2.1 La parabola

La parábola.
La parábola como lugar geométrico.
La parábola es el lugar geométrico que se forma con todos los puntos que se encuentran a
la misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz, como se
muestra en la siguiente figura.
Elementos de la parábola:
V= Vértice.
D
B
F= Foco.
1
BC = Longitud del lado recto (LLR).
V1
F
D = Recta fija llamada directriz.
C
Ecuación ordinaria de la parábola con su vértice en el origen.
Para que un punto forme parte de una parábola, se debe cumplir que se encuentre a la
misma distancia de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.
P(x, y)
R(-p,0)
1
-p (0,0)
1
F(p,0)
dRP = dPF Usando la fórmula de distancia entre dos puntos tenemos:
d= (x 2 − x 1 ) + (y 2 − y 1 ) 2 sustituyendo las coordenadas y elevando al cuadrado.
2
( (x − ( − p)) 2 + (y − 0) 2 )2 =( (x − p) 2 + (y − 0) 2 )2
(x+p)2+y2=(x-p)2+y2
x2+2px+p2=x2-2px+p2+y2 Ordenando términos tenemos:
x2+2px+p2 -x2+2px-p2= +y2 agrupando términos semejantes
semejantes.
4px = y2
y2= 4px
La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes de la parábola así como su ecuación.
y2=4px
x2=4py
V(0,0)
V(0, 0)
F(p, 0)
F(0, p)
LLR=| 4p|
LLR=| 4p|
Directriz x= -p
Directriz y= -p
y2= -4px
V(0, 0)
F(-p,
p, 0)
LLR=| 4p|
Directriz x= p
x2=-4py
V(0, 0)
F(0, -p)
LLR=| 4p|
Directriz y= p
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Dada la ecuación de la parábola y2= -20x,
20x, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la
longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.
De la ecuación:
y2= -20x
la comparamos con:
con
y2= -4px obtenemos que:
-20=-4p
p=
− 20
−4
p=5
V(0, 0)
F(-p,0) = (-5, 0)
LLR= | 4p| = | 4(5)| = | 20|=20
Directriz x= p x=5
Ejemplo 2.
Dada la ecuación de la parábola x2= 8y, encontrar las coordenadas del vértice, foco, la
longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.
De la ecuación x2= 8y la comparamos con:
con
x2= 4py obtenemos que:
8=4p
p=
8
4
p=2
V(0,0)
F(0, p)= (0, 2)
LLR=| 4(2)| = 8
Directriz y= -p y=-2
Ecuación ordinaria de la parábola con el vértice fuera del origen.
Si la parábola no tiene su vértice en el origen del sistema coordenado y lo tiene en el punto
V(h, k) como se muestra en la siguiente figura:
La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes y de la ecuación ordinaria de la
parábola
bola con vértice fuera del origen.
(y--k)2= 4p(x-h)
(x-h)2= 4p(y-k)
V(h, k)
V(h, k)
F(h+p, k)
F(h, k+p)
LLR=| 4p|
LLR=| 4p|
Directriz x= h-p
h
Directriz y= k-p
(y--k)2= -4p(x-h)
(x-h)2= -4p(y-k)
V(h, k)
V(h, k)
F(h k)
F(h-p,
F(h, k-p)
h
k
V(h,k)
LLR=| 4p|
LLR=| 4p|
Directriz x=h+p
x=h+
Directriz y= k+p
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Dada la ecuación de la parábola (y +3)2= -10(x-1),
1), encontrar las coordenadas del vértice,
foco, la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.
Si comparamos las siguientes ecuaciones tenemos que:
(y +3)2= -10(x-1),
(y-k)2= -4p(x-h)
-k =3 → k =-3
-h = -1 → h =1
-4p = -10
p=
− 10
p = 2.5
−4
Por lo que:
V(h, k) = V(1,-3)
F(h-p, k) F( 1-2.5, -3) F(-1.5,
1.5, -3)
LLR =| 4p|
LLR =|4(2.5)|
LLR =10
Directriz x =h + p x =1+2.5=
x =3.5
Ejemplo 2.
Dada la ecuación de la parábola (x +3)2= 8(y-5),
5), encontrar las coordenadas del vértice, foco,
la longitud del lado recto, la ecuación de la directriz y graficar.
Si comparamos las siguientes ecuaciones tendremos que:
(x +3)2= 8(y-5)
(x-h)2= 4p(y-k)
-h =+3 → h =-3
-k =-5 → k =5
4p=8
p=
8
=2
4
V(h, k) = V(-3, 5)
F(h, k +p)= F(-3, 5+2) = F(-3,
3, 7)
LLR =| 4(2)| =8
Directriz y = k-p y = 5-2=
2= y =3
Ecuación general de la parábola.
La ecuación general de la parábola es la que se obtiene al desarrollar el binomio al
cuadrado, agrupar términos e igualar a cero. Quedando una ecuación de la forma:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey +F=0
Ejemplo 1.
Convertir a su forma general la siguiente ecuación. (y+2)2=10(x-3).
(y+2)2=10(x-3).
Desarrollamos el binomio cuadrado.
y2+ 4y +4=10(x-3) Multiplicamos por 10el segundo binomio.
y2+ 4y +4= 10x-30 Igualamos a cero la ecuación.
y2 +4y+4-10x+30=0 Ordenamos términos.
y2-10x+ 4y +34=0
Ejemplo 2.
Dada la ecuación general de la parábola x2-18x-6y+69=0, pasarla a su forma ordinaria y
graficarla encontrando las coordenadas del vértice, foco, LLR y ecuación de su directriz.
Como la ecuación contiene al termino
tendrá una forma:
x2
(x-h)2= 4p(y-k) Para lo cual debemos de
ordenar los términos de la siguiente manera:
x2-18x = +6y-69. Del lado izquierdo de la
igualdad completaremos el trinomio cuadrado
perfecto. Pero para ello se requiere agregar a
ambos miembros de la igualdad el número 81,
dicho número se obtiene de dividir 18/2 y al
resultado de este cociente se eleva al
cuadrado.
Con los valores de h, k y p.
Determinamos lo siguiente:
V(h, k)= V( 9,-2)
F(h, k+p)= F(9,-2+1.5)= F(9,-0.5)
LLR= | 4p|
= | 4(1.5)|
=6
Directriz y = k-p y =-2-1.5=
y =-3.5
x2-18x+81 = +6y-69+81
(x-9)2= 6y+12 Factorizando tenemos:
(x-9)2=6(y+2) y a partir de su ecuación
obtendremos los demás elementos.
x
(x-h)2= 4p(y-k) al comparar las ecuaciones
obtenemos que:
-h =-9 → h =9
-k =2 → k =-2
4p=6
p=1.5
p =6/4
y =-3.5