. Determı́nese con un error menor de 1 minuto cuándo debe ponerse esta segunda inyección. Ingenierı́a Técnica Forestal 2 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 17. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en perı́odos cortos suponiendo que el crecimiento de la población es una función continua en t mediante una ecuación diferencial cuya solución es v λt N (t) = N0 eλt + e −1 , λ donde N (t) es el número de individuos en el tiempo t (medido en años), λ es la razón de natalidad, N0 es la población inicial y v es un razón constante de inmigración, que se mide en número de inmigrantes al año. Supóngase que una población dada tiene un millón de individuos inicialmente y una inmigración de 400,000 individuos al año. Se observa que al final del primer año la población es de 1,506,000 individuos. Se pide: a) Determinar la tasa de natalidad. b) Hacer una previsión de la población al cabo de tres años. Ingenierı́a Técnica Forestal 3 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 Soluciones a algunos ejercicios 1. En efecto, si llamamos f (x) = ex −3x, por el Teorema de Bolzano, al ser f (1) = e−3 < 0, y f (0) = 1 − 0 = 1 > 0, sabemos que hay al menos una1 raı́z en el intervalo [0, 1]. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 f(x)=exp(x)−3x 0 −0.2 −0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f (x) = 1 1.2 ex − 3x. 1.4 1.6 1.8 2 Nos piden que hagamos seis iteraciones por el Método de Bisección, esto es, vamos calculando puntos medios de los intervalos, y el valor de la función en dichos puntos, quedándonos con aquél donde haya cambio de signo (dicho de otro modo, ci+1 sustituye a extremo cuya imagen tenga el mismo signo que f (ci+1 )), e iteramos de nuevo: c0 = 1/2 f (c0 ) = 00 148 > 0 ⇒ [c0 , 1] 0 c1 = 3/4 f (c1 ) = −0 133 < 0 ⇒ [c0 , c1 ] c2 = 5/8 f (c2 ) = −00 006 < 0 ⇒ [c0 , c2 ] c3 = 9/16 f (c3 ) = 00 067 > 0 ⇒ [c3 , c2 ] c4 = 19/32 f (c4 ) = 00 029 > 0 ⇒ [c4 , c2 ] c5 = 39/64 f (c5 ) = 00 011 > 0 ⇒ [c5 , c2 ]. De modo que c6 = 79/128 ≡ 00 6171875, y la función ahı́ vale f (c6 ) ≡ 00 002. En efecto, el valor es relativamente pequeño, aunque no una aproximación excelente, y es que c6 dista de la solución exacta que nos da el enunciado. En realidad, lo único que sabı́amos por el método a priori es que la cota de error entre la raı́z exacta y la aproximada era |x∗ − cn | ≤ 2b−a n+1 = 1 0 ≡ 0 0078125, por lo que efectivamente no cabı́a esperar más de dos decimales exactos. 27 Las iteraciones necesarias para obtener orden δ = 10−4 son n = E ln(b−a)−ln(δ) = 13. ln 2 Nota sobre su resolución en el ordenador: Como el orden del método es uno, la aproximación es lenta. Sin embargo, se comprueba que es fácilmente automatizable (i.e. podemos llevar el método al ordenador, evaluando la función en el punto medio, y pidiéndole a la computadora que compare el signo y en función de si sale igual o distinto tomar un intervalo u otro para la nueva iteración). Con ayuda de Microsoft c podemos implementar fácilmente el esquema (buscar la función SI, véase material Excel 1 De hecho, f 0 (x) = ex − 3, con lo que deducimos que en x = ln 3 la derivada se anula y la función tiene un mı́nimo; como después crecerá mucho, pasará el cero de nuevo una única vez. Ingenierı́a Técnica Forestal 4 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 complementario de este tema en la web www.uhu.es/pedro.marin/docencia/extraT2C.zip), aunque por contra la precisión de cálculo deja de ser buena muy pronto. MATLAB, sin embargo, ofrece mayor exactitud, aunque la adaptación a este lenguaje puede ser algo más tediosa (se puede hacer con un proceso por lotes, o directamente con una función .m, en todo caso usando el condicional, que en este programa es IF). 4. Para hallar la raı́z cúbica de 17, es una elección evidente tomar la función f (x) = x3 − 17. Tanteamos mentalmente para asegurarnos un intervalo inicial en el que ejecutar el Algoritmo 00 125 0 de Bisección (p.ej. [2, 3]). Con error menor que 0 125 debemos efectuar n = E ln 1−ln = ln 2 = E 3lnln22 = 3 iteraciones2 , y la solución aproximada resultante es 20 5625, E 0−ln(1/8) ln 2 √ mientras que una aproximación mejor es 3 17 ∼ 2,5712815906154. 5. Usando el Teorema de Bolzano sabemos que f (x) = 3x − sin x − ex tiene una raı́z en el intervalo [0, 1]. 1.5 1 0.5 0 −0.5 −1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 f(x)=3x−sen(x)−exp(x) 0.7 0.8 0.9 1 . Como f 0 (x) = 3 + cos(x) − ex , el Método de Newton-Raphson resulta xn+1 = xn − 3xn + sin(xn ) − exn f (xn ) . = x − n f 0 (xn ) 3 + cos(xn ) − exn El primer dato lo podemos elegir a nuestro antojo, tomamos por ejemplo x0 = 0, con lo que x1 = 1/3, x2 = 00 360170714 y x3 = 00 36042168. Ya hemos cumplido la condición |xi − xi−1 | ≤ 00 001 pues |x3 − x2 | = 00 00025. Además, comprobamos efectivamente que f (x3 ) = −5,744246611705250 10−8 . Vemos gráficamente la aproximación realizada en dos etapas (la derecha es una ampliación) 2 Observa que la calculadora no es indispensable siempre. Ingenierı́a Técnica Forestal 5 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 5 1 4 3 0.5 2 1 0 0 −1 −2 −0.5 −3 −4 −5 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 . usando las rectas tangentes: y = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ), e y = f 0 (x1 )(x − x1 ) + f (x1 ). ∗ 0 6. Claramente la única raı́z de la función f (x) = 4x−7 x−2 es x = 1 75. Si implementamos el método de Newton-Raphson para aproximar la solución f 0 (x) = −1 , (x − 2)2 ⇒ xn+1 = xn − f (xn ) = xn + (4xn − 7)(x − 2), f 0 (xn ) comprobamos que con los tres valores que nos dan se obtienen las siguientes secuencias: 10 6, 10 84, 10 7824, 10 75419904, 10 750070528, 10 75000002, 10 75, 10 75, 10 75 . . . 3, 8, 158, 97658, 38146972658, 50 82077E + 21, 10 35525E + 44, 70 34684E + 88, . . . 10 5, 2, 2, 2, . . . es decir que la primera converge a la verdadera solución, la segunda diverge y la tercera converge a una falsa solución. Ello es debido a que el método es local, y hay que empezar suficientemente cerca de la solución para tener garantı́a de convergencia, lo que nos impele a hacer siempre la comprobación (cuando obtengamos una convergencia hacia cierto valor) de que la imagen del valor aproximado obtenido está cerca de cero, para evitar falsas soluciones. [En general los códigos suelen tener dos condiciones para parar: que dos iteraciones consecutivas estén cerca entre sı́ y que la imagen de una de ellas esté cerca de cero.] 8. Debemos hallar la raı́z de c(t) = 7, o lo que es lo mismo, definiendo f (t) = c(t) − 7, tenemos que hallar un cero para f. Ambas funciones, c y f tienen por derivada a la función f 0 (t) = −160e−2t − 10e−t/2 . Al ser negativa, sabemos que las funciones c y f son decrecientes estrictamente, luego si existe solución, es única. Como c(0) = 100 y lı́mt→∞ c(t) = 0, en tiempo positivo la función c (que es continua) tomará todos los valores del intervalo (0, 100]. Una vez que hemos concluido que existe una única raı́z de c(t) = 7, y por tanto un único cero de f (t), aplicamos el Método de Newton-Raphson. Como c(0) = 100 dista bastante del objetivo, conviene, para ahorrar cálculos empezar con un dato inicial del tiempo algo mayor (no mucho, porque la exponencial decae rápidamente), por tanteo parece conveniente comenzar con x1 = 2. En cuatro iteraciones conseguimos: x2 = 20 27579938312569 x3 = 20 32768095901589 Ingenierı́a Técnica Forestal 6 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 x4 = 20 32908663665517 x5 = 20 32908761684562. 9. Es propio del material radioactivo desintegrarse con respecto a esa ley (solución de cierta ecuación diferencial que veremos más adelante en el Tema 4). Obsérvese que resolver el 0 problema equivale a hallar el cero de f (t) = 500e−0 00248t −5, o lo que es lo mismo (pero mejor 0 para hacer los cálculos), de la función g(t) = 100e−0 00248t − 1. Antes de aplicar el Método de Newton-Raphson es adecuado pensar en qué dato inicial tomar (de no ser adecuado, tardaremos mucho o puede, como se ve en algunos ejercicios del tema, que no lleguemos a la solución). Es claro geométricamente que, por la forma de la exponencial, el método va a ser efectivo con cualquier dato inicial. 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 g(t) = 100e−0 00248t − 1. Pero por el bajo coeficiente que afecta al exponente, ha de pasar mucho tiempo para que la exponencial comience a decrecer de forma notable. Por ello, comenzamos con t1 = 100. En 6 iteraciones llegamos a la solución: t2 = 1350 507554670222 t3 = 1640 214770256907 t4 = 1800 865946787540 t5 = 1850 414686713111 t6 = 1850 691392424226 t7 = 1850 692346197917 años han de pasar para quedar3 el 1 %. 10. Se obtiene tras transformaciones aritméticas inmediatas a xn+1 = xx − f (xn ) f 0 (xn ) siendo f (x) = xr − a. 11. El ejercicio anterior se aplica con r = 2 y a = 10 generando la sucesión recurrente 1 10 . xn+1 = xn + 2 xn Ingenierı́a Técnica Forestal 7 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 Elegir x0 = 3 es una buena elección: simple y aproximada, esto último es importante ya que el Método de Newton-Raphson es local, por lo que cuánto más cerca se comience de la solución, más garantı́as de éxito se tendrá al aplicarlo. x0 = 3, x1 = 30 1b 6, x2 = 30 1622777, x3 = 30 1622777 (que ya coincide con el resultado que podemos obtener usando la calculadora). 13. a) En este caso el Método de Newton-Raphson no es aplicable porque el punto inicial anula el denominador f 0 (x) que aparece en la expresión recurrente. En cambio, si tomamos un valor un poco más alejado, por ejemplo, 10 2, conseguimos aproximar en 9 iteraciones la solución (con un error/tolerancia de 10−8 ): x1 = −30 03333333333329 x2 = −10 69913409071934 x3 = −00 82229976699472 x4 = −00 26505557694095 x5 = 00 05248674618149 x6 = 00 18268167510526 x7 = 00 20562357143852 x8 = 00 20629889908101 x9 = 00 20629947401548. Empezando en x0 = 0 conseguimos la convergencia (con igual tolerancia) en 4 iteraciones: x1 = 00 16666666666667 x2 = 00 20444444444444 x3 = 00 20629515192918 x4 = 00 20629947399236. b) La derivada de f se anula en x = 1, con lo que si los cálculos pasan por algún xn = 1, el método no será válido. Y justamente ése es el caso si x1 = 3/2, ya que x2 = 1. Sin embargo, eso no significa que el método en si sea malo para hallar el cero de esta función, sólo que el dato inicial no es el adecuado. En efecto, si empezamos por otro valor, x1 = 0, el método converge en 5 iteraciones: x2 = 00 25 x3 = 00 35185185185185 x4 = 00 36953388762913 x5 = 00 37003906971704 x6 = 00 37003947505230. c) Con el dato inicial la sucesión que se obtiene es de 0 y 1 alternante, con lo que nunca convergerá a ningún valor. Aunque no hayamos visto en el desarrollo de teorı́a las condiciones de convergencia de los métodos de punto fijo (el MNR lo es para la función g(x) = x − f (x) f 0 (x) ), intuimos con este ejemplo que no deben darse condiciones oscilantes en el entorno que tomemos para comenzar la construcción de la sucesión recurrente, sino que debe ser monótona en cierto sentido hacia el cero de la función f. Estos ejemplos muestran simplemente malas elecciones del dato inicial que hacen que en el camino se tope uno con dificultades, que se evitarı́an (una vez más) empezando por otro dato, más próximo y adecuado: con dato inicial 3 se consigue la aproximación en 4 iteraciones x1 = 20 8 Ingenierı́a Técnica Forestal 8 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 x2 = 20 76994818652850 x3 = 20 76929266290594 x4 = 20 76929235423870. d) En este caso la explicación es clara si tenemos en cuenta la gráfica de la función: 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 √ El pico que, en torno a x = 1, forma la gráfica de la función f (x) = 3 x − 1, unido a la obvia raı́z que tiene, es una mala condición para poder apoyarnos en el uso de rectas tangentes. Toda la regularidad que necesitamos, aquı́ falta, tras acercarse inicialmente, cambia de signo, lo alterna, y se va alejando (diverge). 14. En este ejercicio se pide probar que una forma de aproximar el valor 1/a es a través de la sucesión xn+1 = xn (2 − axn ), esto es trivial con la indicación que dan: la raı́z de la función f (x) = x1 − a es justamente x∗ = a1 , y el Método de Newton-Raphson genera justamente la anterior relación de recurrencia: −1 f (x) = 2 x 0 ⇒ xn+1 f (xn ) = xn − 0 = xn − f (xn ) 1 xn − −1 x2n a = xn + 1 xn −a 1 x2n = xn + xn − ax2n . Lo reseñable del ejercicio es que para obtener el cociente 1/a no es necesario dividir, sino aproximar con sumas y productos. 16. Vemos como la realidad no se reduce siempre al uso de una función de una única variable. a) Fijada la dosis inicial A, el problema, con la función dada c(t), consiste en hallar el máximo de concentración, y el momento. Podemos contestar ya a lo segundo: buscamos los extremos relativos a través de la derivada de la función: 1 c0 (t) = Ae−t/3 − Ate−t/3 = Ae−t/3 (1 − t/3) . 3 Por tanto, los candidatos a extremos de la función c (recuérdese que el dominio en que tiene sentido el problema es [0, ∞)) son {0, 3, ∞}. Sin embargo, c(0) = 0, y lı́mt→∞ c(t) = 0, de modo que la cantidad c(3) = 3e−1 A > 0 es la concentración máxima. Ingenierı́a Técnica Forestal 9 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 De hecho, cualquiera que sea la cantidad inicial A, el máximo de la concentración se alcanza en t = 3. Para que la cantidad máxima no supere 1 mg/ml, simplemente hay que poner un A menor del que resuelva 3e−1 A = 1, esto es, A ≤ e/3. b) Supuesta suministrada esta cantidad inicial, A = e/3, nos preguntan cuándo ocurrirá que e c(t) = te−t/3 = 00 25. 3 Tenemos que resolver pues la ecuación e f (t) = te−t/3 − 00 25 = 0. 3 Pero del análisis anterior sacamos que al máximo llega desde cero y que después tiende a cero, es decir, cualquier cantidad en (0, A), en particular 00 25, es alcanzada dos veces y nos interesa cuando lo alcanza por segunda vez. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 c(t) = 10 15 e −t/3 . 3 te Usamos el método de Newton-Raphson con algún valor numérico que resulte adecuado (por lo dicho antes, más bien largo que corto, para que la convergencia sea hacia la solución por encima de las tres horas). Por la forma de campana, basta tomar cualquier valor inicial superior a tres horas, p. ej. x0 = 4 genera una sucesión que converge en 4 iteraciones (con una tolerancia de 10−8 ; nos pedı́an precisición de un minuto, que pasado a horas es 00 01666, por tanto bastaba con 10−3 ): x1 = 100 30879920381349 x2 = 110 02140006874606 x3 = 110 07757133060878 x4 = 110 07790357510362 horas= 11 horas, 4 minutos. 17. En este problema nos dan el modelo N (t) = N0 eλt + v λt e −1 , λ los datos N0 = 106 , v = 4 105 , N (1) = 1506 103 , y nos piden simplemente que despejemos el valor de λ : Ingenierı́a Técnica Forestal 10 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05 4 105 λ e −1 . λ Simplificamos antes de resolver el cero de cierta función asociada: 1506 103 = 106 eλ + f (λ) = 1000eλ + 400 λ e − 1 − 1506 = 0. λ Con un dato inicial bajo x1 = 1 (lo esperable para la natalidad de una población que en un año sólo ha pasado de 1400000 a algo más de millón y medio de habitantes) la respuesta se obtiene en 4 iteraciones (con precisión 10−8 ): x2 = 00 390820116865 x3 = 00 12534036450639 x4 = 00 08560613200322 x5 = 00 08483943705533 x6 = 00 08483915873218 ∼ λ. b) Consiste en sustituir t = 3 en la expresión (ahora totalmente conocida) de N (t) : N (3) = 26563730 589004676, que significa una población en torno a los 2.656373 habitantes. Ingenierı́a Técnica Forestal 11 Fundamentos Matemáticos Curso 2004/05