ESTAD´ISTICA

Facultad de Farmacia
Grado en Nutrición Humana y Dietética
Depto. de Estadı́stica e Investigación Operativa
ESTADÍSTICA
TEMA 6: Introducción a la Programación Lineal
GRUPO C y E. Curso 2015-2016
Profesor: Dr. Francisco Manuel Ocaña Peinado
T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
Índice
1. ¿Qué es la Programación Lineal (P.L.)?
2
2. Elementos de un Problema de P.L.
2.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
3. Definiciones Básicas
5
4. Método Gráfico para resolver Problemas
4.1. Problema de óptimo único . . . . . . . .
4.2. Problema con óptimos alternativos . . .
4.3. Problema no acotado . . . . . . . . . . .
4.4. Problema Infactible . . . . . . . . . . . .
de
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P.L.
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10
5. Formulación General de un Problema de P.L.
11
5.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2. El Algoritmo del Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. Problemas propuestos
14
1
T.6: Introd. a la Programación Lineal
1.
Fco. M. Ocaña Peinado
¿Qué es la Programación Lineal (P.L.)?
La programación lineal (P.L.) es una técnica cuantitativa aplicada ampliamente en sistemas u organizaciones donde se presentan relaciones lineales
para utilizar recursos escasos de la mejor forma posible.
En la definición de P.L. el término Programación, se refiere a que se van a
planear actividades para obtener un resulatodo óptimo. En cuanto al término
lineal, hace referencia a que todas las funciones del problema son lineales.
El desarrollo de la P.L. es considerado entre los avances cientı́ficos más importantes de mediados del siglo XX, y su impacto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal que ha ahorrado
miles o millones de euros a muchas empresas, incluyendo empresas medianas
en los distintos paı́ses industrializados del mundo.
¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipos de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de aplicación
abarca el problema general de asignar unos recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, de forma óptima). Por
ejemplo, este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas. Después, los niveles de
actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumirá cada una
de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción
es muy grande, y va desde la asignación de instalaciones de producción a los
productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de
un paı́s; desde la selección de una cartera de inversiones, hasta el diseño de
una terapia de radiación. El elemento común de todas estas situaciones es
la necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles de las
mismas.
En el ámbito de la nutrición y dietética, la P.L. resuelve un problema tı́pico
como es el denominado problema de la dieta. Este problema constituyó una
de las primeras aplicaciones de la P.L. y comenzó a utilizarse en los hospitales para determinar la dieta más económica con la que alimentar a los
pacientes a partir de unas especificaciones nutritivas mı́nimas. En la actualidad, también se aplica con éxito en el ámbito agrı́cola con la misma idea
de encontrar la combinación óptima de alimentos que, logrando un aporte
nutritivo mı́nimo, suponga el menor coste posible (veáse el texto de Hazell
y Norton, Mathematical Programming for Economic Analysis in Agriculture.
Mcmillan, New York, 1986.)
2.
Elementos de un Problema de P.L.
Un problema de P.L. es un problema de optimización donde se tiene:
Una función lineal, denominada función objetivo, que se tratará de ma2
T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
ximizar (ingresos, ganancias), o minimizar (costes). Se suele representar
con la letra Z.
Un conjunto de variables de las cuales depende la función objetivo, denominadas variables objetivo, que representan completamente las decisiones a tomar en el problema.
Los valores de las variables de la función objetivo tienen que satisfacer
un conjunto de restricciones. Cada restricción es una desigualdad lineal.
Hay una restricción de signo para cada variable de la función objetivo,
lo cual significa que cada variable será no negativa (xi ≥ 0), o bien que
xi podrı́a ser sin restricción de signo.
A continuación, se definen lo que se entiende por función lineal y desigualdad
lineal.
Una función de n−variables f (x1 , x2 , . . . , xn ), es una función lineal en
las variables x1 , x2 , . . . , xn si:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = C1 x1 + C2 x2 + . . . + Cn xn donde C1 , C2 , . . . , Cn ∈ R.
Si f (x1 , x2 , . . . , xn ) es una función lineal, y b ∈ R, entonces la desigualdad f (x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ b y la desigualdad f (x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ b
se denominan desigualdades lineales.
A continuación tomaremos el siguiente ejemplo para ilustrar las definiciones que hay arriba, y como modelo para plantear problemas de optimización.
2.1.
Ejemplo
Un nutricionista utiliza dos tipos de granos A y B, para elaborar un cereal
natural que se vende por kilos. El eslogan que se utiliza en la venta es que
cada 125 gramos de su cereal, tomados con leche entera, cubre las ncesidades
alimenticias de un adulto en cuanto a proteı́nas e hidratos de carbono. El
coste de cada tipo de grano y sus contenidos por kg. se reflejan en la siguiente
tabla:
GRANO
A
B
COSTE POR KG
50
100
PROTEÍNAS HIDRATOS CARBONO
7
2
2
12
Los requisitos nutricionales mı́nimos por dı́a de un adulto son de al menos
28 unidades de proteı́nas y de al menos 24 unidades de hidratos de carbono.
Determine la combinación óptima de grano de tipo A y de tipo B en la elaboración del cereal natural que minimiza los costes.
Identificamos los 4 elementos de los cuáles consta un problema de P.L.:
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Variables y Función Objetivo: En nuestro caso el objetivo es minimizar costes. Dichos costes dependen de dos variables (variables objetivo):
• x1 ≡ número de kilos de grano tipo A en el cereal natural.
• x2 ≡ número de kilos de grano tipo B en el cereal natural.
En cuanto a la función objetivo, Z, se tiene Z = 50x1 + 100x2 , y como
se dijo antes se desea minimizarla.
Restricciones: Si se pudiera coger libremente cualquier valor de x1 y
de x2 , se tratarı́an de coger lo más pequeñas posibles para minimizar
costes (menor cantidad, supone menor coste). En este caso x1 y x2
están limitadas por las siguientes dos resticciones:
a) Restricción de proteı́nas. Los requisitos nutricionales mı́nimos por
dı́a de un adulto son de al menos 28 unidades de proteı́nas:
Contenido prot. grano tipo A × no kgs grano tipo A +
Contenido prot. grano tipo B × no kgs grano tipo B ≥ 28
por lo que la restricción serı́a por tanto: 7x1 + 2x2 ≥ 28
b) Restricción de hidratos de carbono (H.C.). Los requisitos nutricionales mı́nimos por dı́a de un adulto son de al menos 24 unidades
de hidratos de carbono:
Contenido H.C. grano tipo A × no kgs grano tipo A +
Contenido H.C. grano tipo B × no kgs grano tipo B ≥ 24
por lo que la restricción serı́a por tanto: 2x1 + 12x2 ≥ 24
Restricciones de signo: Es lógico pensar que en el contexto del problema es necesario incorporar en la formulación del problema que tanto
x1 , como x2 sean no negativas (son cantidades de grano, jamás podrı́an
ser negativas), por lo que se tendrı́an como restricciones adicionales en
el problema que: x1 ≥ 0, y que además x2 ≥ 0.
La formulación del correspondiente problema de P.L. serı́a:
Minimizar Z = 50x1 + 100x2 s.a.
7x1 + 2x2 ≥ 28
2x1 + 12x2 ≥ 24
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
En todo problema de P.L. (y por tanto en este también), hay implı́citas
además otras suposiciones adicionales, como por ejemplo la de divisibilidad,
proporcionalidad y aditividad
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T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
Figura 1: Ejemplo de conjunto no convexo y convexo
Divisibilidad: una variable de decisión puede tomar valores fraccionarios. Si un problema de P.L. , debido a su naturaleza requiere que
alguna/s o todas las variables de decisión tomen valores enteros no
negativos se denomina problema de Programación Entera.1
Proporcionalidad: La contribución de cada variable de decisión a la
función objetivo es proporcional al valor de la variable de decisión.
Aditividad: La contribución de cada variable de decisión a la función
objetivo es independiente de los valores de las otras variables de decisión.
3.
Definiciones Básicas
Se introducen a continuación algunos conceptos clave en P.L., de cara a poder
resolver problemas como el citado en el apartado 2.1.
Conjunto Convexo: Se dice que un conjunto de puntos , S, es convexo, si el segemento rectilı́neo que une cualquier pareja de puntos del
conjunto S se encuentra completamente en dicho conjunto. En la Figura
1 se muestra un ejemplo
Punto Extremo de un Conjunto Convexo: Se dice que un punot P ,
es un punto extremo de un conjunto convexo S, si para todo segmento
rectilı́neo que se encuentra completamente en S y que pasa por el punto
P , se tiene que P es un extremo de dicho segmento.
Región Factible, F, de un Problema de P.L.: Es el conjunto de
todos los puntos que satisfacen las restricciones y las restricciones de
signo del Problema de P.L. En referencia a F , Se pueden demostrar
además los dos siguientes resultados:
i) Para cualquier problema de P.L. la región factible F , es un conjunto convexo.
ii) La región factible F de un problema de P.L. tiene sólamente un
número finito de puntos extremo.
1
Los métodos de Programación Entera quedan fuera del temario de la asignatura.
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T.6: Introd. a la Programación Lineal
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Solución Óptima de un Problema de P.L.: es un punto de F , tal
que en él se alcanza el valor mı́nimo (si el problema es de minimizar),
o máximo (si el problema es de maximizar) de la función objetivo.
Se podrı́a demostrar que El valor óptimo de la función objetivo (si
existe), se alcanza siempre en un punto extremo de F . Este resultado
es importante porque reduce el conjunto de puntos que producen una
solución óptima de la región factible F (que es un conjunto infinito de
puntos), a un conjunto de puntos extremo (que es un conjunto finito).
La existencia o no de solución en un problema de P.L. viene dado por la
naturaleza del problema (maximizar o minimizar), ası́ como de las restrcciones que contiene el mismo. A la hora de resolver un problema de P.L., se
podrá estar en una de estas cuatro situaciones:
i) Problema con un óptimo único.
ii) Problema con óptimos alternativos: se dará si hay más de una
solución óptima, pero todas ellas con igual valor de la función objetivo.
iii) Problema no acotado: si no se tiene un valor óptimo finito, es decir,
si hay puntos de F con valores arbitrariamente grandes (en el caso de
un problema de maximizar) o pequeños (en el caso de un problema de
minimizar).
iv) Problema infactible: si la región factible F es un conjunto vacı́o, es
decir no hay soluciones posibles
4.
Método Gráfico para resolver Problemas
de P.L.
El método que se detalla a continuación sólo puede usarse en el caso de tener
problemas con dos variables de decisión, (x1 , x2 ) ∈ R2 . Los pasos de dicho
método son:
1. Plantear el problema en forma matemática: definir Z, las variables de
decisión y las restricciones.
2. Representar gráficamente las restricciones.
3. Determinar la región factible F .
4. Representar gráficamente Z.
5. Determinar los puntos extremo de F .
6. Evaluar Z en cada punto extremo y elegir el óptimo.
A continuación vemos cada uno de los cuatro casos posibles de problemas de P.L. descritos al final del apartado 3, a partir de tratar de reolver el
problema con el método gráfico.
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T.6: Introd. a la Programación Lineal
4.1.
Fco. M. Ocaña Peinado
Problema de óptimo único
Se toma como ejemplo el problema descrito en el apartado 2.1. Dicho problema era:
Minimizar Z = 50x1 + 100x2 s.a.
7x1 + 2x2 ≥ 28
2x1 + 12x2 ≥ 24
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Aplicando los pasos del método gráfico se tendrı́a la situación descrita en la
Figura 2 donde se tiene que:
Figura 2: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo de la dieta
El segmento que une a los puntos A ≡ (x1 = 0, x2 = 14) y B ≡ (x1 =
4, x2 = 0) es la representación gráfica de la recta 7x1 + 2x2 = 28,
relacionada con la restricción 7x1 + 2x2 ≥ 28. Téngase en cuenta que
los puntos (x1 = x1 , x2 ) que cumplen con la restricción 7x1 + 2x2 ≥ 28
son los que están por encima de la recta.
El segmento que une a los puntos D ≡ (x1 = 0, x2 = 2) y E ≡ (x1 =
12, x2 = 0) es la representación gráfica de la recta 2x1 + 12x2 = 24,
relacionada con la restricción 2x1 + 12x2 ≥ 24. Téngase en cuenta que
los puntos (x1 , x2 ) que cumplen con la restricción 2x1 + 12x2 ≥ 24 son
los que están por encima de la recta.
La región representada en verde, es F , la Región Factible del problema, que se recuerda es el conjunto de puntos que verifica todas las
desigualdades. Los puntos extremos de F son los puntos A, el punto
C ≡ (x1 = 3.6, x2 = 1.4), que es el punto de corte de los dos rectas que
quedan definidas a partir de las restricciones y finalmente el punto E.
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T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
Tal y como se dijo en el apartado 3, de existir el óptimo de la función
objetivo, dicho óptimo se alcanzará en alguno de estos puntos extremo.
Hallando el valor de la función objetivo Z, para cada uno de los tres puntos
extremo, se tiene que:
En el punto A ≡ (x1 = 0, x2 = 14), Z = 50x1 + 100x2 = 1400
En el punto C ≡ (x1 = 3.6, x2 = 1.4), Z = 50x1 + 100x2 = 320
En el punto E ≡ (x1 = 12, x2 = 0), Z = 50x1 + 100x2 = 600
Teniendo en cuenta que lo que se desea es minimizar la función objetivo, la
solución óptima del problema se da para x1 = 3.6 y x2 = 1.4 Es decir que
habrı́a que poner en el cereal natural 3.6kg de grano tipo A y 1.4kg de grano
tipo B.
La región factible F de este problema es una región no acotada, por lo que
si el problema hubiese sido por ejemplo de maximizar, en vez de minimizar,
el problema hubiese sido un problema no acotado, dado que siempre serı́a
posible encontrar puntos que maximizaran la función objetivo con valores
de Z superiores a cualquier valor considerado. Veáse el apartado 4.3 para
ilustrar lo que se entiende por este tipo de problema.
4.2.
Problema con óptimos alternativos
Considérese el siguiente problema de P.L. (ejemplo 2):
Minimizar Z = 3x1 − 6x2 s.a.
5x1 + 7x2 ≤ 35
−x1 + 2x2 ≤ 2
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Aplicando el método gráfico de resolución se tendrı́a la situación descrita en
la Figura 3 donde se tiene que:
El segmento que une a los puntos A ≡ (x1 = 0, x2 = 5) y B ≡ (x1 =
7, x2 = 0) es la representación gráfica de la recta 5x1 + 7x2 = 35,
relacionada con la restricción 5x1 + 7x2 ≤ 35. Téngase en cuenta que
los puntos (x1 = x1 , x2 ) que cumplen con la restricción x1 + 2x2 ≤ 5
son los que están por debajo de dicha recta.
El segmento que pasa por los puntos C ≡ (x1 = 3.2941, x2 = 2.6470) y
D ≡ (x1 = 0, x2 = 1) es la representación gráfica de la recta x1 +x2 = 2,
relacionada con la restricción −x1 + 2x2 ≤ 2. Téngase en cuenta que
los puntos (x1 , x2 ) que cumplen con la restricción −x1 + 2x2 ≤ 2, son
los que están por debajo de la recta.
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Figura 3: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo 2
La región representada en verde, es F , la Región Factible del problema,
que es el conjunto de puntos que verifica todas las desigualdades. Los
puntos extremos de F son los puntos O ≡ (x1 = 0, x2 = 0), el punto B,
el punto C (punto de corte de las dos rectas) y el punto D. Tal y como
se dijo en el apartado 3, de existir el óptimo de la función objetivo,
dicho óptimo se alcanzará en alguno de estos puntos extremo.
Hallando el valor de la función objetivo Z, para cada uno de los cuatro puntos
extremo, se tiene que:
En el punto O ≡ (x1 = 0, x2 = 0), Z = 3x1 − 6x2 = 0
En el punto B ≡ (x1 = 1, x2 = 0), Z = 3x1 − 6x2 = 21
En el punto C ≡ (x1 = 3.2941, x2 = 2.6470), Z = 3x1 − 6x2 = −6
En el punto D ≡ (x1 = 0, x2 = 1), Z = 3x1 − 6x2 = −6
Teniendo en cuenta que lo que se desea es minmizar la función objetivo, la solución óptima del problema se da para los puntos C y D. Se podrı́a demostrar
que si dos puntos (en nuestro caso los puntos C y D) son óptimos, entonces
cualquier punto del segmento rectilı́neo que los une, también es óptimo.
4.3.
Problema no acotado
Considérese el siguiente problema de P.L. (ejemplo 3):
Maximizar Z = 2x1 + x2 s.a.
x1 − x2 ≤ 10
2x1 ≤ 40
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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Fco. M. Ocaña Peinado
Aplicando el método gráfico de resolución se tendrı́a la situación descrita en
la Figura 4 donde se tiene que:
Figura 4: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo 3
El segmento que une a los puntos A ≡ (x1 = 10, x2 = 0) y B ≡ (x1 =
20, x2 = 10) es la representación gráfica de la recta x1 − x2 = 10,
relacionada con la restricción x1 − x2 ≤ 10. Téngase en cuenta que los
puntos (x1 = x1 , x2 ) que cumplen con la restricción x1 + 2x2 ≤ 5 son
los que están a la izquierda y por encima de la recta.
El segmento que une a los puntos C ≡ (x1 = 20, x2 = 0) y B ≡
(x1 = 20, x2 = 10) es la representación gráfica de la recta 2x1 = 40,
relacionada con la restricción 2x1 ≤ 40. Téngase en cuenta que los
puntos (x1 , x2 ) que cumplen con la restricción x1 + x2 ≤ 4 son los que
están a la izquierda de dicha recta.
La región representada en verde, es F , la Región Factible del problema,
que es el conjunto de puntos que verifica todas las desigualdades. Los
puntos extremos de F son los puntos O ≡ (x1 = 0, x2 = 0), el punto
A y el punto B. La región factible F de este problema es una región
no acotada, por lo que siendo el problema de maximizar, se denomina
a este caso problema no acotado, ya que siempre es posible encontrar
puntos en F que maximizan la función objetivo con valores superiores
a cualquier valor considerado.
4.4.
Problema Infactible
Considérese el siguiente problema de P.L. (ejemplo 4):
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T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
Maximizar Z = 3x1 + 2x2 s.a.
2x1 + x2 ≤ 2
3x1 + 4x2 ≥ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
Aplicando el método gráfico de resolución se tendrı́a la situación descrita en
la Figura 5 donde se tiene que:
Figura 5: Restricciones, puntos extremo y F en el ejemplo 4
El segmento que une a los puntos A ≡ (x1 = 0, x2 = 2) y B ≡ (x1 =
1, x2 = 0) es la representación gráfica de la recta 2x1 + x2 = 2, relacionada con la restricción 2x1 + x2 ≤ 2. Téngase en cuenta que los puntos
(x1 = x1 , x2 ) que cumplen con la restricción 2x1 + x2 ≤ 2 son los que
están por debajo de la recta.
El segmento que une a los puntos C ≡ (x1 = 0, x2 = 3) y D ≡ (x1 =
4, x2 = 0) es la representación gráfica de la recta 3x1 + 4x2 = 12,
relacionada con la restricción 3x1 + 4x2 ≥ 12. Téngase en cuenta que
los puntos (x1 , x2 ) que cumplen con la restricción 3x1 + 4x2 ≥ 12 son
los que están por encima de dicha recta.
La Región Factible, F , en este caso no existe (se habla de que en un
caso de este tipo F = ∅), dado que no hay puntos que satisfagan al
mismo tiempo todas las restricciones del problema, por lo que se dice
que el problema es infactible, es decir, que no tiene solución.
5.
Formulación General de un Problema de
P.L.
La Programación Lineal es una técnica matemática de gran potencia debido, entre otras causas, a que es capaz encontrar los valores óptimos de las
11
T.6: Introd. a la Programación Lineal
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variables objetivo, aún cuando el número de variables que se tengan en el
problema sea superior a dos.
Ası́ un Problema de P.L. con n variables de decisión y m restricciones serı́a
formulado de forma general como:
Optimizar (Max. ó Min.) Z = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn s.a.
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn ≤ b1
a11 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn ≤ b2
..
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ≤ bm
xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , n
5.1.
Ejemplo
Un dietista desea obtener la dieta de coste mı́nimo con unos determinados
requisitos vitamı́nicos para un grupo de niños que va a asistir a un campamento de verano. El especialista estima que la dieta debe contener un
máximo de 32 unidades de vitamina A, al menos 25 unidades de vitamina
B, y 30 exactamente de C, y a lo sumo 14 de vitamina D. La tabla nos da
la información acerca del número de unidades de las distintas vitaminas por
unidad de alimento consumido para seis alimentos elegidos, denominados 1,
2, 3, 4, 5 y 6, ası́ como su coste por unidad:
Alimentos A
1
1
2
1
3
0
4
3
5
2
6
1
Vitaminas
B C D Coste por Unidad
1 0 1
10
2 1 0
14
1 2 0
12
1 0 1
18
1 2 0
20
0 2 1
16
Se desea formular un problema de P.L. para conocer la cantidad de cada
alimento que hay que preparar y que satisfaga los requisitos propuestos con
coste mı́nimo.
La formulación de este problema serı́a:
Minimizar la Función Objetivo Z dada por:
Z = 10x1 + 14x2 + 12x3 + 18x4 + 20x5 + 16x6
Variables de decisión:
xi ≡ cantidad del alimento i que usa en al dieta con i = 1, 2, . . . , 6.
12
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Restriciones:
x1 + x2 + 3x4 + 2x5 + x6 ≤ 32
x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 25
x2 + 2x3 + 2x5 + 2x6 = 30
x1 + x4 + 2x5 + 2x6 ≤ 14
xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , 6
Por tanto la forumlación del problema es determinar (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) tal
que:
Min Z = 10x1 + 14x2 + 12x3 + 18x4 + 20x5 + 16x6 s.a.
x1 + x2 + 3x4 + 2x5 + x6 ≤ 32
x1 + 2x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 25
x2 + 2x3 + 2x5 + 2x6 = 30
x1 + x4 + 2x5 + 2x6 ≤ 14
xi ≥ 0 i = 1, 2, . . . , 6
La resolución de un problema de este tipo, en el cual hay más de dos variables de decisión, se llevarı́a a cabo utilizando la técnica matemática conocida
con el nombre de Método o Algoritmo del Simplex, cuya aplicación de modo exahustivo sin medios informáticos escapa de los objetivos del tema. No
obstante, se detallan en el siguiente apartado algunas ideas que utiliza dicho
algortimo para resolver los problemas de P.L.
5.2.
El Algoritmo del Simplex
El algoritmo fue desarrollado por el norteamericano George Dantzig a partir
de 1947 para resolver el problema surgido con la distribución de los recursos
militares de los aliados finalizada la Segunda Guerra Mundial.
Partiendo de un problema P.L. en forma de maximización, la esencia del
método consiste en partir de un vértice inicial de la región factible, y si en
dicho vértice la función objetivo no toma su máximo valor, Dantzig probó que
existe al menos una arista con origen en ese punto, a lo largo del cual la función no disminuye su valor. En dicha arista encontraremos un nuevo vértice,
en el cual si la función objetivo no toma su valor óptimo nos desplazaremos
por la arista correspondiente hasta un nuevo vértice, y en número finito de
pasos llegaremos a la solución óptima.
La principal ventaja de uso del método es que no es necesario calcular todos
los vértices de la región factible para determinar el óptimo, y además se pueden programar los pasos del algoritmo para ejecutarlos en un PC (aunque
existen programas informáticos especifı́cos que aplican el algoritmo).
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T.6: Introd. a la Programación Lineal
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Como ya se dijo al final del apartado anterior, y debido a la fuerte carga
de cálculo matricial que conlleva el algortimo, no se estudia la aplicación
del mismo sin medios informáticos. De cara a resolver los problemas propuestos, y los que han sido resueltos a lo largo del curso, el alumno podrá,
si está interesado, usar la siguiente dirección web www.phpsimplex.com en
la que encontrará más información acerca del método simplex, ası́ como una
aplicación on-line para resolución de problemas de P.L., con el algoritmo del
simplex y también con el método gráfico descrito en el apartado 4.
6.
Problemas propuestos
En este apartado se proponen al alumno resolver diferentes problemas mediante la aplicación del método gráfico. El recurso de la web www.phpsimplex.com,
puede servir como apoyo para plantear el problema y comprobar la solución
obtenida.
1. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 3x1 + 2x2 s.a.
2x1 + x2 ≤ 100
x1 + x2 ≤ 80
x1 ≤ 40
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
2. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 6x1 + 10x2 s.a.
5x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 5x2 ≤ 15
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
3. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Min. Z = 2x1 − 3x2 s.a.
x1 + x2 ≤ 4
x1 − x2 ≤ 6
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
4. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 2x1 + x2 s.a.
2x1 + 3x2 ≤ 18
3x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
14
T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
5. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Min. Z = 3x1 − 2.5x2 s.a.
2x1 + 4x2 ≥ 40
3x1 + 2x2 ≥ 50
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
6. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Min. Z = 4x1 + x2 s.a.
3x1 + x2
4x1 + 3x2
x1 + 2x2
x1 ≥ 0 , x2
=6
≥6
≤3
≥0
7. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Min. Z = 2x1 + x2 s.a.
x1 + 2x2
x2
3x1 + x2
x1 ≥ 0 , x2
≤2
≤2
=6
≥0
8. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = x1 + 3x2 s.a.
x1 + x2
−x1 + x2
2x1 + x2
x1 ≥ 0 , x2
≤2
≤2
=6
≥0
9. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Min. Z = x1 − x2 s.a.
x1 + 2x2
2x1 + x2
4x1 + x2
x1 ≥ 0 , x2
≥6
≤6
=4
≥0
15
T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
10. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 6x1 + 10x2 s.a.
x1 + 2x2 ≥ 12
3x1 − 2x2 ≤ 15
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
11. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Min. Z = 40x1 + 36x2 s.a.
x1 ≤ 8
x2 ≤ 10
5x1 + 3x2 ≥ 45
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
12. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 3x1 + 2x2 s.a.
6x1 + 4x2 ≤ 24
10x1 + 3x2 ≤ 30
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
13. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 2x1 + 3x2 s.a.
x1 + x2 ≥ 3
x1 − 2x2 ≤ 4
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
14. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 4x1 + 3x2 s.a.
x1 + x2
2x1 − x2
x1
x1 ≥ 0 , x2
≤3
≤3
≥4
≥0
16
T.6: Introd. a la Programación Lineal
Fco. M. Ocaña Peinado
15. Encontrar los valores de (x1 , x2 ), tales que:
Max. Z = 15x1 + 10x2 s.a.
2x1 + x2 ≤ 1500
x1 + x2 ≤ 1200
x1 ≤ 500
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
16. Un nutricionista diseña dos menús para un hospital: uno que se denominará A, que es de mejor calidad que otro que se denominará B. El
beneficio neto de venta es de 2 euros para el menú A, y de 1.5 euros
para el menú B. El tiempo empleado en elaborar un menú de tipo A,
es dos veces superior al empleado para el menú de tipo B, y si todos
los menús elaborados fueran de tipo B, se podrı́an elaborar hasta un
tope de 1000 diarios. El abastecimiento de alimentos es suficiente como
para elaborar hasta 800 menús al dı́a. Se puede elaborar cada dı́a como
máximo 400 menús de tipo A y 700 de tipo B. Formule un problema
de P.L. para el nutricionista con el objetivo de maximizar beneficios, y
resuelva mediante el método gráfico.
17. En una granja de pollos se administra una dieta para engordar con una
composición mı́nima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de
una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco
de B, y el tipo Y , con una composición de cinco unidades de A y una
de B. El precio del tipo X es de 1000 euros y el del tipo Y es de 3000
euros. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las
necesidades con un coste mı́nimo? Formule un problema de P.L. para
minimizar costes, y resuelva mediante el método gráfico.
17