PDF (Primera Parte) - Universidad Nacional de Colombia

C I — OIJI— O
BERNARDO
UNIVERSIDAD
X IVI r
ACEVEDO
NACIONAL
SECCI ONAL
SEPTI EMBRE
E B R A L
FRIAS
DE
COLOMBIA
MANIZALES
DE
1990
O ft I— O l i I— O
BERNARDO
J i vi J EE e FÍftI
ACEVEDO
FRIAS
Trabajo presentaodo con el fin de
dar
cumplimiento
al literal "d"
del articulo
21 del acuerdo
72
de 1978, para
la promoción a
la
categoria de PROFESOR ASOCIADO.
UNIVERSIDAD
NACIONAL
SECCIONAL
SEPTIEMBRE
DE
COLOMBIA
MAN IZALES
DE
1990
r f\ B «
rt
D CE
C O M
I El |N| :i o
o
INTRODUCCION
CAPITULO 1
CALCULO
INTEGRAL
1.1
P a r t i c i ó n d e [ a, b ]
1. 2
Fun c ión escalonada
2
1.3
Ejercíc ios
4
1-4
1
P rop i e d a d e s d e. f u n c i ó n escalonada
4
1.5
Ejercicios
6 '
1.6
Integral de una función acotada
7
1.7
Propiedades de la integra1 de una
función
escalonada
12
1.7.1
Propiedad ad it iva
12
1.7.2
P rop i edad homog enea
i4
1.7.3
Invariancla frente a traslación
16
1.7.4
Aditividad
17
1.7.5
Dilatación del intervalo de integración
20
1.7.6
Teorema de comparación
22
1.8
Ejercicios
23
respecto al intervalo de integración
1.9
Integrales de funciones generales
24
1.18
Integral de una función acotada
31
1.18.1
Integral superior e inferior
31
1.11
Ejercicios
39
1.12
Integrabi 1 .idad de funciones monetarias acotadas
48
1.13
Propiedades fundamentales de las integrales de
1.14
1.15
funciones monótonas acotadas
43
Ejercicios
55
- Teorema fundamental del cálculo
1.16
Ejercicios
1.17
Primitiva de una función
1.18
Ejercicios
1.19
_
1.28
57
62
(integral
indefinida)
68
Algunas propiedades de la integral
indefinida
Ej ere icios
1.21
64
78
72
— Métodos d e integración
73
1.21.1
Sustitución
73'
1.21.1.1
Integrales de funciones trigonométricas
79
1.21.1.2
S u s t i t u c iones t r i. g o n o m é t r i c a s
1.21.2
Integración por partes
100
1.21.3
Integración por fracciones parciales
110
1.22
Integración de algunas funciones irracionales
123
1.23
Integración de funciones hiperbólicas
125
1.24
Ej ere ic ios
129
Integrales de funciones racionales de Sen:;, Cosx
131
1.26
Ejercicos
134
1.27
Algunas reglas para aproximar
1.25
—
integrales
89
definidas
136
.1.. 27.1
Regla de los trapecios
1.27.2
Regla de los rectángulos
,136
139
1.27 . 3
Reg I a de 5.impson
140
1. 28
I n teg ra 1 es i m pro p .i. as
1.28.1
Integrales impropias de primera especie
156
1.28.2
Integrales impropias de segunda especie
185
1.28.3
Integrales impropias de tercera especie
198
1.29
Función Gama
199
1.30
Función Beta
1. 31
E j e r c i c .i. o s
.154
'
202
20 8
CAPITULO 2
APLICACIONES DE LAS
INTEGRALES
2.1
Areas
215
2.2
Coordenadas polares
228
2.2.1
Areas e n c o o r d e nadas po1a res
2.2. 2
E j e r c i. c i o s
2.3
Longitud de arca 7
2 .3.1
Pa rame t r i 2 ac i ón de a 1 g un as c ur vas
2.3.2
Diferencial de longitud de arco
2. 3.3
L o n g .i. t u d d e u n a r c o e n c o arde n a d a s polares
2.4
Area de una superficie de revolución /
253
2.5
Volúmenes de ciertos sólidos •/
259
2.5.1
Método de la sección
259
2 „5 2
2 . 5.3 ^
Só 1 i dos de revol ución 1/
M é t. o d o d e 1 a s c a p a s c i 1 i n d r i. c a s
237
244
246
2!49
251
2 521
265
266
2-6
Ejercicios
275
2.7
Centro de masa
276
2.8
Centroide de LA na región plana
279
2.9
Centro geomètrico de un arco
284
2.1(3
Arco de una superficie generada al rotar un
arco en coordenadas polares
284
2.11
Trabajo
2E¡5
2.12
Determinación de la constante de integración
288
2.13
Ejercicios
290
Respuesta a los ejercicios
293
Bibliografia
296
I N T R O D U C C
El presente
trabajo, que tiene como
los temas que corresponden
I OIM
contenido el desarrollo
al curso del cálculo integral,
de
dirijo
básicamente a estudiantes de ingeniería; comprende dos capitulas.
El primero se refiere a todo el cálculo integral
de sus
y el segundo al
aplicaciones.
Se ha preferido
hacer una exposición que ponga de
desarrollo conceptual del
teóricos,
aplicados
y
manifiesto el
cálculo integral, mostrar sus aspectos
satisfacer
además
las
exigencias
de
claridad y rigor.
En
la exposición
teoremas
o
teórica se omitió dar demostraciones
propiedades;
explicaciones
basadas en
en
figuras
para hacer comprensibles dichos
Para una mejor
una
serie
y
fueron
ejercicios
a
comprender
aclarar dudas y conceptos.
incluidas
representaciones
gráficas,
teoremas.
ilustración de los temas tratados se
de
principalmente
compensación
de algunos
resueltos
mejor
y
el
ha
propuestos
contenido del
incluido
dirigidos
texto
y
Algunos
temas
.incluirlos
son
en
de naturaleza
clase,
sino
que
optativa
deben
y no
ser
es
necesario
considerados
como
l e c t u r a t» a d i c i o n a l e s .
Con el
presente
facilite
una mayor
contribuir
interés
texto se pretende
comprensión
al d e s a r r o l l o
para
el
m e d i a n t e el cual
y transíormando
rigor
de
y
ofrecer
una guia de e s t u d i o
de
temas
los
la t é c n i c a
tratados;
del c á l c u l o
conocimiento
del
l a s i d e a s v a g a s y parti.cu.ilares se
en
productivos
conceptos.
además
y despertar
proceso
van
que
el
creativo,
retinando
:i - C A P
!
F U L O
I IM T El O Fe
1.1
PARTICION
DEL
INTERVALO
O- I O
M
CERRADO
[a,b3.
Sea a<ta ; recibe el nombre de partición de un
[a,b], toda colección
finita
de
puntos
de
intervalo
Ca,b],
cerrado
notada
por
P — C a a j x i j ... , n n } donde xaíxi^. . . .••••. >in ¡ ;<a=a y X n = b .
A
partir
de una
partición Pi,
nuevos
de
partición
añadiendo
Ca,b].
a
Una
de
La,b],
los
tal
se
puede
lomar
otra
puntos que ya están en P, o t r o s
partición
Pa. , se
denomina un
afinamiento de P y se dice que P* es más fina que P.
Ejemplo 1. Se
los
conjuntos
F'jPajPa;
son
considera
el intervalo cerrado [1,8] y, se forman
P-í.1,8} ; P»= {1, 4 ,8} ; F'3=í 1,2 ,4 ,6,8} . Observe que
particiones
de
[l,8] y que P 3 es más fina que P 2 .
k-ésimo subintervalo cerrado
[ük-uXu]
elemento de la partición.
/
a[
xcb
•
xi
•
v-zt
•
/
/
/
/
•
x*
•
ic•+• i . . .
Ejemplo de un partición de
La partición P determina n subintervalos
C Xai, x ] , [Xi,Xa]
]b
xn
[a,b].
cerrados
C x K —a. ¡i Xn ] . . . . C Xn —i j Xr> ]
y
n
subintervalos
abiertos. Al intervalo cerrado [>:k-t,>:k] se llama el
k-ésimo
cerrado de P y al intervalo abierto
subintervalo
FUNCION
( x k - i , x k ) el k-ésimo
abierto de P. Con ayuda de estos conceptos se puede
dar una definición analítica de función
1.2
subintervalo
escalonada.
ESCALONADA
Una función y=S(x),cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b], se
dice que es una
P = {xaiMi
función
xn}
de
escalonada,
si
existe
una
[a,b] tal que y=S(x) es constante en cada
subintervalo abierto de P. Es decir, para k=l,2,3
número real S*, tal que y=S(x)=Sn
Ejemplo 1.
Sea
partición
s(x)=5
si
para
-31x£3.
n existe un
xk-i<x<xk,
Una partición de [ - 3 , 3 ] es
{ - 3 , 3 } y observe que s(x)=5 si -3<x<3, luego s(x)=5 es escalonada
en [-3,3]. Sin embargo se puede tomar otra
por ejemplo, Pi={~3,-1,0,1,3]- y se
partición
de
[-3,3]
observa que s(x) es constante
en cada subintervalo abierto de P*. En efecto :
5 s i x e[-3,-l]
5 s i. x e[-l,0)
s ( x) - <
5 si x «[0,1)
5 s i x e[1.3].
El gráfico
figura
de
siguiente
la
función
s(x)-5 para -3ix£3, se observa en la
S(x) = 3
I
I
-rr - 1
J
Obsérvese
que
si
una
subintervalos
abiertos
si.ib.in terva 1 o
abierto
-i
función
de
de
P,
Px
14-f
escalonada
es
;
también
siendo
P±
es constante en .los
constante
en
cada
un afinamiento de P.
Ejemplo 2. Sea s(;•;) = [>; ] = parte entera de x.
Se recuerda que la parte entera de x, notada
por
Cx], se def ine
como el mayor entero menor o igual que x.
La Ex] se analiza de la forma siguiente
1. si x>0 entonces
2» si x<0 entonces
Cx] = 0 si 0<x<l
[xj = -1 si -llx<0
Cx3 = 1 si 11x<2
Cx] = - 2 si ~2<x<-l
Cx] - 2 si 2¿x<3
Cx] = - 3 si - 3 1 x < - 2
Cx] = 3 si 3<x<4
Cx] = n si nlx<n+l
Cx]
-n si ~n.i x < - (n-1)
Observese el gráfico de s(x)=Cx] en C~3,3] en la figura
Y
siguiente
-f i i
y asi una partición de [ - 3 , 3 ] es
que
s(x)-[x]
P=í~3,-2,-1,0,1,2,3} y se tiene
es constante en cada subinterva1o
abierto
de
P;
luego
1.3
s(x) = [x]
es
una función escalonada en [-3,3].
EJERCICIOS.
Hacer
las
graficas
y
mostrar
que la siguientes funciones son
todas escalonadas en el intervalo
1. f(x)=[2x]
si
-11x13
indicado.
2. h(x)= Cx+1]
si - 3 1 x 1 4
3. q(x) = [(x)i'"-23 si 01x125
4. 1 (x ) = [ X a ]
5. r ( x ) = [ x ]2
6. g ( x ) = ( [ x ] ) 1 / 3 si 01x12
si -11 xl 6
7. i(x ) = [->:]
si - 2 1 x 1 2
si -31x14,
1
si - l l x < 0
2
si 01x<3
4
si -51 x<-.l
8. m(x) = <
~5
1.4
si 31x15.
PROPIEDADES.
SUMA
Y PRODUCTO
;.u pon e q u e
be
DE
FUNCIONES
s( x)
y
ESCALONADAS.
t ( x ) son f u n c i o n es escalón a d as d e f i n idas
ambas en el mismo intervalo cerrado
Sean
Pi, P 3 >
cada
subintervalo
[a,b].
particiones de [a,b] tales que s(x) es constante en
abierto
de
F'i
y
t(x) es constante en cada
subintervalo abierto de
A
partir
de la forma
de s(x) y t(x) se puede definir una función
siguiente:
h ( x ) —s ( x ) +1 ( x ) s i al x 1 b „
4
escalonada
Para
mostrar
que
h(>:)
es
una función escalonada en [a,b], se
encontrará una partición P de [a,b], tal que h ( x ) es constante en
cada
subinterva1o
puntos de Px,
Esta
abierto
de
P y para ello se toman todos
los
junto con todos los puntos de Ps>.
partición, reunión de Pi y P 2 se llama afinamiento común
de
Pi y P 2 .
Puesto que tanto s(x) como t(x) son constantes en
subintervalos
abiertos del afinamiento común, también
y asi h(x) es una función escalonada en
En
forma
los
análoga
[a,b].
se hará el producto de funciones
Ejemplo. 1 Mostrar
que
escalonada en
lo es h(x)
escalonadas.
h(x)= [x/2]+[x] para 01x16 es una
función
[0,6].
Solución.
Se
sabe
que
[x/2]
y
[x] son funciones escalonadas y [x/2] se
define en el intervalo [0,6] asi:
0 si 01 x/2<l; 0.1 x<2
[x/2] = <
1 si 11x/2<2; 21x < 4
<3; 41x<6
y
sus
gráficas
se
pueden
apreciar en las figuras
Y
siguientes.
¡>i
OM
~t—?—r
Luego P x = í 0 ,2, , 4 , 6 ]•
es
una
X
partición de [0,6], para s ( x ) = [x/2]y
Pa={0,.1,2,3,4,5,6}
luego
una
es
par tición
una
partición de [0,6], para t(x) = £.X]
de
[0,6]
para
h(x) = s(x) + t(x)
e
P={0,1,2,3, 4 , 5 ,6} que es la reunión de Pa. con P s ; asi que h(>;) e
constante
en cada subintervalo abierto de P, pues
r
S!+ti=0+0=0 si x e[0,l)
Sa+t2=0+1=1 si x e[l,2)
h(>!):
s 3 + t 3 = 1 + 2 = 3 si x «[2,3)
s^+t^. = 1+3=4 si x «[3,4)
s 3 + t = = 2 + 4 = 6 si x «[4,5)
s«.+t«,=2+5=7 si x •= [ 5,6) .
luego h(x) es escalonada en
[0,6].
Su gráfico se puede apreciar en la figura
\
1.5
1
*
4
5
siguiente.
'
EJERCICIOS.
Mostrar
que las
.intervalo
indicado
siguientes
funciones
son
escalonadas
en el
1. h(x)=[x/2]+[~x] si - 2 < x < 4
2. f ( x ) = [ ( x ) 1 / a ] + [ x a ] si 01x14
3. q ( x ) = [ x ] a . [ 2 x ]
4. 1 ( x ) = [ x ] •*• ' = . [-x ] si 01x14
si 01x12
6
5. r(K)=tx]+[-x]
si - 5 1 x 1 5
6. m(x)=[x].[x/2] si - 2 1 x 1 5
7. m ( x ) = [ 2 x ]•[ x - 1 ] si —21xl 3
8. f(x)=3[x]
si 01x15
9. f (x) = Cx] + Cx+v¿j + |:-¡<3 si -21x12.
10. Sean
hacer
f(x)=[x]
la
gráfica
y
g(x)-[4x]
de
h(x)
para
todo x real, en cada caso
para -11x12 definida por la fórmula
siquiente:
a) h(x)=f(K)+g(x)
b) h(x)=f(x)+g<x/2)
d) h( x ) =f ( x ) . g ( x/2)
1
e) h ( x ) =
4
c) h(x) = f<x/3)+g(x/2 )
f ( 2x ) . g ( x ) f) h(x) = f(x 2Z ).
g) h(x)=[f(x)] a .
1.6
Sea
INTEGRAL
s(x)
DE
una
UNA
FUNCION
función
ESCALONADA
escalonada
definida
en
I
[a,b]
y
sea
P={Xc,xx,....x„} una partición de [a,b] tal que s(x) es constante
en cada
subintervalo abierta
de
P. Se designa por sk., el valor
constante que toma s(x) en el subintervalo
de manera que s ( x ) = s K si x k _ i < x < x k
, para
abierto k-ésimo de P,
k=l,2,...,n.
b
La .integral de s(x) de a a b se designa por el
símbolo
s ( x ) d:
b
n
y se define por la fórmula
siguiente
s ( x ) dx =
S s fc (;< k -x k _i)
k -1
b
es decir, que para obtener el valor de la integral
(x)dx
multiplica cada, val or* cons tante s k , por la longitud del
, se
intervalo
*
k-ésimo, formando el producto s k
(x k -xk-i) y se suman
luego todas
los productos asi obtenidos.
0 bserve s e
q ue
los val o r e s d e la f u n c i. ó n e n los ex t r e m o s d e 1 1 o s
intervalos no se toman en
cuánta,
ya
que
no
aparecen
en
el
segundo mienbro de *.
b
Si s(>;)>0 para todo >: e[a,b], la integral,
s(x)dx representa el
a
área
limitada
por
las
gráficas de x=a, x=b, s (x ) y el eje x.
En otras palabras el número que eventualmente se asigna como área
recibirá el nombre de la integral s(x) sobre [a,b] si
s(x)il3 para cada x e[a,b].
En
realidad, la integral se definió para cualquier función, bien
sea mayor o menor que cero en
Si
s(x)
es
una
función
[a,b].
cuya
gráfica se observa en la figura
siguien te:
B
• •*>
•
b
la
integral
s(x)dx, representará
a
y B, es decir, la
s ( x ) dx = A-B.
a
B
la diferencia entre la áreas A
La letra x que aparece en el símbolo
papel
esencial
en
la
s(x)dx no juego ningún
definición
de integral. Cualquier
otro
símbolo adecuado servirá exactamente igual; se usan
frecuentemente
para ello las letras t, u, v, 2, ....en vez de x;
b
es decir!
b
s (t) d t;
b
s(z)dz
s(u)du
a
... Son consideradas
todas
b
como notaciones diversas para una misma cosa.
Algúnos autores de
simultameamente
libros de cálculo tienen tendencia a suprimir
la
variable
aparente y el símbolo d y escribir
b
simplemente
la integral
a
Una
razón
depende
es,
que expresa aún con más fuerza
solamente
de
la
, que la integral
función s y del integrando
embargo en algúnos casos se consideran
[a,b]. Sin
completas.
6
Ejemplo 1. Calcular
[ x / 2 ] d;
Solución.
Se sabe
Cx/2] =<
que
[x/2], para
0
si 0<x<2
.1
si 2.1 x<4
si 41x<6
x en el intervalo [0,6], se define asi
4 -Sfl
su gráfica se puede observar en la figura siguiente:
r
2
'
1 - —
asi
í
P—•[ 0 , 2 y 4 n 6 } = { Xca j X x , Xa ? X 3 }
P
i
6
>
1
1
¡>
R —
'
f—
.
4
y[ x / 2 ] d x
0
Ss,,. ( xi« — xic — s. ) = S i ( Xa.-Xc ) + 5 a ( x»-x 4 ) + s 3 ( x 3 - x 3 ) = 0 ( 2 - 0 ) + 1 ( 4 - 2 ) + 2 ( 6 - 1 ) = 6
k=l
luego
II x/2]dx=6
0
4
Ejemplo .2 Calcular
C x ] d;
Solución.
Su gráfico se observa en la figura
siguiente;
Y
luego P :
•1,0,
• í x <4, j
4 ]
10
y
3dx
E s * ( Xk-X k _i. )=5i ( X 1 - X b ) + S 2 ( Xa-Xi )+S 3 ( X 3 - X a ) + S 4 ( X 4 - X 3 ) + S b ( X 8 - X 4 ) +
k=l
S<fa ( X 4 - X a ) = - 2 ( - 1 + 2 ) - 1 ( 0 + 1 ) + 0 ( 1 - 0 ) + 1 ( 2 - 1 ) +
2(3-2)+3(4-3)=-2-1+1+2+3=3.
Ej
Mostrar
1.
que
las
s i g u i e n t e s integrales tiene el valor
C x ] d x = 2,
.indicado.
C t+'é'Jdt = 4,
2 [ x]d;
[ - x ]d;
[t^Hdt = 5 - ( 2 ) A '= s -(3) x '' 2 i
-.1
4.
[2x]dx = 6.
5.
•6
0
[ t a ] d t = 2 ( 21- ( 18 )
( 3 )1
( 5 )i'»— ( 6 )
9
[ t * ' a ] d t = 13
9. Si. n es un e n t e r o positivo, d e m o s t r a r
que
n
n ( n-1 )
a)
[t:]dt
n(n-l)(2n~l)
[t]adx =
b)
0
0
n(n-1)(4n+l)
t(t)1/a]dt
c)
0
11
(7 )
x st
^ )
1.7
ALGUNAS PROPIEDADES
ESCALONADA.
En
esta
sección,
satisface
se
DE
LA
dan unas
INTEGRAL
DE
propiedades
UNA
FUNCION
fundamentales
la integral de una función escalonada. Todas estas son
válidas para integrales de funciones más generales. Se darán
teoremas y en cada caso se ilustrará con un
1.7.1
TEOREMA
La
integral
la
suma
(PROPIEDAD
ADITIVA).
de una suma de dos funciones escalonadas es
de
las
b
integrales;
b
(s(x)+t(x))d x
es
decir
b
s ( x) dx + t( x)dx .
que
10
10
([(>;) 1 / 2 ] + [x/2] )dx-
0
.10
[ ( x ) 1 / , a ]dx
+ C x/2]dx
0
0
Solución.
Sea s(x) = [(x) i X = ! 3 y t(x) = [x/2] entonces
S ( X )—
0 si 0< (x')J-"a<l¡
01x11
1 si 1 < ( x ) A ' a < 2 ;
11x < 4
(
^0 si 01 x<2
y
2 si 2 1 ( x ) 1 / 2 < 3 ;
3 si 3 1 ( x ) 1 / a < 4 ;
V
41x<9
91x<16,
igual
si s ( x ) y t(x) =
a
.1 Mostrar
como
ejemplo.
funciones e s c a l o n a d a s en [a,b] entonces
Ejemplo
que
1 si
21x<4
t(x)= < 2 si
41x<6
3 si
61x<8
4 si 81x<10.
V
Y
s U W [m]
SOOaCV*]
' r
i
i
I
q
i
i
|'0
8
hfvl = M
io
+ Ofc]
rr-r
8 "I 1°
1(3
a)
( s (;•;) +1 ( x ) ) d x ; Sea
P=[0,1,2, 4 , 6 „ 8, 9 ,10}={ x» , x*
x ,} una
0
10
partición del intervalo [0..Í0] entonce;
(s(x)+t(x))d:
0
7
2 s*(Xk-Xk-i) = 0(1-0)+1(2 -1)+2(4-2)+4(6-4)+5(8-6)+6(9-8) +
k=l
7 (10-9)=36.
10
s ( x ) dx ; Sea P a .={0,1, 4 , 9,10>={ Xn>, x* , . . .
b)
0
.1.0
intervalo [0,10] entonces
s ( x ) d;
0
Z s k (x» t -Xk- i )=0( 1-0)+1(4-1)+2 (9-4)+3(10-9) =16.
k=.t
13
} una partición
del
10
c)
t(x)dx; Sea P 2 = Í 0 , 2, 4, 6, 8,10 ]•=•[ x® , x x , - . , x B } una partición
del
0
10
intervalo [0,10] entonces
t( x)d:
0
2 Su ( X R — X K — JL ) =0 ( 2—0 ) +1 ( 4—2 ) +2 ( 6—4 ) +3 ( 8—6 ) +4 ( 10—8 ) =20 ; asi que
k=l
^v
10
.10
(s(x)+t(x))dx = 36 =
0
10
s ( x ) d x + t. ( x ) d x = 16 + 20,
0
Demostración
de
la
0
propiedad
aditiva.
Sea P = í x B , X i ) . . . x n } una partición de [a,b] tal que
es
constante
en
cada
subintervalo
abierto
h(x)=s(x)+t(x)
de
P;
luego
n
n
h ( x)dx = E hk(x k -xk-i)= 2 (Sk+tk)(xk-x k -i) :
k=1
k=l
b
n
n
:
Z s k. ( x k — x k — x ) + 2 t u. ( x k.—x k — is)(
x ) d x + t. ( x ) d x
k=l
k=1
a
a
1.7.2
Para
TEOREMA
todo
(PROPIEDAD
número
real
HOMOGENEA).
c y s(x) función escalonada en [a,bj se
tiene que
b
b
c . s ( x ) d x = c s. ( x ) d ;
14
Ejemplo .1 Mostrar
que
3. [ x / 2 ] d :
[x/2]dx.
Solución.
c.
i
*(*) = C */*]
i
i
»
i
<¡>
1i
I
i
:
•
1
1
'
l 2
°
I
i l
1
1
P
1
1
: tcv
«
f
1
111
i
i
•
*
&
1,
»
Sea s(x)=[x/2] y sea P={1,2,4,6} = { x « , . , x 3 } una partición de
[1,6]
6
entonces
sea
3.s(x)dx = Z s*(K k -x f c _ A )=0(2-1)+3(4-2)+6(6-4)
k=l
Pi - [1,2,4,6} = { x b , . . . x 3 }
= 18; y
una partición de [1,6] entonces
6
6
s(x )dx = 3[0(2—1)+1(4-2)+2(6-4)] = 18;
luego
3. s ( x ) d :
s ( x) dx .
Demostración
Sea
(propiedad
F:' = {Xa,, Xt, . . - x n }
constante
en
si x k _i<x<xk
si x k _ i < x < x k ,
los
homogenea)
una
intervalos
para k=l,2
partición
abiertos
n entonces
1uego
15
de
de
[a,b] tal que s(x) es
P.
c.s(x)=c.s k
Sea
s(x) = s*
b
b
n
n
c . s ( x ) d x = 2 cs k (>!k-Xi,-i )=c S s k ( x k -x k -i )=c . s(x)dx.
k=i
k=l
a
a
1.7.3 T E O R E M A
( INVARIANCI A FRENTE
Sea
función
s (x)
una
escalonada
A UNA
en
TRASLACION).
[a,b] y c un número real
cualquiera entonces
b
b+c
s (>:) d:
s(x-c)dx.
a+c
Demostración.
Sea P = íxa,x t
tal
que
s(x)
x n ) una partición del intervalo cerrado
es
constante
en
cada
La,b]
subintervalo abierto de
P; es decir s(x)=s k si xk_.i<x<xk.
Sea
t(x) = s(x-c)
si
x
e [a+c,b+c]
x k -i + c<x<x k + c, por lo tanto
partición
de
abiertos de Pi,
b+c
entonces
t(x) = s k si
F'i = {x B +c ) Xt+c í ...x n +c}
es una
[a+c,b+c] y t(x) es constante en los subintervalos
entonces
t(x)
es
una función escalonada y asi
b+c
n
n
t ( x ) d x =s(x-c)dx = E s k (x k +c-(x k -i+c))= S s k (x k -x k -i) :
k=l
k=.1
a+c
a+c
b
s( x )dx .
16
5
Ejemplo 1. Mostrar que
[x]d:
[x-23d:
C x-2]dx
i+:
Solución.
Y
Cx) - C-^J
è Cxi - L*-¿J
1 2 3
T
1 si 11x-2<2;
3< x<4
2 si 21x-2<3;
41x<5
*
3
4
S
[x-23 =<
.
Sea F-í1,2,3} una partición de [1,3] tal que s(x) es constante en
los intervalos abiertos de F', entonces
[x]dx = 1(2-1)+2(3-2)=3
y
sea P t = í 1 + 2 , 2 + 2 , 3 + 2 } = { 3 , 4 , 5 } una
partición para t(x)=[x-2] en [3,5]=[1+2,3+23
5
3
[x-23dx = 1(4-3)+2(5-4)=3
1.7.4
Sea
luego
TEOREMA (ADITIVIDAD
INTEGRACION).
s(x)
b
una
c
s ( x ) d x—
función
5
Cx 3d;
RESPECTO
escalonada
b
s ( x) dx + s ( x) d:
17
entonces
en
[x-23dx.
AL
INTERVALO
[a,b3; si a<c<b
DE
entonces
Demostrac ión.
Sea P = { x ( , , x i , . . . x q , . . . x n } una partición de [a,b] tal que s ( x ) es
constante
en
cada
subintervalo abierto de P. Sea c=Xc, entonces
b
s ( x) d;
( X
k~
q
2
k=l
X k. — x ) —
k=l
S k
n
( x k. ~ x k. — x ) •+• S sk.k.
k-q + 1
k. — X
b
s ( x ) dx +
s ( x) dx
6
Ejemplo .1 Mostrar
que
C(x)1/a]dx
[ <x)*'®3ds
0
0
Solución.
i r
» i
<1
[(:Oi/2]dx
=
t(x)1/2]dx
= 0(1 0 ) + .1. ( 4— 1 ) +2 ( 6—4 ) =7 .
0(l-0)+l(4-l)+2(9~4)=i:
ò
18
rOO^Jd;
(9-6)=6 ;
[(x)1/a]dx
entonces
0
13
0
6
9
[(x) 1/2 "Jdx +
[
C(K )*'- a 3dx - 7 + 6 - 13.
6
0
b
Hasta ahora, al utilizar el simbolo
s ( x ) d x se ha en ten d .ido, q ue
a
el
limite
inferior
Es
conveniente
a
es
extender
menor
un
que
poco
el
limite
superior
b.
los conceptos y considerar
integrales con limite inferior mayor que el limite superior; esto
se logra si se define:
b
a
a
( x ) d x = - s(x)dx si a<b, y se define
a
b
s ( x)dx = 0
a
si s(a) existe.
Estos
convenios
permiten
afirmar
que
el
teorema anterior es
válido no solo si c esta entre a y b, si no que
cualquier
ordenación
de
a,b y c. El
b
a
s ( x ) dx + s ( x ) dx + s ( x) d;
Ejemplo .2
Mostrar que
0.
tx ]d;
[ x ]dx
4
19
válido
para
teorema anterior se puede
escribir asi:
c
es
Solución,
y
su) = C*]
i—?
5
1
2
3 4
[ x ] d x = 1 ( 2 - 1 ) +2 ( 3 - 2 ) +3 ( 4 - 3 ) =1+2+3=6
1
.1
[
I x ] d x = 3 (3-4)+2 (2-3)+1(1-2) = - 6 ; y asi
4
4
[ x ] dx
1.7.5
Sea
l x ] d x = 6.
TEOREMA (DILATACION
INTEGRACION).
s(x)
un
INTERVALO
DE
función escalonada en [a,ta] y k un número real £ 0
kb
entonces
DEL
b
S( J )dx = k
k
ka
s ( x) dx
Demostración.
i)
k>0. Sea P=i y,a
es
constante
en
una partición de [a,b] tal que s(x)
cada
subintervalo
abierto de P.
Supóngase que s(x)=s* si x k _i<x<x k ..
Sea
t(x) = s(x/k)
si ka<x<kb entonces t(x)=s k si
20
xs(kxk_t,kxk)5
por lo tanto F'1={k;-!BI¡,kx1, . . . 'kx n J es una partición
y
t(x)
es
constante
en
de
[ka,kb]
cada subintervalo abierto de P x y asi
t(x) es escalonada y
kb
t ( x )dx
ka
kb
b
n
n
x
S( - )dx = E sk ( k x r - k x i< _ i. ) = k . S s k ( x k - x k _ 1 ) =sk (
.x)dx .
k
k=l
k=i
ka
a
Si k<0 la demostración se hace en forma análoga.
10
5
Ejemplo .1 Mostrar que
[ x ] d x = '4. [ x / 2 ] d ;
Solución.
S(>0 - [X]
ra
1 2 3 4 5
[x]dx =
f
10
1(2-1)+2(3-2)+3(4-3)+4(5-4)=10
1
10
[ x / 2 ] d x = 1(4-2)+2(6-4)+3 (8-6)+4 (1.0-8) =20 , entonces
10
Cxjdx
C x/2]d¡
10.
21
1.7.6
Sean
TEOREMA
s(x)
y
(COMPARACION).
t. (x)
dos funciones escalonadas en [a,b] tales que
s(x)lt(x) para todo x e[a¡,b] entonces
b
b
s( x )d:
t(x)dx
a
Demostración
(ejercicio).
1 si 01 x <2
Ejemplo .1
2 si 01x<2
Sea s(x) = 2 si 2<x<3 ; t.(x)
4 si 21x<3
3 si 31x<4
5 si 31x<4
Solución.
S(x)
z T, 4
->X
i
s(x)d x = 1(2-0)+2(3-2)+3(4-3)=2+2+3=7
i
i
; y
0
4
t. ( x ) d x = 2 (2-0) +4 (3-2) +5 (4-3) =4+4+5=13
4
22
; luego
5( x) dx « 7 i
t(x)dx = 13,
0
0
1.8
EJERCICIOS.
Verificar las siguientes igualdades :
1.
( 12 x ] + [ x / 2 ] ) d ; [ 2 x ] d x + [ x / 2 3 d x
3.[x3d;
C x3dx .
C 2x 3 dx —
[2(x-2)]dx
0
0
4.
C-x3dx
[ - x 3 d x + [-x3dx +
[-x 3 dx .
0
i. 1
[ (x)*' a ]dx
5.
Í0
C (x-2)*' a ]ds
0
[(:<) 1/2 ]dx +
0
6
12
L x 3dx =
[ x 3dx +
[ x 3dx
23
[(x) l / =]d;
?0
6/3
7.
[2x/3]dx =
12/3
[2x]dx =
Cx]dx .
O / "T
4/3
12
8.
[2x+4]dx
14
>
1=
p
[x+2]dx = '4. C x ]dx .
4
8
9. Verificar
10
las siguientes propiedades con un
b
c-a
a) .
s ( c-x) d x
b+c
s ( x) dx.
a
ejemplo,
b
b) s ( x) dx
c-b
s(x+c)d x .
a+c
kb
O .
s ( x) dx = k s ( kx) d;
ka
a
b
d)
1
( b~-a )s(a+(b-a)x)d x
s ( x) dx =
0
1.9
INTEGRALES
La integral
DE
FUNCIONES
s(x)dx,
MAS
GENERALES.
se ha definido para una función
En este apartado se dará una definición
escalonada
aplicable a funciones más
generales.
La
definición
se
construirá
de
tal
manera
que
la integral
resultante goce de todas las propiedades dadas para las funciones
24
esca1onadas.
La
por
idea es simplemente asi: se empieza aproximando por defecto y
exceso, la función
se sugiere en la figura
f(x) mediante
funciones escalonadas,
siguiente
a*
f
como
T^Cx)
1.
Vx)
b
a
Para
ello
se
supone
que
se
elige
una
función
arbitraria s(x), cuya gráfica esta por debajo
función
escalonada
escalonada
de la y=f(x) y una
arbitraria t(x) cuya gráfica esta por encima
de y=f(x).
b
Si ahora se considera el conjunto de todos los números
t (x) d x
obtenidos
posibles, se
b
eligiendo
tiene
en
s(x)
virtud
del
y
s ( x)dx y
t(x) de todas las maneras
teorema
de comparación
que
b
s ( x) d xi t ( x) d x .
a
Si
la
integral
de
f(x)
ha
25
cumplir
también
el
teorema
comparación, a de ser un
número
comprendido
entre
s ( x)d¡
a
t(x)dx
Si
p¿ira
cada par de funciones s(x) y t(x) de aproximación
existe un número único con esta propiedad
parece lógico
tomar
este número como definición de la integral de y=f(x).
Naturalmente hay dificultades, por ejemplo la función f(x)=l/x
>;4=0 ;
y
f(0)=0
intervalo
que
funciones
definida
contenga
escalonadas;
para
el
pues
todo
número
origen,
cerca
arbitrariamente grandes o dicho de
se
si
real x» En ningún
puede
aproximar
por
al origen f(x) toma valores
otro
modo f(x) no es acotada
en ningún intervalo que contenga al origen.
Por
ello,
restringirse
al
tratar
de
definir
la
integral,
es
preciso
a las funciones que son acotadas en [a,b]; es decir
aquellas funciones f(x) para las cuales existe un número rea1
M>0
tal que -M¿f(x)lM para cada x •= [ a,b]„
Geométricamente
las graficas de tales funciones, están
entre las araficas de dos funciones
toman los valores -M y M
situadas
escalonadas s(x) y t(x)
que
respectivamente.
vi
0~ /
1/
/
/
l (*:
1
k
\
. Kr
Definición.
Se supone f(x) acotada en C a, b ] y f:[a,b]
> R.
Sea P={xa», Xi, . . . , x n } una partición de [a,b] y sea
im. = i. n f £ f ( x ) / x c [ x .i-i,xi] } y M .i =Su p £ f ( x ) / x e [ x i. - * , x ¿ ] } .
Se
define
la
suma
superior
de
y=f(x)
para
la partición
P;
notada por U(f,P) como:
U(f,P) = 2 M R ( X R - X R _ X ) :
k=l
t(x )dx 5 t(x)¿f(x); siendo
(Xr-Xr-a) la
longitud del k-ésimo subintervalo abierto de P.
Se
define la suma inferior de y=f(x) para la partición P, notada
b
n
por L ( f , P) como L(f,P)= 2 m k ( x k - x k - i ) = s(x)dx;
k=l
s(x)¿f(x).
El hecho de que f(x) este acotada en [a,b] garantiza
la
existencia de M k y m*.-
Ejemplo .1 f(x)— x 0<x<6. Sean Px=í0,2,4,6};
P»»{0,1»2,3,4,5,6}
Pr> = £ Xia , x x ü - . - j x„ } particiones del intervalo II 0,6]. Hallar
i)
a) U(f,Px)
b) U(f,P,-»)
c) U(f,P„).
ii)
a) L(f,Px)
b) L ( f , P a )
c) L ( f , P n ) .
En efecto:
6
P A=£ 0,2,4,6 }=£ x GO , x x , xa , x3 }, U ( f , P x ) = 2. 2 M
k=l
t( x)ds
0
2 ( M x + M 2 + M 3 ) = 2(2+4+6)=24= área subrayada en la figura
27
siguiente,
-f(x) = v
tU) y
h>
i /
HJ
•I
Mi
1
U(f,P a )S Pa— {0,1,2,3,4,5,6} = { x» , x 4 , . . . x*> . U ( f , P a ) = 2 M R ( x*-x*
k=l
6
SMk=M1+Ms,+lvl3+lvl^+M=>+tvlí,=l+2+3+4+5+6=22=área subrayada en la figura
k=l
siguiente
t ( x)dx
0
/
/
-fíx) = X
ib) /
V
V
Z,
3
4
5
fe
n
U(f,P,,) = 21 M k ( x k - x k - i ) .
k=l
En
general si se tiene una partición P=íx 0 ,xi
se quiere que los .intervalos abiertos de
P
tengan
x n } de [a,b] y
todos
longitud; se toma la longitud de cada subintervalo asi:
y asi se halla n subintervalos de igual
b--a
6-0
6
n
n
n
1 on g .i tud , es decir, ù x k = x * - x k .
28
igual
(b~a)/n,
)=
n
6
6 n
para k=l,2 ,3, . . . , n ; luego U ( f , P n ) = 2 M k . - =
2 f (>;k)
k=l
n
n k=l
y se
mirará cuanto vale f(x*) asi:
X» = 0 = a;
x i = ÓXx = 6/n;
2Ú*1 =
Xa =
ri
2.6/n = 12/n;
i
Xk-1 = (k-l)ÓXi =
(6/n).(k-1);
Xk = kóx k = 6k/n;
Xr> ~ nóxi = n6/n = 6;
luego
n
n
n
U(f,P n ) = 6/n. 2 f ( x k ) = 6/n. 2 f(6k/n) = 6/n. 2 6k/n =
k=i
k=l
k=l
'36
n
36
n (n+1)
— . 2 k = —
.
n12
k= l
n(n+l)
= 18.
2
n
Asi se tiene una sucesión
2
n
de áreas decreciente y
acotada interiormente,
luego converge;
es
decir
Tn ={Jx.Ta,...,T„...}
y asi
se
lim T„ - Inf{Tr,3= lim
18.n(n+l)/n a = 18. A este valor
n—>(»
n—>®
el
la
18.n(n+1)/n a ,...} = { 1 8 . n ( n + 1 ) / n 2 }
= {36,27
llamará
más
adelante
la integral superior de f(x)=x en
[0,6] y se notará por í(f)
(í(f)=18).
i i ) P x — í 0 , 2 , 4 , 6 J ='[
, X3 } .
L(f,P* )=
2
mk. (
X K - X
k
X ca , X
- 1
k= 1
x, Xa
)= 2. 2 m* = 2. (m 1 +m a ! +m3) =2. (0+2+4) =12=área
k=l
6
subrayada en la figura
siguiente
s(x)dx.
38
4
f {M %
--
6
6
L(f,P 3 )= E m k ( x k - x k - 1 ) = E m K =0+1+2+3+4+5=15=
k=l
k=l
subrayada en la figura
s ( x ) d x = área
0
siguiente,
Y
y
;
5ód
1
/
X
M
Ji
n
L ( f , P r , )= E
f;
h
.—f.
i
IÍ, y, v-j yc
n
m k ( x k •ük-i)=(6/n) E m k
k.=l
•s
k=1
n
= (6/n) E f ( x k - i )
k=l
n
n
n
(6/n) E f (6.(k-1)/n) = (6/n) E 6(k-l)/n = (36/n=) E k-1
k-1
k=l
k=l
n
n-1
2
(36/rV ) E k-1 = (36/n ) E k =
k=2
k=l
2
36
_
n»
n(n-l)
n(n-l)
= 18.
Asi
n-
se; fx.iede formar una suseción creciente de áreas, acotada, luego es
convergente y si Ísr,}-={sa,s3
s,-J = [9,12,.•.,18.n(n-l)/n=,....}
n(n-l)
entonces
A
éste
lim
n->®
valor
= Supísr,}= lim .1.8.
n->®
se
1.1 amará
= .18.
na
más adelante la integral inferior de
30
f(>:)=* en [0,6] y se notará por I(f)
1.10
Sea
INTEGRAL
f(x)
t(x)
DE
una
UNA
(I(f)=18)
FUNCION
ACOTADA.
función definida y acotada en [a,b]. Y sean
funciones
s(x),
escalonadas arbitrarias definidas en [a,b] tales
que s(x)£f(x)£ t(x) para cada x •= [ a , b ] .
Si existe un núnero I y solo uno, tal que
b
b
mK (
k
" K—
X) =
s ( x) d x £ I £ t(X)dx
k=l
a
par
de
escalonadas
i
s( x )£f ( x )i t ( x )
para
la
f
b
de
n
E M
k=l
K ( X
K
~ X I < ~ I )
Para cada
a
funciones
integral
=
s(x),
cada x e [a,b];
desde
a
t(x)
este?
que
verifiquen
que
número I se denomina
hasta b y se indica por el
símbolo
b
f( x ) dx ó
a
Cuando
a
I
función
existe
dice
que
f(x) es integrable en [a,b]. La
f se llama .integrando, los números a y b, los limites de
integración
INTEGRAL
se
y
el
SUPERIOR
intervalo
E
Supóngase
que
f(x)
funciones
escalonadas
x €[a,b].
En
[a,b] el intervalo de
INTEGRAL
es
acotada
que
integración.
INFERIOR.
en
satisfacen
[a,b] y que s(x), t(x) son
s(x)£f(x)ít(x) para cada
este caso se dice que s es inferior a f y que t. es
superior a f.
31
• (x ) d )•: / síf
3 y T == C
t(x)dx / fit }, es decir
a
S es
el conjunto de todos los números
s(x)dx obtenidos al
tomar
a
como s(x)
todas
las funciones escalonadas inferiores a f y T es
b
el conjunto de todos lo números
t(x)dx obtenidas al tomar como
l(x) todas las funciones escalonadas superiores a f.
S
y
T,
son conjuntos
acotada,
asi
integral
el
no vacíos de números reales, ya que f es
SupíS}
superior
de
y
f,
el
InfÍT}
por
el
existen
Inf[T}
y se define
y se representa
la
por
b
I( f) ;
es decir,
Inf [T} = I ( f ) = Inf •[t(x)dx / f £ t }
y la integral
a
inferior se define por SupíS} = I(f)= SupC
TEOREMA.
Toda función
inferior
( I (f) )
y
acotada
tiene
f
una
s(x ) d x / sif }
en [a,b], tiene una
integral
superior
b
satisface las desigualdedas
integral
(í( f))
b
s(x)dx < I(f) i I(f) 1
a
para todas las funcines escalonadas s y t tales que
32
t(x)dx
a
que
s(x)áf(x)¿t(x) para cada x e[a,b].
La
función
f(x)
es
integrable
en
[a,b]
integrales superior e inferior son iguales
si
y
y
en
solo
cuyo
si sus
caso
se
tiene que
b
f o
í(f) =
I(f).
Demostración .
b
Sea S = í
s (x) dx / s<f
} ;
T = i
a
t ( x ) d x / f<t }.
a
b
Sea
sabe
que
s ( x ) d;
t(x)dx
si
sifit, de modo que
todo
número de S es menor que cualquier número de T.
También
se
puede afirmar que S tiene extremo superior y T tiene
extremo inferior que satisfacen
b
las desigualdades
b
s(x)dx
í
SupíS} ¿ InfíT} 1
a
t(x)dx para todas las s, t. que
a
satisfacen
slfit.
Esto
demuestra
que tanto el SupíS}, como el
b
Inf(T)
satisfecen
b
s(x)dx ¿ SupíS} 1
t ( x) dx y
a
33
s(x)dx 1 Inf {T} .i
t( )dx
para cada par de
escalonadas s,t que satisfacen
funciones
sifit.
Por lo tanto f es integrable en [a,b] si y solo si. SupíS}
b
InfíT} y en cuyo caso se tiene que
f = SupCS} = In f{T}.
a
Ejemplo .1 Sea f(x)=x=
0<x<4.
Hallar
4
a) I(f)
b) I(f)
!ad>:.
c) el valor de
0
Solución.
Sea
la
P = { x B , X i , . . x „ } una partición del intervalo [0,4] y se
longitud
de
para k=l,2,...,n
cada subintervalo igual, es decir,
asi:
x» = 0;
Xi = ÓXi = 4/n;
x= = 2(1x2 = 2.4/n = 8/n;
x k -i = (k-l)ÓXk-i =
(4/n).(k-1);
ük = kùx* = k.4/n:
x n = núx'r, = n. 4/n = 4.
n
4 n
4 n
luego L(f,P)= E m k ( x ^ - x ^ - i ) = - E m* = - E f ( x k - i )
k=1
n k=l
n k=l
34
tomará
óxk=(4-0)/n,
4
-
n
4
2 f((4/n).(k-1))= -
n k=l
64
n
2 ((k-1).(4/n)) a =
64
n3
n k=l
n
n 3 k=2
n
2
64 n-1
64
n3 k=l
n3
(k-l) a '=
k=l
(n-1) (n ) (2n-.t)
6
64
— . —(n-1)n(2n-l)
:
y asi la sucesión
6
n3
[sr,} = í 64
—
. —n(n-l)(2n-l)
}
6
n3
se puede demostrar que es creciente y acotada superiormente
64
n (n-.l) (2n-l)
es convergente y lim
—
.
=
n — > a> 6
n3
n
b) U(f,P) = 2 M k ( x h - x k - i ) =
k=1
4
n 16
64
n
2 k52 =
2 — k5* = —
2
3
n k=l n
n
k=l
64.2
= Sup{sn) =
I(f).
3
4 n
4 n
- 2 f(x*)= - 2 f(4k/n) =
n k=l
n k=l
64
n(n+l)(2n+l)
—
.
„ Se puede ver que
6
n3
64
n (n + .1.) ( 2n +1)
—
„
} es una suceción decreciente y
o
n3
[tn> = •[
acotada inferiormente,
lim
luego
luego
Ctr>} es corvergente y
b4
n(n+1)(2n+l)
64.2
—
.
=
= Inf{t„} = I(f); luego I(f) = I(f)
n3
|->® 6
y como f ( x )=xa!
4
xa d x =
[0,4] y
0
6
01x14 es acotada, entonces f(x) es integrable en
64
64
—
. 2 = — = I(f) = I(f)
6
3
Ejemplo 2. Demostrar que f(x)=x es integrable en [ - 1 , 1 ] y hallar
su valor.
Como;
f(x)
es
acotada
en
[-1,1];
35
se
verá
que
I(f)=I(f) -
1
;dx . En ef ec: t.o s Sea P=í x
«}
una parti.ci.ón de í-1,1]
"I
l-(-l)
tal que x k ~x k _i. =
n
2
= _ ; para k=l,2,3,....,n.
n
Ahora
>¡<a = ~1 j¡
>'x = -1+áx* = -1 + (2/n ) ;
Xk-i = -1+(k-1)óx K = -l+(k-l).(2/n);
Kk = -l + kúxk = - 1 + k . (2/n ) ;
n
x„ = -1+nóx = —1+n.(2/n) = 1; y asi L(f,P) = E m^íx^-xk-i) k=i
2 n
2 n
2 n
- 2 m k - — E f(!<k-i) = _ E f (~i+(k-l) . (2/n) ) =
n k=.l
n k-1
n k=l
2 n
n
4
n
32
- E (~l+(2/n) . (k-1) ) = -2+ (4/n ) E k-1 = - 2 + —
E k-1 ==
n k-1
k=l
n5» k=2
4
n-1
4
-2 + —
E k = -2 + —
n 2 k=l
n3
(n)(n-1)
2
= -2 + —
. n(n-l). Y asi
n=
.
2
2n(n-.l)
ís„} = [-2+
} se puede ver que es creciente y acotada
n22
2n(n-1)
superiormente,
luego ís n > converge y lim - 2 +
n - > oo
= 0 - Supís,-,}
n2*
= I (f) .
Ahora U(f,P) =
n
E Mk(xk-xk-t) =
k=l
2 n
- E f(—1+(2k/n)) =
n k = .1
2
n
E M* =
n k=.l
2 n
- E f(xk) =
n k=l
2 n
4
n
- E ( - 1 + ( 2 k/n)) = - 2 +
E k =
n k=1
n | < = .1.
36
4
-2 +
2n ( n+1 )
. (n)(n+l) = - 2 +
£.. n ^
y se puede verificar
que
n-*-
2n(n + 1)
ítn) = Í-2+
} es
decreciente
y
acotada
inferiormente,
na
2n(n+1)
luego converge y lim t 0 = lim ~2 +
n - > o»
n -• > a)
= 0 = I(f)=I(f),
luego
n38
.1
I (f ) = I ( f ) = 0
;d¡
Ejemplo .3 Demostrar que la función f (x) = (2x a -8)
- l < x < 3 es
integrable en [ - 1 , 3 ] y hallar su valor.
En efecto:3-(-1)=4; ó x k = 4/n y sea P=í x«a, x x , . . . , x n } una
partición
de [-1,3]. Ahora se tiene :
x® = ~lj
Xi = -l+ÜXk = -I-i-(4/n) =
(4/n)-1;
x 2 = -l+2ÓXk = - 1 + 2 ( 4 / n ) =
(8/n)—1;
x* = -l+3Óxw = - 1 + 3 ( 4 / n ) =
«
(12/n)-1;
= -l+(k-l.)úx k -i = - l + ( k - l ) . (4/n) ;
x k = — i+koxi< = - 1 + k (4/n ) = - 1 + 4 ( k/n ) ;
Un = -1+nQXk = —1+n(4/n) = 3 ;
y asi
n
4 n
4 n
a) L.(f , P ) = 2 m k ( x k ~ x k _ i ) = _ E m* = - S f ( x k - x ) =
k=l
n k=l
n k=l
4 n
4(k-1)
_ E (2[
— 1 ]a - 8 ) =
n k=1
n
4 n
16
8
- E 2 ( — (k~l)*~ n k=l
n35
n
4 n
4(k-1)
- S f(
-1):
n k=l
n
(k-1)+1)-8
4 n
- S C
n k=l
128
32
16
—
( k ~ l ) —
n2
n
(k-1)-6]
n
64 n
___24 n
SI
S (k-JL)a - __ 2 (k-1) - __
k=1
n® k-1
n
k=l
n3
128
n
64 n
Z(k-1)= - - — E (k-1) k=2
n 2 k=2
n3
128 n-1
E k.a
ri* k=l
24 n
—
El
n
k=l
64 n-1
128
E k - 24 =
na k—1
n-
n(n+l)(2n+l)
64
.
n(n-l)
.
-24
6
40
Sn, asi que Supis,-,} = lim
s n = - — = 1(f).
n—> ai
3
b) U ( f , F:' ) = E M k ( x k - x k - i )
k=l
4 n
- E f[(4k/n)~l] =
n k=l
4
16k2
n
4
n
32 k a
4
n
,1.6k
na
32.4
n(n+l)(2n+l)
4.16
n3
6
na
lim tr, =
n->œ
16k
6)
n
4
n
E 6 =
n k=l
n k=l
n k=l
f (!•:*) =
4 n
_ E 2 C ( 4k / n ) — 1 3=s—8
n k=1
8k
n 32 k38
4
— + 1)—8 = _ E (
n
n k = l rv
n12
n k=1
4
n
E Mi.
n k=l
n
n(n+l)
2
128
n(n+1)(2n+l)
lim
»
n —>® 6
n3
38
24 = t n
64
lim —
n ~a> 2
; 1 ueqc
n(n+1)
n-
lim
24
n -oo
128.2
'n
entonces
-40
40
—
; asi que Inf{t„} = lim t„ = - — = I(f)
n - > <o
3
3
hj
24
=
40
f ( x) dx = - _
I(f)=I(f)
R
Ejemplo .4 Demostrar que
1
X
6 Q
f(x) = i
no es
integrable
0 x el
en
[1,2].
En
efecto: f(x) es acotada y sea P={ Xa>, x ± , . . . x„ } una
partición de [1,2].
n
n
L(f,P) = 2 mKtXk-Xk-i) = 2 0 ( x k - x k - t ) = 0 y U(f,P) =
k=l.
k=l
n
n
2 M k ( x k - x k _ i ) = 2 l ( x k - x k _ i ) = xr< — xea - 2-1 = 1, luego
k=l
k=1
SupCL(f,P)} ^ Inf[ü(f,P)} y asi f no es
integrable.
En
que
este
ejemplo
se
puede
observar
acotadas en [a,b] no siempre son
1.11
todas
las funciones
integrables.
EJERCICIOS.
I. Demostrar
que
las siguientes funciones son integrables en el
intervalo dado, calculando
1. f(x) = x+3
3. h(x) = x»-l
-21x£3.
-51x17.
I(f),
I(f).
2. g(x) = 2 x a - l
-21x15.
4. f(x) = 2x+4
01x14.
5. f(x) = x a + x + l - 2 1 x 1 3 .
Una vez llegado aqui,
se presentan dos inquietudes
1. Que funciones acotadas son integrables ?.
fundamentales
2. Supuesto que una función es integrable; como se calcula
la
integral ?.
En
la
primera pregunta, se limitará a dar respuestas
que solo requieren
parciales
ideas elementales; por ejemplo se mostrará
que
todas
las
funciones monótonas acotadas y continuas definidas en
[a,b]
son
integrables;
generales
de
propiedades
la
integral
nos ayudan
integral de funciones
El
numeral
mostrará,
1.12
2.
Se
como
luego
y
a
se
hace
ampliar
desarrallará
INTEGRABILIDAD
es
ver
muchos
las propiedades
en
que forma esas
conocimientos
en la
específicas.
calcular
T E O R E M A . Si f(x)
se desarrollarán
DE
más
adelante;
integrales
para
FUNCIONES
monotona
entonces f es integrable en
en
en
diversas
MONOTONAS
un
el cual
se
funciones.
ACOTADAS.
intervalo cerrado
[a,b];
[a,b].
demostración.
Se
demostrará
el
teorema
para
funciones
razonamiento es análogo para funciones
Sean
I(f),
I(f)
sus
integrales
crecientes;
el
decrecientes.
superior
e
inferior
respectivamente; se demostrará que í(f) = I(f).
Sea
n
un
entero
positivo
y
se
escalonadas s n ( x ) y t 0 ( x ) del modo
Sea
construyen
dos
funciones
siguiente:
P =•[ Xa, Xa., . . . . , x n > una partición de [a,b] en n subintervalos
iguales, esto
es
subintervalos
(b-a)/n para cada valor de k.
40
[xk-i,xk]
tales
que
Xk-Xk-1=
Se define ahora s n (x) y t„ ( x ) por la formulas
s n (x)=f(x k -i);
El
los
puntos
mantengan
Con
d e división,
xk_t<x<xk.
se definen s n y t n de modo que se
las relaciones s n ( x ) i f (x)it n (x) en todo
esta
D
tr, ( x ) = f ( x k ) si
siguientes:
elección
d e funciones
escalonadas
[a,b].
s e tiene,
ta
t n (x ) d x -
ft
sn(x)dx = Z hk(xk-xk-i)- Z
k=l
k=l
mk(xk-xk-i)
=
n
n
b-a
n
2 f ( x k ) ( x k - x k ~ i ) ~ Z f ( x k - ! ) ( x k - x k _ i ) = Z [ f ( x k ) - f ( x k - i ) ] ( )=
k=l
k=l
k=l
n
b-a
ta~a
c
C f(x n )-f(X»)]=
[f(b)-f(a)] = n
n
n
donde c=(b-a)[f(b)-f(a) ] ,
b
luego
t„ ( x ) d x
5
n
( X )d X =
n
a
a
Las integrales superior e inferior de f satisfacen
las
desigualdades siguientes :
b
tata
Sn
i I(f) <
a
t r*» y
a
ta
Sn
¿ I(f) <
a
a
Si se multiplica por -.1 la primera desigualdad
ta
se obtiene
b
I(f)
>
tn
que sumada con la segunda
se tiene
41
desigualdad
b
b
b
t„ 1 I(f) - I(f) <
a
y asi
a
a
Kf)-J(f)
| 1
sn
= —
n
para todo n£l, y de aquí se
a
concluye
que
I(f) = I (í )
T E O R E M A . Sea
f
con
.de
execpción
intearable en
En
y
acotada
un
asi.
en
número
f
es
[a,b]
finito
integrable
y
continua
en
[a,b].
en
[a,b]
de puntos, entonces f es
[a.b].
particular si
f
es
continua
en
[a,b], f es integrable en
Ea,b].
Demostración,
El
teorema
(ejercicio).
anterior suministra
funciones que son
buena información a cerca de la
integrables.
Ejemplo .1 f(x)=l/x
para -11x11; no es continua; no es acotada
y tampoco es .integrable.
Ejemplo .2 f(x)=[x]
-11x12;
es
acotada
en
[-1,2];
no
es
continua en un número finito de puntos y es integrable en [ - 1 , 2 ] .
'l si x «O
Ejemplo .3 f(x) = <
-lix!2
; f es acotada en [ - 1 , 2 ] ;
0 si. x«I
no
es
continua
en
un
número
infinito
de
puntos
y
no
es
integrable.
Ejemplo .5
f(x)=x2-8
para
- 1 1 x 1 3 ; f es acotada, es continua,
es monnotona y es integrable en [ - 1 , 3 ] .
42
1.13 A L G U N A S P R O P I E D A D E S F U N D A M E N T A L E S
I N T E G R A L E S DE F U N C I O N E S M O N O T O N A S
1.13.1 Si
entonces
f (x)
v
g ( x)
f(x)+g(x)
es
son
integrable
b
b
[f(x)+g(x)]d:
funciones
en
DE
LAS
ACOTADAS.
integrables
en
Ca,b3 y además se
[a,b]
tiene:
b
f(x)dx
+
g ( x) dx .
Demostración
Sea I(f )
f ( x)dx 5
I (g )
g(x)dx,
a
integrables;
pues f y g son
a
se
demostrará
que
I(f+g) = I(f+g) = I(f) + I(g).
3ean s A ( x ) , s » ( x ) funciones escalonadas cualesquiera inferiores a
f (x) y g(x).
Como f y g son integrables se? tiene que
b
I (f)=Sup{
b
sa. ( x ) dx / sj. 1 f }
y
I (g ) =Sup { s 3 ( x ) d x
También se tiene que I (f) +1(g)=Sup{
Si / Si i f } +
a
b
Sup-Í
g ]• = Supí
a
b
Si +
=2 / s.t i f, Saig
a
Pero como s^lf y s 2 ¿ g entonces s = s i + s 2 1 f+g y así
43
}
/ s 2 íg }
s (x ) d;
s x ( x ) d x + Sa( x )dx 1 I(f+g).
a
F'or lo tanto el
número
a
ta
I(f+g) es una cota superior para el Supí
sx( x) dx +
sa ( x) dx } .
a
Esta cota superior no puede ser menor que el extremo superior del
conjunto, de manera que I(f)+I(g) £ I(f+g).
En forma análoga, si se hace uso de las relaciones
b
b
I (f ) = I n f £ tx / f<tx
}; I(g) = Inf £
ta / g £ t 2
} 5 donde tx, t.:
a
representan
funciones escalonadas arbitrarias superiores a f y g
respecitvamente„
Como
se obtiene que I(f+g)£I(f) + I(g ) .
I(f+g)£I(f) +1(g)£
I(f+g)
y
I(f+g)£ I(f+g)
se conc1uye que
I ( f+g)=1(f+g) = I(f) + I(g).
Ejemplo .1 Sea f(x)=x a ; g(x)=x;
Se
por
sabe
la
que
0£x£4.
f(x) y g(x) son integrables en el intervalo
propiedad
1.13.1
se
tiene
x2dx
0
0
1.13.2
Si
f(x)+g(x) = x a + x
que
(x a +x)dx
integrable en [0,4] y además
f(x) es integrable en [a,b]
y
c
entonces cf(x) es integrable y además se tiene
44
[0,4];
+
es
xdx
0
es
una
constante
b
cf(x)dx = c
f(x )dx
Demostración.
Si c=0 (trivial). Se supone que c>0.
Se
que toda
observa
forma
h=cs
cualquier
siendo
siendo
función escalonada h inferior a cf es de la
s
una
función
escalonada
inferior
a f y
función escalonada q superior a cf es de la forma q=ct
t
una
función
escalonada
b
I(cf)= Supí
a
f.
Asi
que
b
h / hicf
s / sif
Supí c
a
a
b
b
I(cf)= Infi
superior
q / cf¿q
}
Infi c
}
t / fit }
el (f )
c I ( f ) , 1uego
I(cf)=I(cf)=cI(f).
Sea
c<0;
siendo
t
y
h
una
escalonada
q
función
función
superior
escalonada
escalonada
a
cf
inferior a cf es decir
superior
es de la forma q=cs siendo
función escalonada inferior a f. Asi que
b
I (cf)=Sup{
b
h / hicf
c I n f •[ t /fit
a f y toda
} = Supí c, t / fit.
el (f ) .
45
h=ct
función
s una
En forma análoga
I(cf)=cl(f). Asi que
Ejemplo .1 Sea f (x)=x=
Sea
í(cf)=1(cf)=cI(f).
0<x<4.
sabe que f(x) es integrable entonces por la propiedad
1.13,
4x= es integrable y además
4
4
4x 2 dx = 4
x2dx.
0
1.13.3 Se supone que a<b<c y que las dos
b
integrales
c
f
f ,
a
existen, entonces existe
y se tiene que
f
b
c
b
f
a
+
a
b
Demostración .
Se desicina con
I(f), í(g) las integrales inferior y superior de f
b
en [a,c]; se mostrará que I(f)=í(f)=
f
a
Si
s
+
f .
b
es una función escalonada cualquiera inferior a f en
se ti en e
c
c
b
s
c
+
s.
b
46
[a,c]
Reciprocamente,
en
h
si
h,q son funciones escalonadas inferiores a f
[a,b], y Cb,cll respectivamente,
la función s que coincide con
en [a, bII y con q en [b,c] es una función escalonada inferior a
f en [a,c] para la que
c
b
c
h
Supí
+
c
q
,
por lo tanto
h /h < f } + Supí
I(f)=Supí
q /q<f
}
f
a
+
f .
a
Análogamente, se demuestra que
Nota
s / si f
I(f):
f
f .
+
: La demostración es parecida para cualquier
otra
disposición de los puntos a,b,c.
8
*
Ejemplo .1
ídx =
0
1.13.4
Si
;dx +
0
xdx
1
=
0
f (x ) es integrable en
se tiene que
b+c
b
f(x)d;< =
f(x-c) dx .
a+c
Demostración.
47
*
x dx
XdX
8
[a,b], para cada número real c
Sea
g(x)
la
función
definida en el intervalo Ca+c,b+c] por la
ecuación g ( x) = f(x-c ) .
Se
designa
g(x)
en
por
el
I(g),I(g) las integrales inferior y superior de
intervalo
[a+c,fa+c] y se demostrará que
I(g)=I(g)=
b
f (x ) d x .
Sea s cualquier función escalonada
inferior a g(x) en
Entonces
en
la
h(x)=s(x+c)
función
es
una
h
definida
función
[a,b]
escalonada
por
la
[a+c¡,b+c3.
ecuación
inferior a f en
[a,b].
Además toda función escalonada h inferior a f en [a^b] tiene esta
forma para una cierta s inferior a g»
También por la propiedad de
traslación
para
las
funciones escalonadas se tiene
b+c
b
b
h ( x) d;
s ( x ) d x - s(x+c)d x
a+c
a
a
Por consiguiente se tienes que
b+c
I(g)= Supí
s / säg }
jupl
f ( x) d;
h /hif }
a
a+c
En forma analoga
se demuestra que
I(g):
f ( x) d;
a
48
integrales de
Ejemplo .1
v HU%/
M
(x+4 ) dx
0
4
6
(x2-x+l)d:
Ejemplo .2
((x+2)=-(x+2)+l)d:
0
1.13.5
Si
f(x) es integrable en [a,b] entonces para cada número
r e a .1 k ^.Q s e t i e n e .
kb
f(x)dx
f( x/k) dx .
k
ka
Demostrac ión
Se
supone
k>0
y
!
define
g
en el intervalo
[ k a s k b ] por la
ec u ac .i. ón g ( x ) = f ( x / k )
Se
designan por I(g), I(g) las integrales superior e inferior de
g en [ka,kb] y se demostrará que
b
I (g ) = I ( g ) = k
f(x)dx
a
Sea
s
Entonces
cualquier
la
función
función
h
h(;:)=s(kx) es una función
escalonada
definida
en
escalonada
inferior
[a,b]
inferior
a g en
por
a
la
f
[ka,kb].
igualdad
en
[a,b"J.
Además toda función escalonada h inferior a f en [a,b] tiene esta
forma.
49
Por
la
propiedad
de
dilatación
para funciones escalonadas se
tiene.
kb
b
b
s(x)dx = k s ( k x ) d x = kh ( x ) d x .
ka
a
a
a
K B
Por consiguiente
I(g)= Supí
s /slg
} = Sup[ k
f(x)dx
. Análogamente se demuestra que I(g)= k
a
El
J =
a
K A
k
h / hif
f(x)dx.
a
mismo tipo de demostración
propiedad si
puede utilizarse para demostrar
la
k<0.
4
Ejemplo .1
8
2 x d x = v¿
0
Ejemplo .2
:dx ;
( k = 1 /3)
0
(l-Ka)1/a
Ejemplo .3
(k=2)
0
D X
0
:dx ;
dx = TL/2 entonces
hallar
(4-x2)1/2d;
Solución.
( 4 — X
A
)
1
/
A
D X
(1-(xa/4))1/adx
50
= 4
l-x3)1/2dx
= 2n
( k='-É )
1.13.6
Si
f(x)
y
g(x) son funciones integrables en [a,b] y si
g(x)<f(x) para cada x en [a,b] se tiene que
b
b
g( x ) dx 1
f(x)d;
Demostración.
Sea
s
cualquier
función
escalonada inferior a g y t cualquier
función escalonada superior a f; se tiene entonces que.
b
b
b
t
a
y por lo tanto
a
b
g
=
Sup{
a
s /slg
} i
a
b
Infi
t /f<t } =
f
luego
g ( x) dx
í
f(x )dx
a
4
Ejemplo.
4
1
u <s _•.
0
Ejemplo
1.13.7
.2
6d x .
0
3d;
Si
4d;
f(x) es integrable en [a,b] y si m<f(x)¿M para todo
en [a,b] entonces
b
m.(b-a) <
f(x )dx
<
M.(b-a)
a
51
D e m o s t r a c i ó n , (ejercicio).
1.13.8
Si
f(x)
es
integrable en [a,b] y f(x)£0 para todo x en
[a,b] entonces
b
f (x)d x > 0.
a
Demostración,
1.13.9
Si
(ejercicio).
f(x) y
g(x)
son integrables en [a,b] y si
f(x)£g(x)
para todo x de [a,b] entonces,
b
b
f ( x ) d:
g ( x)dx .
Demostración .
Como
f-g
es integrable y f-g¿0 por la propiedad
1.13.8 se
tiene
que
b
b
[ f(x)-g(x)]dx
£ 0 y como
b
[f(x)-g(x)]dx
a
se tiene que
f ( x) dx >
b
f ( x ) d;
g ( x ) d x¿0
a
g ( x ) d:
a
1.13.10
Sea
f(x) continua en La^b] y por lo tanto integrable en
Ca,b] entonces
52