TOPOGRAFÍA 1.2.- Escala. Escalas numéricas, escalas gráficas

TOPOGRAFÍA
1.2.- Escala.
Escalas numéricas, escalas gráficas.
Límite de percepción visual y su relación con la escala, situación actual.
La escala
Se denomina escala numérica, o simplemente escala, al cociente, factor o coeficiente que
representa la relación entre la medida que aparece en un plano o mapa, y su verdadera magnitud o
medida real.
Escala =
Dimensión en plano / dimensión en la realidad
Siendo la dimensión horizontal entre dos puntos del terreno M-N y de ese mismo segmento
representado en un plano m-n.
Tendríamos que Escala = (m-n) / (M-N)
Dividiendo ambos términos por (m-n), tendríamos que
Escala = 1 / [(M-N)/(m-n)]
A esta razón, (M-N)/(m-n) se la denomina módulo de la escala.
Reciben el nombre de mapas de gran escala o pequeña escala en razón a que el denominador de
la escala, o módulo de la escala, sea menor o mayor. Así tenemos mapas de pequeña escala hasta el
1:100.000, de escala mediana hasta 1:10.000 y de gran escala en adelante. Si el módulo de la escala
es aún menor, reciben el nombre de planos topográficos y planos técnicos a partir de 1:2.000.
Para una mayor y más rápida comprensión
del plano, y por otra parte como recurso ante la
facilidad de hoy día en el proceso de copias,
reducciones y trazado por plotter, se coloca al
pie del plano la denominada escala gráfica, la
cual no es más que la representación lineal, con
medidas y números de referencia de un trazo
con una longitud determinada.
Escalas
gráficas
Se admite que la vista humana tiene
posibilidad de separación o de percibir hasta 1/4
de milímetro y distinguirla de 1/5 de mm. Esta cantidad de 0'20 mm se denomina límite de percepción
visual, estando íntimamente ligado a la escala. En un plano resulta imposible representar magnitudes
inferiores al valor del producto del módulo de la escala por 0'20.
Sea un plano a escala 1:5.000, tomamos 5.000 x 0'20 = 1.000 mm. , dado que 1.000 mm = 1m ello
nos lleva a la consideración de que todos los detalles de dimensión 1m o inferior no tendrían posibilidad
de representación gráfica en el plano. Sería inútil tomar estos datos en el terreno debido a la imposibilidad
de su representación (evidentemente a esa escala). En caso de precisarse el detalle habría que recurrir
al empleo de una escala mayor, bien de todo el plano o de ese detalle específico.
En la actualidad con los sistemas informatizados y procedimientos de C.A.D.(dibujos vectoriales),
son los propios sistemas los que cambian el factor de escala a la hora de lanzar un plano al plotter,
simplifican y eliminan de la representación todo este detalle inferior a 0'20 x módulo de escala, aunque
dispongan de los datos, y al utilizar un factor de escala mayor nuevamente aparecerá. Igualmente sucede
al utilizar el ZOOM en pantalla.
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Definiciones y conceptos
Medir significa comparar y determinar el número de veces que una unidad o patrón está contenida en
el elemento que medimos.
Medidas directas son aquellas que se consiguen por la yuxtaposición de un elemento comparador con
el objeto a medir. Se deducen por un recuento directo. Su precisión está directamente ligada, en primer
lugar, a la apreciación del útil de medida, y en segundo lugar al método usado.
Ejemplo: cintas métricas, flexímetros, círculo graduado, etc.
Medidas indirectas son aquellas que no se producen por un contacto, al menos tangible, entre el objeto
a medir y el útil o instrumento de medida. Se deduce por una relación de semejanza o proporcionalidad:
por el ajuste del ocular de un anteojo y la apertura de campo, o por el recuento en una unidad de tiempo
de un determinado número de ondas, bien por rebote bien por el tiempo de transmisión. El método usado
tiene una gran importancia a la hora de dilucidar la precisión. Ejemplos: estadías, E.D.M., Láser, G.P.S.,
etc.
Precisión es el grado de aproximación de una medida a la realidad o verdadera medida de un elemento.
Ésta se alcanza en mayor o menor grado, en primer lugar, por la mayor o menor apreciación del útil o
instrumento de medida, y en segundo lugar por el método empleado, repeticiones, series, medias,
compensaciones, etc. Se cuantifica por el grado de error.
Error es la diferencia entre la medida real, cierta o exacta y la que nos es posible hacer con un útil o
instrumento.
Exactitud es la corrección de resultados, es decir, que éstos estén exentos de equivocaciones.
Equivocación es tomar como valor de una medida uno que no es, tomar o anotar otro distinto.
Tolerancia es el valor límite del error o el error máximo admitido al realizar una medición.
Metrología
La Metrología tiene por objeto el estudio y desarrollo de la normativa de aplicación en el ámbito de la
medida, establecer los procesos de disipación de la ambigüedad de las unidades patrón, y la corrección
de los útiles e instrumentos que determinarán la medida.
En el año 1967 se promulga la Ley de Pesas y Medidas que establece en España el Sistema
Internacional de Unidades (SI), creándose la Comisión Nacional de Metrología y Metrotecnia. En 1985
se promulga la Ley de Metrología, ley que determina las unidades legales de medida, su materialización
y la obligatoriedad de su utilización, en conformidad con los acuerdos de la Conferencia General de
Pesas y Medidas (Sévres). Establece el control metrológico por parte del Estado y crea el Centro
Español de Metrología con las siguientes misiones:
'Obtención, conservación, desarrollo y difusión de las unidades básicas de medida y de
los patrones primarios de calibración; la aprobación de los modelos y la verificación primitiva de los
instrumentos, aparatos, medios y sistemas de medida; la ejecución de los controles metrológicos
del Estado y de la CEE; la realización de estudios y análisis de carácter metrológico, así como la
ordenación técnica y administrativa de estas actividades, y, en general, el desarrollo de las
funciones que las disposiciones legales vigentes atribuyen a la Administración del Estado en el
campo de la Metrología'.
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1.3.- Unidades de medida en Topografía
De acuerdo al marco correspondiente al Sistema Internacional de Unidades tenemos:
Unidad SI básica de longitud: metro.
Unidad SI suplementaria: radián.
Unidad SI derivada, en superficie: m2
Unidad SI derivada, en volumen: m3.
Todas ellas con sus múltiplos y submúltiplos.
No obstante en topografía de aplicación no oficial es frecuente, de acuerdo a la influencia de la
zona, encontrar algún otro tipo de medida (medidas antiguas) tanto para las longitudes como para las
superficies y volúmenes, siendo bastante usual el tener que recurrir a tablas de conversión, sobre todo
al tratar con costumbres y tradiciones antiguas.
Igualmente ocurre para aquellas zonas o países que no están sujetas al SI, lo que implicaría
también el realizar las correspondientes conversiones.
Unidad de longitud
La unidad de longitud, el metro (m), es la longitud del trayecto recorrido en el vacío por la luz
durante un tiempo de 1/299.792.458 segundos.
En cuanto a los múltiplos y submúltiplos, tenemos de acuerdo al SI:
Múltiplos
Submúltiplos
Factor
Prefijo
Símbolo
Factor
Prefijo
Símbolo
1018
exa
E
10-1
deci
d
1015
peta
P
10-2
centi
c
1012
tera
T
10-3
mili
m
109
giga
G
10-6
micro
:
106
mega
M
10-9
nano
n
103
kilo
k
10-12
pico
p
102
hecto
h
10-15
femto
f
101
deca
da
10-18
atto
a
Lo usual en Topografía es tomar los tres inmediatos a la unidad patrón: decámetro, hectómetro,
kilómetro, y decímetro, centímetro, milímetro. Los demás no son usuales.
Es usual al referirnos a la tolerancia o a la certeza de una medida, el utilizar las siglas ppm, que
significan partes por millón, en sentido acumulativo. Así tendremos que al realizar una visual con un
aparato que tiene una precisión de ± 5 mm. más 3 ppm. obtendremos una dispersión en la medida de
± 5 mm más 3 mm por cada millón de mm medidos (1 kilómetro).
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Unidad angular
En cuanto a la unidad angular, no es el radián la más usual en la toma de la medida, y aunque sí
lo es en el cálculo actual debido fundamentalmente a los procesos de cálculo informatizado y
calculadoras, no es así en la toma de datos y lecturas de instrumental, siendo la división en 400 partes
de la circunferencia ideada por Porro (centesimal) la más utilizada, sobre todo en nuestro ámbito cercano.
Otras división también utilizada es el sistema sexagesimal que divide al ángulo completo o
circunferencia en 360 partes llamadas grados, éste a su vez en 60 partes llamadas minutos y el minuto
en sesenta segundos. De tal forma que tendríamos que un ángulo completo valdría:
360º 3 360 x 60 = 21.600' 3 360 x 60 x 60 = 1.296.000"
Un derivado de este sexagesimal es el sistema decimal o sexagesimal-decimal que consiste en
dividir el grado sexagesimal en 100 partes llamadas minutos y éste a su vez en 100 partes llamadas
segundos siendo usual en los sistemas de C.A.D. actuales, en las calculadoras portátiles, y en Geodesia.
Así tendríamos que el ángulo completo en este sistema valdría:
360º 3 360 x 100 = 360.000 minutos decimales 3 360 x 100 x 100 = 3.600.000 segundos
decimales
En cuanto a la división de Porro (llamado sistema centesimal), el más actualizado, el grado
resultante de dividir el ángulo completo en 400, se divide a su vez en 100 minutos y este en 100
segundos. Actualmente un grado en este sistema centesimal recibe también el nombre de gon, si bien
aún no está admitido por la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas.
Al dividir el ángulo completo, tendríamos:
400g
3 400 x 100 = 40.000m minutos centesimales 3 4.000.000s segundos centesimales
1 gon = [B / 200] radianes
Existen otras divisiones angulares como la milesimal, o milésima artillera, que tal como se deduce
del nombre se usa entre la frontera de lo militar y lo topográfico.
La equivalencia entre las unidades anteriormente expuestas y el radián, sería en cada caso la
siguiente:
1 radián es igual a
1.296.000/(2B) = 206.265 "
1 radián es igual a
3.600.000/(2B) =572958 sd
1 radián es igual a
4.000.000/(2B) = 636.620 s
Cantidades que utilizaremos al determinar el error angular de estima de los instrumentos.
Unidad de superficie y volumen.
Tal como señalábamos, en el SI se señala dentro del marco de unidades derivadas, en superficie
el m2 y en volumen el m3, aplicándoseles también lo que respecta a múltiplos y submúltiplos.
Superficie
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Submúltiplos
1 mm2 = 0'000001 m2 = 10-6 m2
1 cm2 = 0'0001 m2
= 10-4 m2
2
2
1 dm = 0'01 m
= 10-2 m2
UNIDAD
1 m2
Múltiplos
1 dam2 = 100 m2
1 hm2 = 10.000 m2
= 102 m2
= 104 m2
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1 km2
= 1.000.000 m2 = 106 m2
Por la relación directa que tiene la Topografía con la Agrimensura, es usual utilizar denominaciones
de unidades superficiales de ámbito agrícola tales como centiárea (ca), área (a) y hectárea (Ha), llamadas
medidas agrarias. Su equivalencia en m2 es:
1 ca.
1 a.
1 Ha
=
=
=
1 m2
100 m2
10.000 m2
= 1 dam2
= 1 hm2
Quiero también señalar que al referirnos a estas medidas agrarias, siempre lo haremos en base
a su proyección horizontal, y nunca siguiendo las sinuosidades del terreno. En relación a esto que
hemos indicado es por lo que la superficie agraria recibe también el nombre de superficie legal.
En cuanto a las unidades de volumen, tenemos:
Submúltiplos
1 mm3 = 0'000000001 m3
1 cm3 = 0'000001 m3
1 dm3 = 0'001 m3
unidad
1 m3
Múltiplos
1 dam3 = 1000 m3
1 hm3 = 1.000.000 m3
1 km3 = 1.000.000.000 m3
Recibiendo el nombre de volumen de desmonte cuando el volumen de terreno es retirado o
excavado, y volumen de terraplén cuando se aporta.
1.3.- Tipos de errores. Concepto de Tolerancia. Distribución de los errores
Concepto de error
Al inicio del tema, al definir la precisión, indicábamos que ésta se cuantificaba por el mayor o menor
grado de error, siendo el error la diferencia entre la medida real, cierta o exacta y la que nos es posible
hacer con un útil o instrumento. Y que a medida que el instrumento era más preciso este error tendía a
disminuir, distinguiéndolo de la equivocación que como ya decíamos es tomar una cosa por otra distinta.
Siendo que cuando el error no supera un valor prefijado este es aceptado, este valor limite recibe el
nombre de tolerancia.
Por ello tendremos medida exacta o perfecta, la que corresponde a una determinación, a la cual
tendemos con nuestra toma de medidas pero cuyo conocimiento es una utopía. Y a la que nos
acercaremos con mayor o menor grado de error.
En este acercarnos a la medida exacta, analizamos la posibilidad de que se produzcan dos posibles
tipos de errores, los sistemáticos y los accidentales o aleatorios.
Errores sistemáticos son aquellos que se producen invariablemente a la toma de medida, es una
causa permanente, y como tal evitable hoy dia con el control de calidad. Ejemplo una cinta que tiene 2
cm. de mas o ha estirado etc.
Errores aleatorios o accidentales, son aquellos que se producen de forma espontánea y sobre
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los que no se tiene posibilidad de control, aunque sí de reducción.
Ejemplo: mirar de forma lateral por un ocular, un cambio de temperatura no controlado, utilizar con
más o menos tensión una cinta. Todos ellos con un proceso bien de eliminación en una repetición
sucesiva, una media, etc. pueden controlarse si no corregirse.
Otra clasificación posible es el error verdadero y error aparente. El error verdadero es la diferencia
entre el valor real y nuestra medición, pero como la magnitud real no es posible conocerla, el error
verdadero tampoco, y este error será siempre un error aparente.
También se puede hablar de error absoluto y error relativo. El error absoluto es la diferencia entre
la medida cierta, o que tomamos como cierta y el valor medido, mientras que el error relativo es el
cociente entre el error absoluto y el valor real (o que se admite como tal). Éste se expresa en tantos por
cientos.
Distribución del error
Valor más probable, error probable, error medio aritmético y error medio cuadrático.
Dado que en una repetición de medidas, éstas tienden a acercarse al valor verdadero, se toma
como valor más probable a la media aritmética de las medidas efectuadas. De otra forma también
tenemos que para que la suma de errores tienda a anularse, y de acuerdo a la teoría de máximos y
mínimos, podemos también definir como valor más probable aquel para el cual la suma de los cuadrados
de los errores es mínima.
Si se ponen todos los errores de forma ordenada y en valor absoluto, se denomina error más
probable al que queda en el centro de la serie.
La media de los errores verdaderos o aparentes, es el error medio aritmético.
El error medio cuadrático es la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de los errores
aparentes o verdaderos.
Curva de Gauss
Al llevar los diferentes resultados de error a una gráfica, se observa que todos ellos vienen a
distribuirse según una curva semejante a la conocida como curva de Gauss, también llamada campana
de Gauss. El centro de la curva corresponderá al valor cero, y se demuestra que los puntos de inflexión
corresponden al error medio cuadrático, denotándose también más frecuencia de puntos que convergen
al centro.
Definíamos también al inicio que la tolerancia
era el error límite admisible, ello se analiza en la
campana de Gauss, y si es normal tomar un valor
para la tolerancia en el entorno de 2.5 veces el error
medio cuadrático, observamos que en la curva ello
supone una probabilidad del 1%. Es por ello que
calculado el error medio cuadrático de una serie de
medidas deben desecharse aquellas cuyo error
exceda de 2.5 veces ese error.
Curva de Gauss
Concepto de error de cierre.
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Compensación del error.
Compensación por mínimos cuadrados
Al realizar una medición o una serie de mediciones que convergen, se denomina error de cierre
a la diferencia entre el valor final obtenido y el valor verdadero. Si este error se reparte de forma
proporcional a los valores de las medidas efectuadas, habremos realizado una compensación de los
valores participantes en el resultado final obtenido.
Para compensar los valores que definen una medición en la cual se ha determinado un error de
cierre, podemos utilizar diferentes modelos matemáticos, unos proporcionales a distancias, otros
proporcionales a ángulos, simples medias o divisiones o recurrir a un análisis de máximos y mínimos,
realizando una reducción por mínimos cuadrados, ya señalábamos que el valor mas probable de una
magnitud medida era aquella que hacia mínima la media de los cuadrados de los errores aparentes.
Límite de un plano topográfico.
Error lineal y error superficial.
Influencia de la curvatura terrestre en Planimetría y Altimetría
Dado que la curvatura terrestre influye de forma distinta en los levantamientos planimétricos y
altimétricos, su estudio se ha realizado siempre separadamente. No obstante, hoy día, debido
fundamentalmente al potente instrumental y los procesos de cálculo informatizado, suelen llevarse
conjuntamente la planimetría y la altimetría.
Influencia de la curvatura terrestre en la planimetría
Analizamos en este caso la diferencia entre la longitud de la tangente y la cuerda de un
determinado arco de superficie terrestre. Estas diferencias nos expresarán el error cometido o influencia
de la curvatura.
En planimetría analizaremos la influencia de la curvatura terrestre en el sentido de los lados del
levantamiento, en la superficie del terreno levantado y en su
perímetro.
Supuesto un arco A-B de círculo máximo de la esfera
terrestre, admitiendo además que dicha superficie se levanta
tomando como plano de proyección la tangente a su centro
y con dirección al centro de la tierra.
En la figura, vemos como los puntos A y B se
proyectan sobre la tangente en a y b según el sistema de
proyección de planos acotados, mientras que la proyección
según la vertical al centro de la tierra seria a’ y b’ y por tanto
el error cometido sería a’-a y b-b’
Podemos expresar el error que se comete al proyectar
un arco de círculo máximo A-B de la siguiente forma:
E = (A-B)3/ (12R2)
Arco de Meridiano
Siendo R = radio de la tierra = 6.370 km.
Si tomamos valores, deducimos que por ejemplo para una distancia de 1.000 m cometemos un
error de 1 cm. ,expresamos la precisión d/D 0'01/1.000 ó 1/100.000, entendiéndose como mediciones
de alta precisión aquellas que corresponden al entorno de 10-5. Este nivel se alcanza en longitudes de
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Influencia de la curvatura en planimetria.
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