Tema 6 Aproximación con Funciones Racionales y Trigonométricas

MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Tema 6
Aproximación con Funciones
Racionales y Trigonométricas
OBJETIVOS
Familiarizarse con los métodos numéricos de
interpolación racional
Manejar aproximación de funciones periódicas
Aprender a usar Matlab para
problemas que involucren interpolación
resolver
Tema 6
Aproximación con Funciones
Racionales y Trigonométricas
TEMAS
Tipos de interpolantes
interpolantes.. Interpolación racional,
método de Padé
Padé,, error de truncación, comparación
con la interpolación polinómica
polinómica.. Funciones periódicas
periódicas..
Serie trigonométrica de Fourier, componentes y
armónicas, cálculo de los coeficientes
coeficientes.. El fenómeno
de Gibbs
Gibbs.. Forma Compleja de la Serie de Fourier
Fourier,,
Espectros de Frecuencia Discreta
Discreta.. De la serie a la
transformada de Fourier
Fourier.. Transformada Discreta de
Fourier..
Fourier
Transformada
Rápida..
Rápida
Espectro
de
potencia.. Aplicación empleando Matlab
potencia
Matlab..
1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
INTERPOLACION
Problema Básico
p2
p1
p1
p2
p2
p4
p1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
p3
p3
INTERPOLACION
Elección y tipos de
interpolantes
Se dispone de
un conjunto de
datos (x,y),
que provienen
de experiencias
y se quiere
encontrar una
función que
“pase” por esos
puntos.
p2
p4
p1
p3
Hay diversos tipos de interpolaciones. La selección del
particular tipo dependerá de la aplicación y de las
características de la función que se esté buscando
Racionales
Polinomios
TIPOS
Polinomios
a tramos
Exponenciales
Funciones
trigonométricas
2
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Los polinomios no son siempre la mejor alternativa para
la
generación
de
interpolantes..
interpolantes
Esto
es
particularmente cierto para funciones que presentan
asíntotas (sean horizontales o verticales)
verticales)..
En este caso, una mejor alternativa es emplear una
Función Racional
Racional,, que consiste en un cociente de
polinomios::
polinomios
R x  
P(x) p 0  p1x  p 2 x 2  ...  p N x n

Q(x) q 0  q1x  q 2 x 2  ...  q N x m
Se puede decir que un polinomio es un caso particular
de función racional en donde q(x) = 1, por eso los
resultados que se pueden obtener con estas funciones
son iguales o mejores
mejores..
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Los mejores resultados con funciones racionales se
obtienen cuando los grados de los polinomios numerador
y denominador son los mismos
mismos..
Si pérdida de generalidad, y para asegurar que esté
definida en x = 0, se toma q0 = 1.
R x  
P(x) p 0  p1 x  p 2 x 2  ...  p n x n

Q(x) 1  q1 x  q 2 x 2  ...  q m x m
El grado N de una función racional es n+m y el número
de parámetros es N+
N+1
1.
La funciones racionales ofrecen la ventaja de permitir
una
aproximación
eficiente
de
funciones
con
discontinuidades infinitas
3
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Sea f(x) la función que se desea aproximar, que a su
vez se expande en serie de Mclaurin:
Mclaurin:
f(x)  a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a N x N
El método de Padé selecciona los parámetros haciendo
cumplir que la función y las N primeras derivadas sean
iguales en el origen
origen..
f (k) (0)  R (k) (0)
para
k  0, 1, ... , N
Esto es equivalente a que f(x) – R(x) sea nulo con
multiplicidad N+
N+1
1 en x = 0. Esta es la condición para
calcular los coeficientes pj, qj a partir de los aj.
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Aplicando la condición f(x)  R(x)  0 resulta:
p 0  p1 x  p 2 x 2  ...  p n x n
a 0  a1 x  a 2 x  ...  a N x 
1  q1 x  q 2 x 2  ...  q m x m
2
N
(a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a N x N )(1  q1 x  q 2 x 2  ...  q m x m ) 
 p 0  p1 x  p 2 x 2  ...  p n x n
De donde, igualando los coeficientes de igual grado,
surge el sistema de ecuaciones que permite el calculo
de los coeficientes de f(x)
f(x)..
Algoritmo 8.1
Burden y Faires, 6ta Ed
4
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Se resuelven primero las
a 0  p 0
ecuaciones (2) para calcular

los coeficientes qj y luego
q1a 0  a1  p1

se sigue con las (1) para
(1) q 2a 0  q1a1  a 2  p 2
evaluar los pj.


q m a n m  q m 1a n m 1    a n  p n
q m a n m 1  q m 1a n m  2    q1a n  a n 1  0

q m a n m  2  q m 1a n m  3    q1a n 1  a n  2  0
(2) 


q m a n  q m 1a n 1    q1a n m 1  a n m  0
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Ejemplo
Comparar la aproximación en Series de Maclaurin con las
proporcionadas por Series Racionales de Padé para la
función f(x) = senx entre -3π y -3π
Orden
Maclaurin
Padé
2
x
x
4
x3
3!
x3 x5
x

3! 5!
x3 x5 x7
x


3! 5! 7!
6x
6  x2
6
8
x
60x  7x 3
3 (20  x  x 2 )
20 ( 294x  31x 3 )

5880  360x 2  11x 2
5
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Aproximaciones
de 2do orden
2
Real
Maclaurin
1.5
Padé
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Aproximaciones
de 4to orden
2
Real
Maclaurin
1.5
Padé
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
6
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Aproximaciones
de 6to orden
2
Real
Maclaurin
1.5
Padé
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Aproximaciones
de 8to orden
2
Real
Maclaurin
1.5
Padé
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
7
Otro Ejemplo
Representación con
Series de Taylor y
de Padé
1
1 x
2
f(x) 
1  2x
3
39 2
Taylor : 1 - x 
x
4
32
7
1 x
8
Pade :
13
1 x
8
1.3
1.2
1
Aproximacion
de Pade
0.9
0.8
0.7
0.6
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Aproximacion
de Taylor
1.1
y
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Función f(x)
0
0.5
1
x
1.5
2
2.5
APROXIMACION RACIONAL
Método de Padé
Para estimar el error de truncación
truncación,, lo que se propone
es evaluar un coeficiente más en la expansión de Taylor
(calculando aN+
N+1
1 y aumentar un grado en polinonmio
numerador con lo que se debe calcular solo el
coeficiente pn+
n+1
1 empleando la ecuación adicional (2).
a 0  a1x  a 2 x 2  ...  a N x N  a N 1x N 1 
p 0  p1x  p 2 x 2  ...  p n x n  p n 1x n 1
1  q1x  q 2 x 2  ...  q m x m
Como esta es una estimación de un orden mayor, por
diferencia se puede estimar el error de truncación
truncación::
p n 1 x n 1
Et 
1  q1x  q 2 x 2  ...  q m x m
8
Una Función Periódica f(t) cumple la siguiente
propiedad para todo valor de t.
f(t)  f(t  T)
La constante T mínima para la que se cumple se le
llama el periodo de la función
función..
Repitiendo la propiedad se puede obtener
obtener::
f(t)  f(t  kT)
k  0,  1,2,  3, ...
APROXIMACION DE FOURIER
Funciones Periódicas
Ejemplo de una Función Periódica f(t)
f(t)..
3
T
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
2
1
f(t)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Funciones Periódicas
0
-1
-2
24π
-3
0
50
100
150
200
t
9
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Serie Trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada
Serie Trigonométrica de Fourier
f(t) 
 a 3cos(3ω 0 t)  b 3sen(3ω 0 t)  ...
O en forma compacta
compacta::

f(t)  a 0   a n cos(nω 0 t)  b n sen(nω 0 t)
1
2
Donde
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
a 0  a1cos(ω 0 t)  b1sen(ω 0 t) 
 a 2cos(2ω 0 t)  b 2sen(2ω 0 t) 
1
2
n 1
0=2
/T es la frecuencia fundamental
APROXIMACION DE FOURIER
Serie Trigonométrica de Fourier
Teniendo en cuenta que una suma de sinusoides es
también una sinusoide, la Serie de Fourier puede
escribirse como
como::

f(t)  c 0   c n cos(nω 0 t  θ n )
n 1
Con::
Con
c0 
a0
2
cn  an  bn
2
2

1b
n

θn tan
a 

 n
10
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Componentes y armónicas
Así, una función periódica f(t) se puede escribir
como la suma de componentes sinusoidales de
diferentes frecuencias ωn=n
=nω
ω0
A la componente sinusoidal de frecuencia nω0:
cn cos
cos(n
(nω
ω0t+
t+θ
θn) se le llama la enésima armónica
de f(t)
f(t)..
A la primera armónica (n=
(n=1
1) se le llama la
componente fundamental y su periodo es el mismo
que el de f(t)
f(t)..
ω0=2πf0=2π/T
frecuencia angular fundamental.
la
frecuencia
se
le
llama
APROXIMACION DE FOURIER
Componentes y armónicas
A la componente de frecuencia cero C0, se le
llama componente de directa y corresponde al
valor promedio de f(t) en cada periodo
periodo..
Los coeficientes Cn y los ángulos θn son
respectivamente las amplitudes y los ángulos de
fase de las armónicas
armónicas..
3
2
1
0
-1
-2
-30
f(t)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
A
50
100
t
150
200
11
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Ortogonalidad de senos y cosenos
Se dice que un conjunto de funciones fk(t) son
ortogonales
en el intervalo a<t<b si dos
funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho
conjunto cumplen la condición
condición::
b
f
m
a
0
(t)f n (t) dt  
 rn
para m  n
para m  n
Hay una infinidad de funciones ortogonales en el
intervalo -T/2< t < T/2
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
1,cosw0t, cos2w0t, cos3w0t,...,
sen 0t, sen2 0t, sen3 0t,...
APROXIMACION DE FOURIER
Coeficientes de la Serie de Fourier
Aprovechando la ortogonalidad del conjunto de
funciones:: {1, cos(
funciones
cos(ω
ω0t), cos(
cos(2
2ω0t), cos(
cos(3
3ω0t),
t),...
...,,
sen(ω
sen(
ω0t), sen(
sen(2
2ω0t), sen(
sen(3
3ω0t),
t),...
...}} con ω0= 2π/T,
en el intervalo -T/
T/2
2< t < T/
T/2
2 , se pueden calcular
los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie
serie..
Se puede probar que:
T/2
am 
a0 
2
T
2
T
T/2
 f(t)cos(m
ω 0 t)dt
m  1, 2, 3,...
ω 0 t)dt
m  1, 2, 3,...
 T/2
 f(t)dt
 T/2
T/2
bm 
2
T
 f(t)sen(m
 T/2
12
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Ejemplo de Serie de Fourier
Onda cuadrada de periodo T:
 1 para  T2  t  0
f(t)  
para 0  t  T2
1
ω0= 2π
2π/T
APROXIMACION DE FOURIER
Ejemplo de Serie de Fourier
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Serie::
T/2
a0 
2
T
 f(t)dt
 T/2
T/2
 0

    dt   dt 
0
 T/2

2
T
0
T/2


  t
t 0
 T/2
0 

2
T
13
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Ejemplo de Serie de Fourier
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Serie::
T/2
an 
2
T
 f(t)cos(n
ω 0 t)dt
 T/2
T/2
 0

    cos(nω0 t)dt   cos(nω0 t)dt 
0
 T/2

2
T
0
T/2
 1

1
 
sen(nω0 t)

sen(nω0 t)   0
nω0
 nω0
 T/2
0 

2
T
APROXIMACION DE FOURIER
Ejemplo de Serie de Fourier
Cálculo de los coeficientes de la Serie
Serie::
T/2
bn 
2
T
 f(t)sen(nω t)dt
0
 T/2
T/2
 0

    sen(nω0 t)dt   sen(nω0 t)dt 
0
 T/2

2
T
0
T/2
 1

1
 
cos(nω0 t)

cos(nω0 t) 
nω0

 T/2
0 
 nω0
2
T


2
1  ( 1)n
nπ

para n  0
14
Finalmente la Serie de Fourier queda como
como::
4
sen(ω0t)  13 sen(3ω0t)  15 sen(5ω0t)  ...
π
f(t) 
En la siguiente figura se muestran
la componente fundamental y los
armónicos 3, 5 y 7 así como la
suma parcial de estos primeros
cuatro términos de la serie para
ω0=π, es decir, T=
T=2
2.
APROXIMACION DE FOURIER
Ejemplo de Serie de Fourier
1.5
Componentes de la Serie de Fourier
1
Componentes
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Ejemplo de Serie de Fourier
0.5
0
-0.5
Suma
fundamental
tercer armónico
quinto armónico
septimo armónico
-1
-1.5
-1
-0.5
0
t
0.5
1
15
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par
(o con simetría par) si su gráfica es simétrica
respecto al eje vertical, es decir, la función f(t)
es par si
si::
f(  t)  f(t)
f(t)




t
APROXIMACION DE FOURIER
Funciones Pares e Impares
En forma similar, una función f(t) se dice función
impar o con simetría impar, si su gráfica es
simétrica respecto al origen, es decir, si cumple
lo siguiente
siguiente::
f(  t)  f(t)
f(t)




t
16
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Funciones Pares e Impares
La Onda cuadrada
de periodo T
analizada es una
función impar, por lo
tanto su serie de
Fourier solo contiene
funciones seno:
f(t) 
4
sen(ω0t)  13 sen(3ω0t)  15 sen(5ω0t)  ...
π
APROXIMACION DE FOURIER
Funciones Pares e Impares
Simetría
Funciones
en la serie
Coeficientes
T/2
Ninguna
an 
2
T
 f (t) cos(n0 t)dt
T/2
bn 
2
T
T / 2
 f (t)sen(n t)dt
0
T / 2
únicamente
cosenos
T/2
Par
an 
4
T
Senos y
cosenos
 f (t) cos(n t)dt
bn=0
0
0
T/2
Impar
an=0
bn 
4
T
 f (t)sen(n t)dt
0
únicamente
senos
0
17
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se
trunca para lograr una aproximación en suma
finita de senos y cosenos, es natural pensar que a
medida que se agreguen más armónicos, la
sumatoria se aproximará más a f(t)
f(t)..
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de
f(t), en donde el error de la suma finita no tiende
a cero a medida que agregamos armónicos
armónicos..
Para la función anterior
anterior::
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 1 armónico
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
18
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 3 armónicos
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 5 armónicos
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
19
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 7 armónicos
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 13 armónicos
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
20
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 50 armónicos
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
APROXIMACION DE FOURIER
Fenómeno de Gibbs
Serie con 100 armónicos
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
21
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Para la serie
periódica f(t)
f(t)::
de
para
una
función

f(t)  a 0   [a n cos(nω 0 t)  b n sen(nω 0 t)]
1
2
n 1
Es posible obtener una forma alternativa usando
las fórmulas de Euler
Euler::
cos(nω 0 t)  12 (e jnω 0t  e  jnω 0t )
sen(nω 0 t) 
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
Fourier
1
2j
(e jnω 0t  e  jnω 0t )
APROXIMACION DE FOURIER
Forma Compleja de la Serie de Fourier
Definiendo::
Definiendo
La serie
puede
escribirse
como:
c0 12a0, cn 12(an jbn), cn 12(an jbn)

f(t)  c 0   (cn e jnω 0t  c n e  jnω 0t ) 
n 1

 c0   cne
n 1
f(t) 

c e
n  
n
jnω 0 t
jnω 0 t


c e
n  1
jnω 0 t
n
Que es la forma
compleja de la
Serie de Fourier
22
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Forma Compleja de la Serie de Fourier
f(t) 

c e
n  
Forma compleja de la
Serie de Fourier
Los coeficientes cn pueden obtenerse a partir de
los coeficientes an y bn como se vio
vio..
Alternativamente pueden computarse con
con::
T
cn 
1
T
 f(t)e
0
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
jnω 0 t
n
 jnω 0 t
dt
Para n=0, 1, 2, 3, ...
APROXIMACION DE FOURIER
Espectros de Frecuencia Discreta
Los coeficientes cn son complejos
complejos..
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn
contra la frecuencia angular ω de la componente
correspondiente se le llama el Espectro de amplitud
de f(t)
f(t)..
A la gráfica del ángulo de fase θn de cn de los
coeficientes cn contra ω, se le llama el Espectro
de fase de f(t)
f(t)..
Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia
angular ω =n
=nω
ω0 es una variable discreta y los
espectros mencionados son gráficas discretas
discretas..
23
Para la función
analizada:
0.7
0.6
Cn 
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Espectros de Frecuencia Discreta
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-30
-20
-10
0
n
10
20
30
El eje horizontal es un eje de frecuencia,
(n=número de armónico = múltiplo de 0).
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Dominios Temporal y de la Frecuencia
Las funcione
temporales
periódicas,
pueden ser
descriptas en
el campo
temporal o en
el dominio de
la frecuencia
24
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
La serie de Fourier nos permite obtener una
representación en el dominio de la frecuencia para
funciones periódicas f(t)
f(t)..
La pregunta que surge es ¿Se puede extender de
alguna manera las Series de Fourier para obtener
el dominio de la frecuencia de
funciones no
periódicas?
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
A esto apunta la Trasnformada de Fourier
Fourier..
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
Un Tren de pulsos
de
amplitud
1,
ancho p y periodo T
Se transforma en un
espectro discreto
discreto::
 p  sen(nω 0 2 )
cn   
p
 T  (nω 0 2 )
p
25
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
Si el periodo del tren de pulsos aumenta
aumenta...
...
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
... el espectro se "densifica”
26
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
En el límite cuando T—›∞
›∞,, la función deja de ser
periódica::
periódica
¿Qué pasa con los coeficientes de la serie de
Fourier?
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
Si se hace T muy grande (T
(T
),
), el espectro se
vuelve "continuo"
27
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
De la Serie a la Transformada de Fourier
El razonamiento anterior nos lleva a reconsiderar la
expresión de una función f(t) no periódica en el
dominio de la frecuencia, no como una suma de
armónicos de frecuencia nω0, sino como una función
continua de la frecuencia ω.

jnω 0 t
Así, la serie
serie::
n
n  
f(t) 
c e
al cambiar la "variable discreta" nω0 (cuando T
))
por la variable continua ω, se transforma en una
integral de la siguiente manera
manera::
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
LA TRANSFORMADA DE FOURIER
Transformada
de Fourier

F(ω ) 
 jωt
f(t)e
dt



f(t) 
1
2π
 F( ω )e

jω
dω
Identidad de
Fourier o
antitransformada
Estas expresiones permiten calcular la expresión
F(ω
F(
ω) en dominio de la frecuencia a partir de f(t)
definida en el dominio del tiempo y viceversa
viceversa..
28
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
LA TRANSFORMADA DE FOURIER

F(ω ) 
Función
del t
 jωt
 f(t)e dt

F(ω) es en general
F(ω
compleja.. El módulo y
compleja
el argumento F(
F(ω
ω) en
función de la fre
frecuencia ω constituye
el espectro de f(t)
Espectro
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Comparación
Series de
Fourier
Transformada
de Fourier
Se aplica a funciones de t
seccionalmente continuas que
son periódicas
periódicas..
El
espectro
resultante
es
discreto
en
el
domino
frecuencial..
frecuencial
Se aplica a funciones de t
seccionalmente continuas que
NO son periódicas
periódicas..
El espectro en el domino
frecuencial es continuo
continuo..
29
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
En muchas aplicaciones, la función f(t) viene dada por
una lista de N valores f(
f(0
0), f(t1), f(t2), ...
...f(t
f(tN-1).
Se dice en este
caso que está
muestreada
o
discretizada..
discretizada
Se subdivide el
dominio de 0 a
T en intervalos
Δt (tiempo de
muestreo)::
muestreo)
Δt  T/N
Los datos se especifican en n = 0, 1, 2, …, N-1
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
Por la discretización
la integral que define la
Transformada de Fourier se convierte en una
sumatoria::
sumatoria
N 1
F(k)   f(t n )e
n 0
 j 2πNn k
N 1
  f ne
 j 2πNn k
n 0
Para 0 ≤ k ≤ NN-1
F(k) es la Transformada Discreta de Fourier
k es la frecuencia discreta
La frecuencia fundamental sería ω0 = 2π/T = 2π/N
/NΔ
Δt,
pero como Δt sería solo un factor de escala, se asume
ω0 = 2π/N
30
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
Para calcular la Transformada discreta de Fourier
se recurre a la expresión equivalente
equivalente::
N 1
2πn
2πn 

F(k)   f n cos(
k)  jfn sen(
k)
N
N

n 0 
Para 0 ≤ k ≤ NN-1
Los valores de frecuencia en los que se evalúa la
transformada son ω = k ω0 con ω0 = 2π/N
Esto implica un considerable esfuerzo de
cómputo, ya que se precisan N2 operaciones
complejas
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
El cálculo de la Transformada Discreta de Fourier
por métodos tradicionales es o(N2).
La Transformada Rápida de Fourier (FFT) surge
para computar la Transformada Discreta con menor
esfuerzo de cómputo o(Nlog2N)
Se basa en el uso de
Transformada de Fourier
Fourier..
la
simetría
de
la
J.W. Cooley y J.W. Tukey fueron los que
recibieron el crédito por re
re-inventar la FFT en
1965 a partir de una idea original de Gauss
Gauss..
Después de la contribución de Cooley y Tukey se
propusieron diversos algoritmos basados en el
método original
original..
31
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
El algoritmo de Sandey y Tukey supone N par
par..
N 1
F(k)   f ne
N 1
  f nW nk
 j 2πn
k
N
n 0
n 0
Para k de 0 a N-1, y siendo
la suma
F(k) 
N/2 1

n 0

f ne
 j 2πNn k
N/2 1

f ne
n 0
We
N 1
 f ne

j
2π
N
 j 2πNn k
. Dividiendo

n  N/2
j
 2πN kn

N/2 1

m 0
f m  N/2 e
j
 2πN k m  N/2 
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
F(k) 
 f
N/2 1
n 0

 jπn
f m  N/2 e
n e
j
 2πN kn
Es 1 o -1 según k
sea par o impar
De esto resulta F para valores pares e impares
impares::
F(2k) 
N/2 1
 f
n 0
F(2k  1) 
n
 f m  N/2 W 2kn
N/2 1
 f
n 0
n
f m  N/2 W n W 2kn
32
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
Las expresiones anteriores se pueden interpretar
como las transformadas respectivas de las
funciones::
funciones
g n f n f m  N/2 h n  f nf m  N/2 W n
Entonces se puede computar la Transformada
F(k)
a
partir
de
las
correpondientes
transformadas G(k) y H(k)
F(2k)  G(k)
F(2k  1)  H(k)
Se reemplaza el cálculo de N puntos de F(k) (N2
operaciones complejas) por el cálculo de G(k) y
H(k) (N2/2 operaciones)
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
El esquema de cálculo para una función con 8
puntos se presenta en la Figura
33
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
Repitiendo el esquema de cálculo, el número total
de cálculos se reduce a N log2N
La aplicación de este
algoritmo reduce drás
drásticamente el tiempo de
computo..
computo
Se debe usar longitu
longitudes de ventana que sean
potencias de dos
dos.. De lo
contrario,
se
deben
añadir ceros
ceros..
Hay
variantes
del
algoritmo
visto
que
pueden tomar en cuenta
la paridad de la señal y
que resultan aún más
eficientes..
eficientes
4000
3500
Número de cuentas complejas
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER
3000
TDF
FFT
2500
2000
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
Número de Puntos
50
34
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
APROXIMACION DE FOURIER
Espectro de Potencia
Se define Potencia de una
función (señal) periódica f(t)
como::
como
T/2
P 
1
T
 [f(t)]
2
dt
 T/2
Al ser periódica, se vio que
que::

f(t)  a 0   [a n cos(nω 0 t)  b n sen(nω 0 t)] 
1
2
n 1

c e
n  
jnω 0 t
n
El Teorema de Parseval
Parseval,, permite relacionar la
potencia con el espectro de frecuencia
frecuencia::

T/2
P
1
T
 [f(t)] dt  a 
2
1
4
 T/2
2
0
1
2
 (a
n 1
2
n
b ) 
2
n

c
n  
2
n
MAGISTER EN METODOS NUMERICOS Y
COMPUTACIONALES EN INGENIERIA
FUNCIONES DE MATLAB
fft
Devuelve la transformada
rápida de Fourier
Sintaxis
y = fft(x)
y = fft(x,n)
ifft
pade
Computa la
aproximacion de Pade
de la función exp(-Lx)
Sintaxis
[num,,den] = pade(L,n)
Computa la transformada
inversa discreta de Fourier
Sintaxis
y = ifft(x)
y = fift(x,n)
35