C>LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Tarea 2: Sumas, Sumas

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Tarea 2: Sumas, Sumas de Riemann y Teorema del Binomio
1. Demuestra por inducción las siguientes propiedades de
n
P
ak :
k=1
a)
b)
c)
d)
n
P
c = nc
k=1
n
P
k=1
n
P
cak = c
n
P
(ak + bk ) =
k=1
n
P
ak
k=1
n
P
ak +
k=1
(ak
ak
1)
n
P
bk
k=1
= an
a0 (suma telescópica)
k=1
e) si ak
bk (k = 1; :::; n), entonces
n
P
n
P
ak
k=1
f)
g)
h)
n
P
ak
k=1
n
P
k=1
n
P
k=1
k=
i)
jak j
n(n+1)
2
k2 =
k=1
n
P
n
P
bk
k=1
k3 =
k=1
2. Prueba que:
n(n+1)(2n+1)
6
n(n+1)
2
n
P
2
rk =
k=0
1 r n+1
1 r ;
(r 6= 1)
3. Calcula los valores de las siguientes sumas:
n
n
n
n
P
P
P
P
1
3
a)
3k 1 b)
c)
(k
3)
d)
(n
k
2
k=1
k=1
k + 1)2
k=1
k=1
4. (Teorema del binomio) Demuestra que si x y y son números reales distintos
de cero y n es un entero positivo, entonces
(x + y)n =
n
X
n n
x
k
k k
y
k=0
5. Escribe las de…niciones de:
a) Partición del intervalo [a; b] y re…namiento de una partición.
b) Suma superior U (f; P ) y suma inferior L(f; P )
c) Integral inferior e integral superior
d) Función integrable sobre [a; b].
1
6. Demuestra que si las particiones P y P 0 cumplen la relación P
tonces L(f; P ) L(f; P 0 ) y U (f; P 0 ) U (f; P ):
7. Demuestra que si la función f cumple m
(f está acotada en [a; b]), entonces:
m(b
a)
Z
Z
b
f
a
f (x)
P 0 en-
M para toda x 2 [a; b]
b
f
M (b
a):
a
8. Demuestra que la siguiente función no es integrable sobre [0; 1]
f (x) =
1 si x es irracional
0 si x es racional
9. Sopóngase, como es el caso, que las siguientes funciones son integrables
sobre los intervalos dados por los limites de integración. Demuestre que:
R
R3 1
a) 0
dx 1
senxdx
b) 21
0
1 x2
10. Sea f : [a; b] ! R acotada, considera una partición P = fx0 ; x1 ; :::; xn g
del intervalo [a; b]. Muestra que para cualquier selección de puntos xk
2 [xk 1 ; xk ] se tiene que:
n
X
L(f; P )
f (xk )(xk
xk
1)
U (f; P ):
k=1
Concluye que si f es integrable se tiene que, para toda partición y para
cualquier selección de puntos xk :
Z
a
b
f
n
X
f (xk )(xk
xk
1)
U (f; P )
L(f; P )
k=1
11. Demuestra que si f es no decreciente sobre [a; b], entonces f es integrable
sobre [a; b]
Sugerencia: Observa que para toda P partición de [a; b] la suma U (f; p)
n
X
L(f; P ) =
(Mi mi )(xi xi 1 ) es telescópica.
i=0
12. Pruébese que: si f (x) = 0 para todo x 2 [a; b] salvo un número …nito de
Zb
excepciones, entonces
f =0
a
2