1. Intervalos

FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA
EDUARDO CABALLERO CALDERON
Espacio Académico: Matemáticas
Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda
[email protected]
CICLO: V
INECUACIONES: DESIGUALDADES
INICIADORES DE LOGRO
1. Adquiere la noción de intervalo y de desigualdad.
2. Aplica las reglas de signos en la solución de desigualdades.
3. Usa métodos para solucionar desigualdades lineales y cuadráticas.
1.
Intervalos
Intervalo: se define como un subconjunto de la recta real, esto quiere decir que, el intervalo es un conjunto
formado por números reales.
Los intervalos suelen denotarse mediante una pareja ordenada que presenta alguna de las siguientes formas: (a, b), [a, b], (a, b] y [a, b), usando habitualmente los signos de agrupación, parétesis y corchetes, como
delimitadores de inclusión y en donde las letras a y b son los límites inferior y superior respectivamente (a
y b son números reales).
A continuación se muestran los tipos de intervalos:
Intervalo abierto: De la forma (a, b), su signo delimitador es el parentésis, indicando que sólo se
tienen en cuenta los valores reales comprendidos entre a y b, sin incluir a a y b. Gráficamente, el
intervalo abierto es:
Ejemplo: (1, 5) = {1,01, 1,02, ... 2, ... 3, ... 4, ... 4,99}.
Intervalo cerrado: De la forma [a, b], su signo delimitador es el corchete, indicando que se tienen
en cuenta los valores reales comprendidos entre a y b, incluyendo a a y b. Gráficamente, el intervalo
cerrado es:
Ejemplo: [2, 3] = {2, 2,01, ... 2,5, ... 2,99, 3}.
1
Intervalo semicerrado o semiabierto: De la forma [a, b) o (a, b], presenta signos delimitadores
mixtos, indicando que el límite del parentésis no se incluye.
Ejemplo: (8, 9] = {8,01, 8,41, ... 8,5, ... 8,99, 9}.
Intervalo infinito: De la forma (−∞, ∞), representa todos los valores reales. Gráficamente, el intervalo infinito es:
2.
Desigualdades e inecuaciones
Para valores particulares de a y b, puede tenerse algunos de los siguientes casos:
a > b, que se lee "a mayor que b ", cuando la diferencia a − b es positiva .
a < b que se lee "a menor que b ", cuando la diferencia a − b es negativa.
a ≥ b, que se lee "a es mayor o igual que b", significa que a > b o que a = b pero no ambos.
a ≤ b que se lee "a es menor o igual que b", significa que a < b o que a = b pero no ambos.
Una desigualdad se obtiene al escribir dos expresiones numéricas o algebraicas relacionadas con alguno de
los símbolos >, <, ≥ o ≤ .
Ejemplos:
1. 4 > 3.
2. a < 10.
3. b ≥ 5.
4. x2 ≤ 1.
De la definición de desigualdad, se deduce que:
Todo número positivo es mayor que cero.
Todo número negativo es menor que cero.
Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Si a > b entonces b < a.
Existen dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.
Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales
que figuran en ella. Por ejemplo: x2 + 1 > x.
Desigualdad condicional es aquella que sólo se verifica para ciertos valores de las literales. Por ejemplo:
3x − 15 > 0 que solamente se satisface para x > 5. En este caso se dice que 5 es el límite de x.
2
2.1.
Propiedades de las desigualdades:
Sean a, b, c tres números reales.
1. si a > b, entonces se cumple que a + c > b + c.
2. Dado un número c > 0, si a > b entonces se cumple que a · c > b · c y que
a
b
> .
c
c
3. Dado un número c < 0, si a > b entonces se cumple que a · c < b · c y que
a
b
< .
c
c
Ejemplo: Si a la desigualdad 6 > 3 se multiplica por −4 a ambos miembros, entonces, se cumple que
6(−4) < 3(−4), ya que −24 < −12.
2.2.
Inecuaciones
Las inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas. A diferencia de las ecuaciones, que sólo
se verifican para algunos valores de la variable, las inecuaciones tienen infinitas soluciones. El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en cuenta las propiedades de las
desigualdades.
La solución de una inecuación se llama conjunto solución.
2.2.1.
Inecuaciones lineales
Una desigualdad de primer grado o desigualdad lineal, tiene la forma:
ax > b o ax − b > 0
donde a y b son números reales y a 6= 0; su conjunto solución generalmente es un intervalo.
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación 4x + 6 > 2x − 8.
Solución: Se transponen términos:
4x − 2x > −8 − 6
se reducen los términos semejantes:
2x > −14
despejando a x:
−14
2
x > −7
x >
Así el conjunto solución es x ∈ (−7, ∞), el cual gráficamente se observa a continuación:
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación −3 ≤ 4(x + 1) ≤ 2.
Solución: Se desarrolla el producto del medio:
−3 ≤ 4x + 4 ≤ 2
Se transponen términos:
−3 − 4 ≤ 4x ≤ 2 − 4
3
se reducen los términos semejantes:
−7 ≤ 4x ≤ −2
dividiendo por 4:
7
4
7
−
4
−
2
4
1
≤ x≤−
2
≤ x≤−
7 1
Así el conjunto solución es x ∈ − , − , el cual gráficamente se observa a continuación:
4 2
2.2.2.
Inecuaciones cuaráticas
Una desigualdad de segundo grado o desigualdad cuadrática, tiene la forma:
ax2 + bx + c > 0 o ax2 + bx + c ≥ 0 o ax2 + bx + c < 0 o ax2 + bx + c ≤ 0
donde a, b y c son números reales y a 6= 0. Su solución generalmente representa un intervalo o la unión de
dos intervalos de números reales.
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación x2 − 9 > 0.
Solución: Se transponen términos:
x2 > 9
se saca raíz a ambos lados:
x > ±3
de aquí salen tres intervalos de solución (−∞, −3), (−3, 3) y (3, ∞). Se Prueba con tres números ubicados
en esos intervalos si cumplen la desigualdad x2 − 9 > 0:
para x = −4 del intervalo (−∞, −3) se tiene: (−4)2 − 9 = 16 − 9 = 7 > 0.
para x = 0 del intervalo (−3, 3) se tiene: 0 − 9 = 0 − 9 = −9 < 0.
para x = 4 del intervalo (3, ∞) se tiene: (4) − 9 = 16 − 9 = 7 > 0.
Los valores que cumplen la desigualdad son el primero y el tercero, por lo que el conjunto solución es:
(−∞, −3) ∪ (3, ∞). La gráfica del conjunto solución se aprecia a continuación:
Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la inecuación x2 + 2x ≥ 15
Solución: Se desiguala a cero:
x2 + 2x − 15 ≥ 0
se factoriza el trinomio:
(x + 5)(x − 3) ≥ 0
se separa cada factor y se solucionan aparte:
(x + 5) ≥ 0 entonces x ≥ −5
(x − 3) ≥ 0 entonces x ≥ 3
resolvemos por el método gráfico:
4
Luego el conjunto solución está dado por x ∈ (−∞, −5] ∪ [3, ∞).
3.
TALLER
El siguiente trabajo se entrega a mano el día 15 de Febrero 2014:
1. Encontrar el conjunto solución y r ealizar su gráfica:
3x + 5
4
4x − 1
<5
b) 1 <
3
c) 2 > −3 − 3x ≥ −7
a) −3 >
d ) x2 < 4
e) x2 − 4x + 3 ≤ 0
f ) x2 + 6x + 8 ≥ 0
4.
BIBLIOGRAFÍA
1. Leithold L., Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Harla, (1994).
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