ejercicios extra sobre particiones
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Matemática Discreta Segundo curso del Grado en Matemáticas, UAM Curso 2010-2011 Ejercicios extra, 13 de octubre de 2010 Aquı́ tienes una tabla de los primeros valores de la función pk (n), el número de particiones de n con exactamente k partes, generados aplicando la regla de recurrencia pk (n) = pk−1 (n − 1) + pk (n − k) junto con los valores “frontera” pn (n) = p1 (n) = 1. k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 k=6 k=7 k=8 k=9 k=10 k=11 k=12 k=13 n=1 1 n=2 1 1 n=3 1 1 1 n=4 1 2 1 1 n=5 1 2 2 1 1 n=6 1 3 3 2 1 1 n=7 1 3 4 3 2 1 1 n=8 1 4 5 5 3 2 1 1 n=9 1 4 7 6 5 3 2 1 1 n = 10 1 5 8 9 7 5 3 2 1 1 n = 11 1 5 10 11 10 7 5 3 2 1 1 n = 12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 n = 13 1 6 14 18 18 14 11 7 5 3 2 1 1 n = 14 1 7 16 23 23 20 15 11 7 5 3 2 1 k=14 1 • Sobre la función pk (n) en columnas. 1. Ya vimos en clase que p2 (n) = n/2. ¿Podrı́as dar una fórmula para p3 (n)? 2. Comprueba que, para k fijo, pk (n) es una función creciente de n. Nota. En clase vimos la estimación general siguiente: para k fijo y n → ∞, pk (n) ∼ nk−1 k! (k − 1)! ( el sı́mbolo an ∼ bn significa que lı́mn→∞ an /bn = 1). • Sobre la función pk (n) en lı́neas paralelas al borde derecho (diagonales). 3. Prueba, con un argumento combinatorio directo, que pn−2 (n) = 2 si n ≥ 4 y que pn−3 (n) = 3 si n ≥ 6. 4. Prueba que, para j fijo, la función pn−j (n) es creciente para todo n y que es constante a partir de un cierto valor de n.
