8.3. La función Γ de Euler

8.3 La función Γ de Euler
8.3.
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La función Γ de Euler
Se define la función Γ(x) como
Γ(x) =
!
∞
dt tx−1 e−t .
(8.3)
0
Una definicion válida solamente si x > 0, cuando la integral es convergente.
8.3.1.
Integrando por partes se encuentra la propiedad fundamental de esta
función:
(8.4)
Γ(x + 1) = xΓ(x)
Algunos valores se encuentran por teorı́a básica de integración. Ası́, por ejemplo, Γ(1) =
Γ(2) = 1. Tambı́en se ve que la integral diverge para x = 0, de manera que lı́mx→0 Γ(x) =
∞. El valor de la función Γ(x) para cualquier x > 1 se puede reducir al de algún
valor en el intervalo (0, 1). Por ejemplo, para calcular Γ(4,2) utilizamos repetidamente la propiedad fundamental: Γ(4,2) = Γ(3,2 + 1) = 3,2Γ(3,2) = 3, 2 × 2,2Γ(2,2) =
3,2×2,2×1,2Γ(1,2) = 3,2×2,2×1,2Γ(0,2). En particular si n es un número natural positivo se obtiene Γ(n+1) = nΓ(n) = n(n−1)Γ(n−2) = · · · = n(n−1) · · · 2Γ(1) = n!.
De manera que la función Γ(x + 1) coincide con el factorial de x si x es un número
natural. Por extensión, se escribe a veces Γ(x + 1) = x!.
Otros valores se obtienen mediante un cambio de variables. Por ejemplo, para hacer
Γ(1/2) hacemos el cambio de variable t = v 2 ,
8.3.2.
lo que lleva a Γ(1/2) = 2
integral gaussiana.
"∞
0
2
dv e−v =
√
π, utilizando la conocida
8.3.3.
Si x = n + 1/2, siendo n un número natural, la iteración de la regla
básica lleva a
(2n)!
(2n)! √
Γ(n + 1/2) = 2n Γ(1/2) = 2n
π
2 n!
2 n!
Todo esto permite dibujar bastante bien la función Γ(x) para x > 0. El resultado es:
58
In[3]:=
Plot@Gamma@xD, 8x, 0, 5<D
15
Out[3]=
10
5
1
2
3
4
5
El mı́nimo está en x = 1,4616321449683622 . . . .
No podemos usar la definición (8.3) para x ≤ 0 porque la integral no existe en ese
intervalo de x, pero sı́ podemos usar la propiedad básica (8.4), leı́da en la forma:
Γ(x) =
Γ(x + 1)
x
para definir la función para x < 0. Por ejemplo, para definir Γ(−2,5) usamos reiteradamente esta fórmula:
Γ(−2,5) =
Γ(−1,5)
Γ(−0,5)
Γ(0,5)
8√
=
=
=−
π.
−1,5
−2,5 × (−1,5)
−2,5 × (−1,5) × (−0,5)
15
Esto permite definir la función Γ(x) para todo número x &= 0, −1, −2, −3, . . . .
8.3.4.
Se cumple lı́mx→−n+ Γ(x) = (−1)n ∞ y que lı́mx→−n− Γ(x) = (−1)n+1 ∞.
La gráfica completa de la función Γ(x) es ası́:
8.3 La función Γ de Euler
In[15]:=
59
Plot@Gamma@xD, 8x, - 5, 5<D
10
5
Out[15]=
-4
-2
2
4
-5
-10
Por último, vamos a calcular la derivada de la función Γ(x). Derivando bajo el signo
integral, obtenemos:
! ∞
$
Γ (x) =
dt tx−1 ln t e−t
0
Conviene definir la función Ψ(x) =
8.3.5.
$
Γ (x)
, la derivada logarı́tmica de la función Γ.
Γ(x)
Esta función verifica Ψ(x + 1) =
1
x
+ Ψ(x).
Esto nos dice que la derivada Γ$ (x) para cualquier valor de x &= 0, −1, −2, −3, · · · se
puede
a partir de un valor en el intervalo (0, 1]. Ası́, por ejemplo, Γ$ (1) =
" ∞ calcular
dt ln t e−t = −γ con γ = 0,5772166649015329..., la llamada constante de Euler.
0
Para x = n, un número natural, se puede iterar Ψ(n + 1) = n1 + Ψ(n)
para llegar a Ψ$ (n + 1) = Hn − γ, de donde Γ$ (n + 1) = n!(Hn − γ). Aquı́ Hn =
1 + 12 + · · · + n1 , es la serie armónica.
8.3.6.
Por último, deduciremos un resultado asintótico para la función Γ(x). Se parte de la
integral:
! ∞
! ∞
x −t
Γ(x + 1) =
dt t e =
dt e−f (t,x)
(8.5)
0
0
con f (t, x) = t − x ln t. Esta función tiene un mı́nimo en t = x y se puede desarrollar
2
como f (x, t) = x − x ln x + (t−x)
+ O(t − x)3 . Sin entrar en detalles, diremos que
2x
cuando x es grande esta aproximación permite calcular la integral con precision ya que el
integrando es una función muy picuda centrada alrededor de t = x. Veamos la evidencia
para x = 10 y x = 100 en la figura:
60
In[35]:=
In[38]:=
Plot@8Exp@- t + 10 Log@tDD, Exp@- 10 + 10 Log@10D - 1 ê 20 Ht - 10L ^ 2D<,
8t, 0, 20<, PlotRange Ø AllD
Plot@8Exp@- t + 100 Log@tDD, Exp@- 100 + 100 Log@100D - 1 ê 200 Ht - 100L ^ 2D<,
8t, 0, 200<, PlotRange Ø AllD
3.5 µ 10156
400 000
3.0 µ 10156
2.5 µ 10156
300 000
Out[38]=
Out[35]=
2.0 µ 10156
1.5 µ 10156
200 000
1.0 µ 10156
100 000
5.0 µ 10155
50
5
10
15
Ası́, podemos calcular la integral como
! ∞
!
(t−x)2
−x+x ln x− 2x
−x+x ln x
x! ≈
dt e
=e
−∞
100
150
200
20
∞
dt e−
(t−x)2
2x
√
√
= xx e−x 2xπ = 2πxx+1/2 e−x
−∞
que es la celebrada aproximación de Stirling. La aproximación es bastante buena para
x no necesariamente muy grande. Por ejemplo, para x = 10 el resultado exacto es
10! = 3628800, mientras que la fórmula de Stirling da x! ≈ 3,5987 × 106 , con un error
inferior al 1 %.
Esta fórmula se puede mejorar (y empeorar). Una fórmula peor se puede deducir
me#
diante una manera sencilla ideada por el fı́sico ruso"Landau. Escribimos ln n! = nk=1 ln k
n
y aproximamos la suma por una integral ln n! ≈ 1 dx ln x = x ln x − x|n1 = n ln n −
n + 1 o, para n grande ln n! ≈ n ln n − n, que es peor que la fórmula de Stirling,
pero suficientemente buena en algunos casos. Por ejemplo, para n = 10 da ln n! ≈
10 ln 10 − 10 = 13,0258 . . . a comparar con el resultado exacto ln 10! = 15,1044 . . . .
La fórmula de Stirling da ln 10! ≈ 15,096 . . . . Para n = 100 el resultado de Landau es
ln 100! ≈ 360,517 . . . , mientras que el de Stirling es ln n! ≈ 363,73854 . . . , a comparar
con el valor exacto ln 100! = 363,739375 . . . .