LA PARADOJA DE ZENÓN

LA PARADOJA DE ZENÓN
ZENÓN (490 a.C.- 430 a.C.)
Fue un filósofo griego de la escuela eleática, nacido en Elea (Italia meridional). Fue
discípulo de Parménides (uno de los filósofos griegos más importantes de la época y de
los más señalados en la escuela eleática) y, según varios escritores, enseñó en Atenas
durante algún tiempo.
Zenón trató de mostrar que la realidad es una e invariable y que todo movimiento es
ilusorio.
Era costumbre suya mostrar lo absurdo de algunas creencias y frecuentemente se valía
de paradojas (expresión o situación que parece absurda y sin embargo es razonable), en
las que viene a decir que todo movimiento es un engaño.
Contrastadas con la realidad, las pruebas de Zenón contra el movimiento, se revelan al
punto como paradojas y como auténticos paralogismos (argumento o contradicción
falsa). Es como ponerse a discutir el azul del cielo.
Zenón, una gran influencia
El intento filosófico característico de Zenón es fundamentar la doctrina de su maestro
Parménides de que no se da la pluralidad ni el movimiento, sino sólo un ser en reposo.
Lo lleva a cabo con sus célebres cuatro argumentos contra el movimiento. Estos
argumentos intrigaron profundamente a sus contemporáneos y a los pensadores
posteriores. Se tenía la impresión de que esos argumentos no podían ser válidos, pero
resultaba muy difícil encontrarles los fallos, pues ni la ciencia lingüística, ni la lógica, ni
la matemática habían alcanzado la madurez suficiente para ello. Pero el análisis de los
argumentos dialécticos de Zenón, al igual que el de los más positivos de su maestro,
sería una de las motivaciones que conducirían al posterior nacimiento de la lógica.
Los filósofos anteriores (milesios, pitagóricos, Heráklitos) habían presentado sus
intuiciones y especulaciones de un modo directo, confiados en su aceptables ideas
íntimas y esenciales.
Los eleáticos, Parménides y Zenón, fueron los primeros en argumentar, en ofrecer
pruebas para explicar sus ideas y tesis. En Zenón, la argumentación se presenta tal y
como él la ve, basada principalmente en la lógica y en la filosofía (por defectuosa que
ésta fuera) y no por ello menos eficaz. El hecho de encontrar fallos en sus explicaciones
o argumentos no es importante ya que no podemos olvidar que en Zenón encontramos,
por primera vez, argumentaciones.
Entre sus argumentos mas importantes destacan:
□ Argumento del estadio.- Un corredor no podrá recorrer una distancia concreta en toda
su vida, ya que ésta se descompone en infinitos intervalos sucesivos de longitud, cada
uno de los cuales ha de ser recorrido antes de recorrer el siguiente... y sin que nunca se
llegue a recorrer el último, pues no lo hay (ya que la sucesión de intervalos es infinita)
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□ Argumento de la flecha.- Similar al anterior.
□ Argumento de Aquiles y la tortuga
Según este argumento, el más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca
al más lento de los animales, la tortuga, si se da a ésta una ventaja inicial en una
carrera. Pues, mientras Aquiles recorre el camino que la tortuga llevaba por la
mencionada ventaja inicial, la tortuga habrá recorrido otra porción, aunque más
pequeña. Cuando Aquiles haya llegado a recorrer esta última porción de camino, la
tortuga habrá avanzado otra porción más pequeña, y así la tortuga llevará siempre la
ventaja hasta en espacios infinitamente pequeños, con lo cual, Aquiles no podrá
alcanzarla nunca.
Con estos argumentos, Zenón combate la doctrina de la escuela pitagórica que afirmaba
que los números gobiernan el mundo, que todo guarda una relación basada en números.
Se puede probar matemáticamente la "falsedad" del argumento de Zenón. Veamos un
razonamiento tomado de la página del profesor Bert Wachsmuth de la Universidad de
Seton Hall en USA.
Para matemáticos más avezados
¡Efectivamente, Aquiles alcanza a la tortuga!
Y lo podemos probar haciendo uso del propio razonamiento de Zenón. Veámoslo.
Suponemos que ambos deben recorrer una distancia de 100 metros y que Aquiles da a la
tortuga una ventaja de 10 metros. Supondremos también que Aquiles corre a una
velocidad de 10 metros por segundo y la tortuga lo hace a 5 metros por segundo.
Si seguimos el razonamiento de Zenón tendremos lo siguiente:
En el instante inicial t0  0 seg la diferencia entre Aquiles y la tortuga es de 10 metros:
para t0  0 seg la diferencia es 10 
10
m
20
2
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Una vez transcurrido un segundo, es decir en el instante t1  1 seg , Aquiles habrá
recorrido 10 metros y estará en el punto 10, y la tortuga habrá recorrido 5 metros y
estará en el 15. La diferencia entre ambos es ahora 5 metros. Es decir:
para t1  1 seg la diferencia es 5 
10
m
21
1
seg . Aquiles
2
habrá recorrido 5 metros más y estará en el punto correspondiente a los 15 metros y la
tortuga habrá recorrido solamente 2.5 metros más estando en el punto 17.5. La
diferencia entre ambos es de 2.5 metros:
Si ahora transcurre medio segundo más estaremos en el instante t2  1 
para t2  1 
1
10 10
seg la diferencia es 2.5  2 =
m
2
2
4
Más adelante habrá transcurrido un cuarto de segundo más y estaremos en el instante
1 1
t3  1   seg . Aquiles habrá cubierto 2.5 metros más y estará en el lugar que marca
2 4
los 17.5 metros mientras que la tortuga habrá recorrido 1.25 metros y se encontrará en el
punto 18.75. La diferencia entre los dos es ahora de 1.25 metros.
1 1
10 10
para t3  1  + 2 seg la diferencia es 1.25  3 =
m
2 2
2
8
De nuevo avanzamos; ahora habrá transcurrido un octavo de segundo más y el tiempo
1 1 1
desde la salida será t4  1   + seg . Ahora Aquiles está en el punto 18.75 metros
2 4 8
pues en 1/8 de segundo recorre 1.25 m. La tortuga también habrá avanzado, pero sólo
0.625 metros y está en el lugar 19.375 metros. La diferencia se ha reducido a 0.625
metros.
1 1 1
10 10
para t3  1  + 2 + 3 seg la diferencia es 0.625  4 =
m
2 2 2
2 16
Y así sucesivamente, de tal modo que en el instante:
1 1 1
1
tn  1  + 2 + 3 +...+ n seg
2 2 2
2
la diferencia entre la tortuga y Aquiles será cada vez más pequeña y en el instante tn
será exactamente de
10
m
2n
Si ahora hacemos la siguiente operación:
1
1
tn  t n  tn
2
2
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tenemos:
1 1 1
1 1 1 1
1
1
1   2  3  ...  n   2  3  ...  n 1  1  0  0  ...  0  n 1
2 2 2
2 2 2 2
2
2
Es decir:
1
1
1 

tn  1  n 1  tn  2  1  n 1 
2
2
 2 
Por tanto, si nos damos cuenta, cuanto más grande es n, más nos aproximamos a los 2
segundos de carrera y la diferencia entre ambos contendientes es más pequeña (lo
puedes comprobar con tu calculadora). Todo esto nos lleva a concluir que Aquiles
alcanzará a la tortuga cuando hayan transcurrido 2 segundos de carrera en el lugar
correspondiente a los 20 metros. En efecto, si conoces el concepto de límite, basta tomar
límites:
1 

lim tn  lim 2 1  n 1   2 seg
n 
n 
 2 
y a la vez la distancia:
10
0 m
n 2 n
lim
Por tanto podemos concluir que Aquiles ha alcanzado a la tortuga cuando han
transcurrido 2 segundos y ambos están situados en el punto 20 del recorrido. A partir de
aquí Aquiles va ganando terreno.
Y lo hemos hecho utilizando el mismo razonamiento que Zenón.
Este razonamiento es una adaptación del que ofrece el profesor Bert Wachsmuth, de
Seton Hall en New Jersey.
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