Estimación adaptativa y las cotas inferiores sobre la clase de Hölder
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Estimación adaptativa y las cotas inferiores sobre la clase de Hölder anisotrópica bajo los supuestos “single-” y “multi-index”. En la estimación no paramétrica de una función multivariante consideramos la adaptación estructural. Supongamos que la función que se trata de estimar tiene una estructura de ı́ndice único (single-index), F (x) = f (◊€ x), donde la función de enlace f : R æ R y el vector ◊ œ Sd≠1 ambos son desconosidos. Se propone un nuevo procedimiento que se adapta simultaneamente a la dirección de ◊ y la regularidad de f . Se presenta una desigualdad de “oráculo” para el procedimiento propuesto que se utiliza a continuación para obtener la cota superior para el riesgo máximo bajo la hipótesis de regularidad de la función de enlace. A partir de la cota inferior obtenida para el riesgo mı́nimax, nuestro estimador es un estimador óptimo adaptativo sobre el conjunto de los espacios funcionales considerados. Finalmente, se trata de estudiar el mejor orden de convergencia obtenible para la estimación bajo el supuesto multi-index que viene dado por 1 € F (x) = f ◊1€ x, . . . , ◊m x donde f : Rm æ R, m Æ d, ◊k œ Sd≠1 , k = 1, . . . , m. 2 (1) Referencias Lepski, O. and Serdyukova, N. (2014). Adaptive estimation under single-index constraint in a regression model. Ann. Statist. 42:1 1–28. Serdyukova, N. (2015). On the best obtainable rates of convergence for estimation at a point under multi-index constraint. Sometido. 1
