Lista de ejercicios propuestos

Lista de ejercicios propuestos
Matemáticas II
1o
¯ de Telecomunicaciones
11–4–2005
1. Sea S = {(x, y, z) : x2 + z 2 ≤ 8; y 2 + z 2 ≤ 8}
(a) Hallar el volumen de S como un volumen por secciones.
(b) Hallar el volumen de S mediante una integral triple.
2. El plano y + z = 2 divide a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 16 en los volúmenes:
S1 = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 16; y + z ≤ 2}
S2 = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ 16; y + z ≥ 2}.
(a) Sobre cada uno de ellos, calcular la integral de la función f (x, y, z) = x(1 − 2z).
(b) Calcular la integral de f sobre la esfera completa.


x = x
3. El cambio de variables dado por
y = v cos α − w sen α , produce en IR3 un giro de ángulo

 z = v sen α + w cos α
α alrededor del eje X. Buscar un ángulo α para que al aplicar este cambio al problema 2
anterior lo simplifique, y resolverlo.
Calcular el volumen de S1 y S2 .
4. Sean B ⊆ IR3 , abierto y convexo, y f , g: B −→ IR3 funciones de clase 1. Probar que
rot(f ) = rot(g) en B ⇐⇒ ∃ ϕ: B −→ IR tal que ∇ϕ = f − g en B.
5. El tio Pepe posee un prado de hierba con un palomar cuadrado, de 6 metros de lado, en
medio. Si ata la vaca “Pinta” con una cuerda de 9 metros de larga a una esquina de la
pared del palomar ¿cuál es el área de la superficie de hierba que puede comer la vaca?
Su cuñado Tomás está en la misma situación pero su palomar es circular de 6 metros de
diámetro. ¿Cuál es ahora el área de la superficie de hierba que puede comer su vaca?
6. Sean C = {(x, y) : x2 + y 2 = 6}, A el conjunto encerrado por C, la función ϕ: A −→ IR
dada por ϕ(x, y) = 4 + xy, la superficie S1 = graf (ϕ) (superficie dada por la gráfica de ϕ
en IR3 ) y f : IR3 −→ IR3 con f (x, y, z) = (−y, −x, 1).
Z
(a) Calcular
C
ϕ.
(b) Sea C1 la curva borde de la superficie S1 . Calcular
recorrido.
Z
C1
f , indicando el sentido del
(c) Sean V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ A; 0 ≤ z ≤ ϕ(x, y)} y S = fr(V ):
i. Hallar el área de la superficie S.
ii. Siendo f el vector densidad de flujo, calcular el flujo saliente a traves de S
(indicando el correspondiente a cada una de las partes que forman S).
1
Para el ejercicio 5 se recomienda usar el Teorema de Green (no es fácil).