Handout 10

Modelos DSGE
Et {f (xt+1 , xt , xt−1 , zt )}
zt
=
0
= ρz zt−1 + t
E (t )
=
0
E (t 0t )
=
Σ
donde,
x : vector de variables endogenas.
z : vector de shocks exogenos estocasticos.
: variable aleatoria.
En nuestro modelo : xt = (ct , it , kt , yt , ht )
Funcion de Solucion (la Policy Function)
xt = g (xt−1 , zt )
Entonces,
xt+1 = g (xt , zt+1 ) = g [g (xt−1 , zt ), zt+1 ]
Ahora, definimos una nueva funcion F tal que
F (xt−1 , zt , zt+1 ) = f {g [g (xt−1 , zt ), zt+1 ], g (xt−1 , zt ), xt−1 , zt }
Esto nos permite reescribir nuestro sistema en terminos de variables
endogenas pasadas y de shocks presentes y futuros:
Et {F (xt−1 , zt , zt+1 )} = 0
Steady State
Un steady state deterministico, x̄, satisface
f (x̄, x̄, x̄, 0) = 0
con la propiedad de que
x̄ = g (x̄, 0)
Aproximacion de 1er Orden
Una expansion de Taylor de 1er orden alrededor del steady state:
Et {F (xt−1 , zt , zt+1 )}
= Et {f (x̄, x̄, x̄, 0) + fx+ [gx (gx x̂ + gz z) + gz z 0 ]
+fx0 (gx x̂ + gz z) + fx− x̂ + fz z}
=
0
donde,
x̂ = xt−1 − x̄, z = zt , z 0 = zt+1 , fx+ =
fx− =
∂f
∂xt−1 ,
fz =
∂f
∂zt ,
gx =
∂g
∂xt−1 ,
gz =
∂f
∂xt+1 ,
∂g
∂zt
fx0 =
∂f
∂xt ,
Aplicando Esperanzas (falta poco!)
Et {F (xt−1 , zt , zt+1 )}
= f (x̄, x̄, x̄, 0) + fx+ [gx (gx x̂ + gz z)]
+fx0 (gx x̂ + gz z) + fx− x̂ + fz z
=
(fx+ gx gx + fx0 gx + fx− )x̂
+(fx+ gx gz + fx0 gz + fz )z
=
0
(1)
Dado que los shocks futuros solo entran con sus 1eros momentos (cuyas
esperanzas son 0), estos se cancelan al aplicar esperanza.
Se cumple la “certainty equivalence”.
Resultado
I
Las unicas incognitas son gx y gz , las cuales nos ayudaran a
aproximar la policy function g .
I
Dado que la ecuacion (1) se cumple para todo x̂ y z, entonces los 2
parentesis deben ser 0. Asi, tenemos 2 ecuaciones, 2 incognitas.
I
El primero da una ecuacion cuadratica en gx , que resolveremos
algebraicamente (con ayuda del matlab...) Habiendo recuperado gx ,
luego recuperamos gz en el 2do parentesis.
I
Finalmente, tenemos una aproximacion de la policy function:
xt = x̄ + gx x̂ + gz z
Comentarios Finales
I
Hallando gx y gz , hemos resuelto la “regla de decision”
(aproximada), y por tanto el DSGE model.
I
Pueden generarse impulse-response functions, iterando la policy
function comenzando por un valor inicial dado por el steady state.
I
Ademas, se puede generar la matriz de covarianza de las variables
endogenas.
I
La solucion de 2do orden usa los mismos metodos de perturbacion,
aunque aplicando otras tecnicas algebraicas para recuperar las
derivadas parciales de g . Igualmente, el approach general se
mantiene.
I
En este caso, la varianza de los shocks futuros permanece despues de
aplicar esperanzas sobre las ecuaciones linearizadas, afectando el
nivel de la policy function resultante.