Licenciatura en Economia Macroeconomia II 1 Tecnologia

Licenciatura en Economia
Macroeconomia II
Danilo Trupkin
Trabajo Practico 3 - Soluciones
1
Tecnologia Constante en el Modelo de Solow-Swan
Suponga una economia que posee las siguientes condiciones:
• Funcion de produccion: Y = 10K α L(1−α) , con 0 < α < 1. Tasa de ahorro: s = .2
(20% del ingreso). Depreciacion: δ = .04. Crecimiento de la poblacion: n = .01
1. Calcular: k ∗ , y ∗ , c∗ , donde (∗ ) representa el valor de las variables en “steady state”.
La ecuacion fundamental de Solow se relaciona con la dinamica del capital en terminos
per capita, y puede escribirse asi:
.
k = sf (k) − (δ + n + g)k,
(1)
donde k es K/L en este problema, y g = 0. De esta manera, podemos escribir esta ecuacion
como
.
k = .2 ∗ 10k α − .05k.
(2)
.
Para calcular k ∗ , hacemos k = 0, de modo de obtener
.2 ∗ 10k ∗α = .05k
lo cual, reordenando, implica
k ∗ = 401/(1−α) ,
(3)
o, expresado en una forma mas general que luego usaremos:
k∗ =
s ∗ 10
δ+n+g
1/(1−α)
.
(4)
Luego,
y
∗
c∗
Y ∗
≡
= 10k ∗α = 10 ∗ 40α/(1−α)
L
∗
C
≡
= (1 − s)y ∗ = 8 ∗ 40α/(1−α) .
L
1
(5)
(6)
∗ , y ∗ , c∗ , donde el subindice “gold” indica el valor de dichas variables
2. Calcular: kgold
gold gold
cuando se cumple la regla de oro de acumulacion de capital.
∗ , debemos tener en cuenta que la regla de oro implica maximizar el
Para hallar kgold
consumo de steady state. Esto es,
max c∗ = (1 − s)f (k ∗ ) = f (k ∗ ) − (δ + n + g)k ∗ = 10k ∗α − .05k ∗
(7)
La condicion de maximizacion arroja el siguiente resultado:
∗
kgold
= (α200)1/(1−α)
(8)
O, expresado en una forma mas general,
∗
kgold
=
α ∗ 10
δ+n+g
1/(1−α)
.
(9)
Luego,
∗
∗α
ygold
= 10kgold
(10)
∗
∗α
− .05kgold
c∗gold = 10kgold
(11)
3. Cual es la tasa de ahorro que permite llegar al steady state de la regla de oro cuando
α = 1/3?
Para hallar la tasa de ahorro que permite llegar al steady state de la regla de oro, con
α = 1/3, podemos simplemente igualar (4) a (9), y notar que
∗
k =
s ∗ 10
δ+n+g
1/(1−α)
=
α ∗ 10
δ+n+g
1/(1−α)
∗
= kgold
(12)
si y solo si s = α = 1/3. Con una funcion de produccion Cobb-Douglas, el ahorro debera ser
igual a la elasticidad del output con respecto al capital o, igualmente, al share del capital
en el ingreso. Asi, la tasa de ahorro deberia aumentar de .2 a .33 de modo de maximizar
el consumo per capita en steady state. Logicamente, el aumento de la tasa de ahorro hace
que en el corto plazo el consumo caiga (por que?), pero sabemos que luego la trayectoria
del consumo sera tal que este ira incrementandose hasta el nuevo steady state, el cual sera
mayor al anterior.
4. Asuma que tanto al trabajo como al capital se les paga sus productividades marginales.
Siendo w el pago al factor trabajo, demuestre que el producto marginal del trabajo
en esta economia, w, sera equivalente a f (k) − kf 0 (k).
2
De los supuestos del problema, tenemos la siguiente expresion:1
∂F (K, L)
= (1 − α)10K α L−α = (1 − α)10k α = 10k α − α10k α
∂L
= f (k) − αf (k) = f (k) − kf 0 (k).
w =
O, alternativamente, y usando una expresion mas general, podemos resolver esto de la
siguiente manera. Sabemos que
Y = F (K, L) = Lf (k).
(13)
Diferenciando Y con respecto a L, y usando regla de la cadena, tenemos entonces que
K
∂Y
= f (k) + Lf 0 (k) − 2 = f (k) − kf 0 (k),
∂L
L
(14)
lo cual muestra lo enunciado en el problema.
2
Shocks en el modelo de Solow-Swan
Describa como cada uno de los siguientes cambios afecta la inversion bruta actual – la curva
sf (k) – y/o la inversion “break-even” – la recta (n + g + δ)k – en nuestro diagrama basico
del modelo de Solow-Swan:
1. La tasa de depreciacion cae.
Se obseva en la Figura 1 (al final del documento) que la caida de la tasa de depreciacion
genera una baja en la pendiente del “break-even” investment, en consecuencia el nivel de
capital por trabajo efectivo de steady state aumenta.
2. La tasa de crecimiento tecnologico aumenta.
Lo contrario ocurre cuando la tasa de crecimiento tecnologico aumenta, tal como se
observa en la Figura 2.
3. La funcion de produccion es Cobb-Douglas, f (k) = k α , y la participacion del capital,
α, aumenta.
1
Aqui escribo F (K, AL) como equivalente a F (K, L), tomando en cuenta la forma de la funcion de
produccion asumida.
3
El efecto de un cambio en α sobre la curva de inversion actual, sk α , se puede obtener a
traves del estudio de la derivada de esta ultima funcion respecto de α :
∂(sk α )
∂(seα ln k )
=
= sk α ln k.
∂α
∂α
Vemos que dicha derivada sera positiva cuando ln k > 0, que es lo mismo a decir que
k > 1. Es decir que, para todo k > 1, la nueva curva de inversion actual se ubicara arriba
de la curva original, y viceversa.
Asimismo, sabemos que para el caso de una funcion Cobb-Douglas, el capital por trabajo
efectivo de steady state es
∗
k =
s
n+g+δ
1
1−α
,
lo que implica que k ∗ > 1, solo si s > n + g + δ. Esto quiere decir que un aumento de α
incrementara el nivel de capital per capita efectivo solo si la tasa de ahorro es superior a la
tasa de “break-even” – este caso es el que se grafica en la Figura 3.
4. Los trabajadores ejercen mayor esfuerzo, de modo que el producto por unidad de
trabajado efectivo, y, para un valor dado de capital por unidad de trabajo efectivo,
k, es mas alto que antes.
Lo anterior significa que podemos escribir nuestra funcion de produccion como Bf (k),
con B > 0, y en consecuencia un aumento del esfuerzo puede ser interpretado como un
aumento de B a B 0 . Luego, se puede observar en la Figura 4 que el capital per capita
efectivo de steady state aumenta.
4
Inv.
por
trab.
efect.
(n+g+δ)k
(n+g+δ’)k
s f(k)
k*
k
k**
Figure 1: Caida de la depreciacion
Inv.
por
trab.
efect.
(n+g’+δ)k
(n+g+δ)k
s f(k)
k* *
k*
k
Figure 2: Aumento de la tasa de crecimiento tecnologico
5
(n+g+δ)k
Inv.
por
trab.
efect.
skα’
skα
k=1
k*
k
k**
Figure 3: Aumento de α
(n+g+δ)k
Inv.
por
trab.
efect.
sB’f(k)
sBf(k)
k*
k**
k
Figure 4: Aumento del esfuerzo por trabajo
6