´ALGEBRA

ÁLGEBRA
Examen de septiembre
Ejercicio 2
(50 minutos.)
8 de septiembre de 2010
1.– En IR2 consideramos el producto escalar usual. Sea t : IR2 −→IR2 una aplicación lineal
cuya matriz asociada respecto de la base canónica es:
a
b
b
a
.
Hallar los valores de a y b para los cuales t es una transformación ortogonal,
identificando si procede el ángulo de giro o el eje de simetrı́a.
(0.8 puntos)
2.– Dada la matriz:
−1
 1
A=
0
0


−1 −1 −1
1
1
1
.
0
0
0
0
0
0
a) Hallar los autovalores y autovectores de A.
b) Calcular una forma de Jordan asociada a A, indicando la correspondiente matriz de
paso P .
c) Calcular (A + Id)2010 .
3.– En
IR3
y
(1.1 puntos)
M2×2 (IR)
se
consideran
respectivamente
las
0 1
1 0
0 0
0
B1 = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} y B2 =
,
,
,
0 0
0 0
0 1
1
Dada una aplicación lineal:
bases
0
.
0
f : IR3 −→M2×2 (IR)
cuya matriz asociada respecto de las bases dadas es:

1
FB1 B2 =  0
1
2
1
1
0
0
0

3
1,
0
calcular la matriz f (1, 0, 2).
(0.6 puntos)
ÁLXEBRA
Exame de setembro
Exercicio 2
(50 minutos.)
8 de setembro de 2010
1.– En IR2 consideramos o producto escalar usual. Sexa t : IR2 −→IR2 unha aplicación
lineal con matriz asociada respecto da base canónica:
a
b
b
a
.
Atopar os valores de a e b para os cales t é unha transformación ortogonal, identificando
se procede o ángulo de xiro o o eixo de simetrı́a.
(0.8 puntos)
2.– Dada a matriz:
−1
 1
A=
0
0


−1 −1 −1
1
1
1
.
0
0
0
0
0
0
a) Atopar os autovalores e autovectores de A.
b) Calcular unha forma de Jordan asociada a A, indicando a correspondente matriz de
paso P .
c) Calcular (A + Id)2010 .
3.– En
IR3
y
(1.1 puntos)
M2×2 (IR)
se
consideran
respectivamente
as
0 1
1 0
0 0
0
B1 = {(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)} e B2 =
,
,
,
0 0
0 0
0 1
1
Dada unha aplicación lineal:
bases
0
.
0
f : IR3 −→M2×2 (IR)
de matriz asociada respecto das bases dadas:

1

FB1 B2 = 0
1
2
1
1
0
0
0

3
1,
0
calcular a matriz f (1, 0, 2).
(0.6 puntos)