9-LA PARADOJA DE ZENON

La «paradoja» de Zenón
LA «PARADOJA» DE ZENÓN
Juan M. Aguirregabiria (*)
En el siglo V antes de Cristo, Zenón de Elea planteó una serie de paradojas en defensa de la
filosofía de su maestro Parménides, en la que el movimiento y el cambio eran pura ilusión. La
más famosa de ellas puede enunciarse como sigue: «Si Aquiles quiere alcanzar a una tortuga
que huye de él, deberá primero llegar a donde la tortuga se hallaba cuando Aquiles inició su
marcha; pero para entonces la tortuga estará en una nueva posición, que también deberá ser
alcanzada por Aquiles antes de atrapar a la tortuga. Como esto se repite una y otra vez, sin fin,
Aquiles no llegará a alcanzar a la tortuga.»
Al parecer, y puesto que vemos que Aquiles si alcanza a la tortuga, deberíamos concluir que
el movimiento es un mero espejismo de nuestros sentidos. Como esta conclusión, cercana al
solipsismo, es inaceptable para la mayoría de la gente, en los últimos 25 siglos se han propuesto distintos modos de explicar la paradoja y el tema sigue suscitando interés, como
demuestra el hecho de que introduciendo las palabras inglesas «Zeno» y «paradox» en un
popular buscador de Internet se obtengan más de 6000 documentos que las contienen.
Una de las refutaciones más extendidas se ha basado en negar la posibilidad de dividir indefinidamente el espacio; incluso se ha invocado la física cuántica para asegurar que hay una
distancia mínima(1). Como vamos a intentar demostrar, la existencia o ausencia de una distancia física mínima es, en el fondo, irrelevante para resolver la paradoja. Lo que hay que analizar es por qué se concluye la imposibilidad de que Aquiles alcance a la tortuga, ya que
leyendo con cuidado el enunciado de la paradoja, se observa que en realidad se ha omitido
la razón para obtener esa conclusión de las palabras precedentes.
Para estudiar las distintas posibilidades de suplir esa premisa oculta vamos a considerar un
ejemplo numérico particular que, aunque no resta generalidad a la discusión, permite concretarla. Supongamos que Aquiles se mueve a una velocidad constante
vA = 1 m/s
mientras que la tortuga es realmente rápida y alcanza la velocidad
vT = 0.1 m/s
Si la ventaja inicial de la tortuga es
d0 = 1 m
probablemente no hace falta ni haber estudiado cinemática elemental para concluir que
Aquiles alcanzará a la tortuga cuando haya recorrido la distancia que ésta ha hecho más la
ventaja inicial:
d = vAt = vTt + d0.
De aquí obtenemos que ambos se hallarán en el mismo punto en el instante
t = d0/(vA-vT) = 10/9 s, es decir, cuando Aquiles ha recorrido una distancia total d = 10/9 s
Tal vez Zenón pensaba que, como Aquiles había de recorrer un número infinito de intervalos,
la distancia total a superar era infinita. Sin embargo, esto no es cierto. La longitud del primer
intervalo (entre las posiciones iniciales de Aquiles y la tortuga) es d0 = 1 m; la del siguiente
intervalo, d1 = 1/10 m, y la del enésimo dn = 1/10n m. La longitud total en metros a recorrer es,
por consiguiente, la que del cálculo cinemático:
`
1
S 1n =
= 10 .
10
9
n=0
1- 1
10
(*) Profesor del Dpto. de Física Teórica e Historia de la Ciencia. Facultad de Ciencias - Universidad del País Vasco.
Octubre 2002 • 2002 Urria
143
Juan M. Aguirregabiria
Una forma equivalente de expresar este resultado mediante aritmética elemental es recordar
que en el primer intervalo la longitud total recorrida es de 1 m, que llega a 1,1 m tras el
segundo intervalo, a 1,11 m tras el tercero y así sucesivamente, con lo que en límite tenemos
1,111 ... m, que como se aprende muy pronto (así era al menos, hace ya bastante tiempo,
cuando yo era un crío) es precisamente 10/9 m.
Nótese que la suma de la serie geométrica (que puede obtenerse como límite de la suma elemental de la progresión geométrica y era desconocida por Zenón) no es en realidad imprescindible, ya que cualquier suma parcial está acotada por el valor de la distancia total:
`
S
n=0
1 = 1.11 ... 11 = 111 ... 11 < 10 .
10n
100 ... 00
9
Aun a falta de conocer la teoría rigurosa, es difícil pensar que uno pueda creer que la cota va
a ser superada, incluso si el espacio es indefinidamente divisible.
Una cosa que siempre he echado en falta en los análisis de la paradoja que he visto es el estudio del otro componente que, junto al espacio, es imprescindible para definir y entender el
movimiento: el tiempo. De hecho, podría interpretarse que la premisa oculta en el razonamiento de Zenón estriba en que para recorrer los infinitos subintervalos hace falta un tiempo
infinito. Nada más lejos de la realidad: repitiendo para el tiempo lo dicho arriba para el espacio, es obvio que el análisis se limita a lo que ocurre antes de 10/9 s, valor que sólo se alcanza
en el límite. Podríamos resumir los estudios del tiempo y del espacio diciendo que lo que
plantea la paradoja es que Aquiles no alcanza a la tortuga antes de alcanzarla. No parece éste
un enunciado que amenace la realidad del movimiento. Lo único que podría requerir un
tiempo infinito es el estudio, intervalo a intervalo, del problema en el planteamiento inapropiado (o cuando menos retorcido) de Zenón.
Hay que mencionar el valor que las paradojas de Zenón (que nunca han supuesto una seria
amenaza para la realidad del movimiento) han tenido para ayudar a comprender que ciertos
aspectos de la matemática (y de la naturaleza física) no pueden entenderse con ideas intuitivas. El rigor es imprescindible para definir límites y sumas de series, o para abordar el estudio
de cuántos son y cómo se disponen los puntos en un segmento. Sin embargo, no hace falta un
gran aparato matemático para decidir el punto concreto de si la paradoja de Zenón pone en
cuestión la posibilidad del movimiento.
En física cuántica el nombre de “efecto Zenón cuántico” fue propuesto en 1977 por Sidarshan
y Misra de la universidad de Texas para designar la propiedad de que una partícula inestable
que fuera sometida a medidas sin cesar (de ahí el nombre) no se desintegraría nunca. Aunque
este efecto se había confirmado parcialmente en ciertos experimentos, en 2000 Kofman y
Kurizki del Instituto Weizmann pusieron en duda la posibilidad de su realización practica,
señalando que, en muchos casos, medidas frecuentes podrían estimular la desintegración
(“efecto anti-Zenón”), en vez de inhibirla. Se trata de un tema de investigación que sigue interesando a mucha gente.
1 Aunque es cierto que a ciertas escalas de distancia (y energía) nuestra intuición no es aplicable en absoluto y debe recurrirse a
los conceptos de la mecánica cuántica, la hipotética existencia de una distancia mínima debería ser discutida, presumiblemente,
en la teoría cuántica de la gravedad, que está por hacer. En cualquier caso, no se entiende por qué haría falta física microscópica para entender un fenómeno macroscópico con energías muy alejadas del dominio de aquélla. Incluso hemos hallado quien
aduce que sólo puede explicarse con ayuda de la Relatividad Especial de Einstein, como si el gran AquiIes pudiera alcanzar las
velocidades comparables a la de la luz que son necesarias para observar fenómenos relativistas.
144
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA