1 Solución para el ejercicio planteado en el taller 3 de Econometría

Solución para el ejercicio planteado en el taller 3 de Econometría 2
1) En lo que sigue se trabajará con los logaritmos naturales de las series, aunque se podrían haber
trabajado las series sin transformar. Esta decisión se adopta en función de que es esperable que de existir
una relación de largo plazo entre las series, esta sea multiplicativa y por tanto, al aplicar logaritmos
trabajaríamos con un modelo aditivo. Se aclara que este es un supuesto del que se parte, y no
necesariamente tiene que ser válido.
Además trabajar con logaritmos tiene la ventaja de que la primera diferencia aproxima bien a las tasas de
variación de las series y por lo tanto, los coeficientes de un modelo lineal en los logaritmos de las
variables se interpretarían como elasticidades de la variable explicada respecto a cada una de las
explicativas ceteris paribus. Una ventaja adicional de la transformación logarítmica es que estabiliza la
varianza y corrige la existencia de asimetría positiva en los datos. Estas son todas ventajas, pero ¡ojo! con
el uso indiscriminado de esta transformación. Si no se parte de un supuesto teórico y/o no se prueba
empíricamente que es apropiada esta transformación, no debería aplicarse. Por ejemplo, cuando se trabaja
con tasas de variación no debería aplicarse logaritmos.
A continuación se presenta el gráfico con las tres series en logaritmos.
0.8
0.4
0.0
-0.4
-0.8
-1.2
1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000
PNAF
NAFTA
IVF
El gráfico muestra que las series IVF y NAFTA presentan una tendencia creciente a lo largo del período
analizado, mientras que PNAF, por el contrario, tiene en promedio una trayectoria decreciente. A partir
del gráfico, las tres variables parecen ser no estacionarias en media.
En cuanto a una posible relación de cointegración entre las variables, por un lado parece haber una suerte
de “espejo” entre las trayectorias de NAFTA y PNAF (obsérvese en los dos casos el pico alrededor de
1991 y la reversión en la tendencia que se da luego de 1999). Por su parte IVF crece, se podría decir que
sistemáticamente y la reversión que se observaba en las otras dos series, se presenta alrededor de 1998.
Podría decirse que en la gráfica presentada hay indicios de que existe una relación de largo plazo entre las
series. Si realiza el ejercicio con las series sin tomar logaritmos podrá ver que gráficamente el análisis es
el mismo.
Se podría haber calculado los coeficientes de correlación entre las series. Esto se hace (una vez creado el
grupo) con View – Correlations – Common Sample.
PNAF
NAFTA
IVF
PNAF
1.000000
-0.946459
-0.883613
NAFTA
-0.946459
1.000000
0.973667
IVF
-0.883613
0.973667
1.000000
¡Si será alta la correlación lineal entre las variables!
1
2) Estadísticos descriptivos de las series y sus primeras diferencias
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
Jarque-Bera
Probability
Sum
Sum Sq. Dev.
PNAF
-0.592999
-0.653883
-0.060034
-0.885102
0.235570
0.446897
1.776296
5.740803
0.056676
-35.57993
3.274112
NAFTA
0.378251
0.432097
0.634147
-0.014049
0.201328
-0.289834
1.606351
5.695687
0.057969
22.69503
2.391445
IVF
0.269342
0.271210
0.478309
0.008874
0.139349
-0.095414
1.519755
5.568852
0.061765
16.16051
1.145664
D(PNAF)
-0.008649
-0.010845
0.169776
-0.143081
0.055560
0.400227
3.888226
3.574179
0.167447
-0.518920
0.182127
D(NAFTA)
0.007372
0.012935
0.056509
-0.059761
0.025058
-0.495078
2.911700
2.470513
0.290760
0.442343
0.037045
D(IVF)
0.007137
0.005683
0.040616
-0.026223
0.013127
0.229162
2.995021
0.525215
0.769043
0.428207
0.010167
Un estadístico que brinda información sobre la posible sobrediferenciación de una serie es el desvío
estándar de la serie en niveles y la misma serie diferenciada. Habría indicios de sobrediferenciación si
dicho estadístico aumenta cunado la serie es diferenciada, cosa que no ocurre según los valores
presentados.
3) Los correlogramas de las series en logaritmos y sus primeras diferencias.
Correlograma de PNAF y su primera diferencia
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 61
Autocorrelation
. |*******|
. |*******|
. |****** |
. |****** |
. |***** |
. |***** |
. |***** |
. |**** |
. |**** |
. |*** |
. |*** |
. |*** |
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 60
Partial Correlation
. |*******|
.|. |
.|. |
.|. |
.|. |
.*| . |
.|. |
.*| . |
.|. |
.|. |
.|. |
.|. |
Autocorrelation
Partial Correlation
. |*.
. |**
.|.
.|.
.|.
.*| .
. |*.
.*| .
.|.
.*| .
. |*.
.|.
. |*.
. |*.
.*| .
.|.
.|.
.*| .
. |*.
.*| .
.|.
.|.
. |*.
.|.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.927
0.852
0.791
0.743
0.701
0.646
0.593
0.534
0.480
0.431
0.395
0.368
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.193
0.198
-0.002
-0.024
0.006
-0.097
0.143
-0.104
-0.020
-0.108
0.116
0.026
PAC
0.927
-0.044
0.052
0.057
0.019
-0.103
0.000
-0.087
-0.007
-0.007
0.059
0.038
PAC
0.193
0.167
-0.071
-0.049
0.034
-0.096
0.180
-0.140
-0.046
-0.053
0.187
-0.031
Q-Stat
55.000
102.34
143.83
181.07
214.79
243.93
268.97
289.63
306.64
320.67
332.67
343.29
Q-Stat
2.3369
4.8439
4.8443
4.8842
4.8863
5.5360
6.9793
7.7538
7.7819
8.6455
9.6603
9.7131
Prob
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Prob
0.126
0.089
0.184
0.299
0.430
0.477
0.431
0.458
0.556
0.566
0.561
0.641
2
Correlograma de IVF y su primera diferencia
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 61
Autocorrelation
. |*******|
. |*******|
. |*******|
. |****** |
. |****** |
. |****** |
. |****** |
. |***** |
. |***** |
. |**** |
. |**** |
. |**** |
Partial Correlation
. |*******|
.|. |
.|. |
.|. |
.|. |
.|. |
.|. |
.*| . |
.*| . |
.*| . |
.|. |
.|. |
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.955
0.908
0.865
0.823
0.785
0.751
0.716
0.674
0.627
0.575
0.522
0.472
PAC
0.955
-0.042
0.026
-0.020
0.016
0.035
-0.036
-0.090
-0.087
-0.078
-0.055
-0.011
Q-Stat
58.388
112.08
161.70
207.41
249.66
289.06
325.53
358.47
387.48
412.39
433.32
450.77
Prob
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 60
Autocorrelation
Partial Correlation
. |***
. |**
. |*.
**| .
.|.
.*| .
.|.
.|.
.*| .
.|.
**| .
.*| .
. |***
. |*.
.|.
**| .
. |**
.*| .
. |*.
.*| .
.|.
.*| .
.*| .
.|.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.368
0.221
0.067
-0.236
0.040
-0.078
0.054
0.033
-0.109
-0.038
-0.263
-0.151
PAC
0.368
0.099
-0.049
-0.311
0.270
-0.104
0.117
-0.156
-0.001
-0.079
-0.165
-0.016
Q-Stat
8.5370
11.664
11.959
15.645
15.755
16.170
16.374
16.452
17.319
17.428
22.684
24.450
Prob
0.003
0.003
0.008
0.004
0.008
0.013
0.022
0.036
0.044
0.065
0.020
0.018
Correlograma de NAFTA y su primera diferencia
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 61
Autocorrelation
. |*******|
. |*******|
. |*******|
. |****** |
. |****** |
. |****** |
. |***** |
. |***** |
. |**** |
. |**** |
. |**** |
. |*** |
Partial Correlation
. |*******|
.*| . |
.|. |
.|. |
.|. |
.|. |
.*| . |
.*| . |
.|. |
.|. |
.*| . |
. |*. |
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.964
0.919
0.875
0.832
0.785
0.740
0.690
0.635
0.583
0.537
0.487
0.443
PAC
0.964
-0.144
0.022
-0.044
-0.054
-0.001
-0.108
-0.073
0.017
0.027
-0.087
0.074
Q-Stat
59.488
114.45
165.23
211.86
254.18
292.46
326.33
355.58
380.73
402.44
420.65
436.03
Prob
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 60
Autocorrelation
Partial Correlation
. |**
.|.
. |**
.|.
.|.
. |***
. |*.
.*| .
. |*.
.*| .
.*| .
.|.
. |**
.|.
. |**
**| .
. |*.
. |**
.*| .
.*| .
. |*.
.*| .
.*| .
.*| .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.323
0.059
0.218
-0.019
-0.003
0.345
0.076
-0.147
0.093
-0.060
-0.173
-0.006
PAC
0.323
-0.051
0.240
-0.196
0.103
0.315
-0.160
-0.143
0.096
-0.086
-0.070
-0.131
Q-Stat
6.5773
6.7979
9.8942
9.9171
9.9179
18.123
18.526
20.068
20.695
20.962
23.237
23.241
Prob
0.010
0.033
0.019
0.042
0.078
0.006
0.010
0.010
0.014
0.021
0.016
0.026
3
En los tres casos el análisis de estacionariedad es similar; mientras los correlogramas de las series en
logaritmos no decrecen rápidamente, los de las series diferenciadas parecen mostrar que esta
transformación es apropiada para obtener estacionariedad.
4) Test Dickey-Fuller Aumentado
Se comienza en todos los casos testeando la existencia de una raíz unitaria en la primera diferencia de la
variable, y si se rechaza se pasa a realizar el test para la serie en niveles. Para la serie en diferencias se
parte de la especificación solo con constante, porque se presume que no tiene sentido que exista un
componente de tendencia determinística en la tasa de variación de las tres series. La cantidad máxima de
de lags que se permite son diez, y el criterio de selección que se utilizó el de Schwarz pues penaliza en
mayor medida la inclusión de coeficientes adicionales que los criterios de Akaike y de Hannan Quinn.
Null Hypothesis: D(PNAF) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-6.240792
-3.546099
-2.911730
-2.593551
0.0000
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(PNAF,2)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1986Q3 2001Q1
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(PNAF(-1))
C
-0.806534
-0.006014
0.129236
0.007261
-6.240792
-0.828264
0.0000
0.4110
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.405925
0.395503
0.055036
0.172654
88.38575
2.049899
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.001337
0.070787
-2.928331
-2.857906
38.94748
0.000000
Así, se rechaza la hipótesis de raíz unitaria en la primera diferencia de PNAF. Para la serie en logaritmos,
Null Hypothesis: PNAF has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-0.464397
-4.118444
-3.486509
-3.171541
0.9827
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(PNAF)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1
Included observations: 60 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
PNAF(-1)
C
@TREND(1986Q1)
-0.024287
-0.047432
0.000806
0.052298
0.017949
0.000741
-0.464397
-2.642635
1.087633
0.6441
0.0106
0.2813
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.122372
0.091578
0.052955
0.159840
92.70150
1.774488
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.008649
0.055560
-2.990050
-2.885333
3.973887
0.024230
4
No se rechaza la hipótesis de raíz unitaria para la serie en logaritmos, pero la tendencia no resulta
significativa (la tabla de Dickey – Fuller (1981) muestra un valor crítico de 3,18 para 50 datos –en este
caso son 61- al 0,975). Se pasa a especificar la regresión auxiliar sin tendencia determinística.
Null Hypothesis: PNAF has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-2.596836
-3.544063
-2.910860
-2.593090
0.0992
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(PNAF)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1
Included observations: 60 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
PNAF(-1)
C
-0.072432
-0.050974
0.027893
0.017679
-2.596836
-2.883361
0.0119
0.0055
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.104158
0.088712
0.053038
0.163157
92.08527
1.657392
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.008649
0.055560
-3.002842
-2.933031
6.743556
0.011903
Al 5% no se rechaza la hipótesis de raíz unitaria, y la constante sería no significativa dado que no se
rechazó la hipótesis de raíz unitaria al 5% con 50 datos, pero como se tienen 60 datos el valor del
estadístico debe estar muy próximo a ser significativo, si no lo es. Habría que contar con los valores
críticos simulados para esta cantidad de datos para tomar la decisión correcta acerca de especificar la
regresión con o sin constante. De todos modos, la salida para la regresión sin constante tampoco permite
rechazar la hipótesis de raíz unitaria. A continuación se presenta la misma:
Null Hypothesis: PNAF has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
0.149718
-2.604073
-1.946348
-1.613293
0.7259
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(PNAF)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1
Included observations: 60 after adjusting endpoints
Variable
PNAF(-1)
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.001715
0.011453
0.149718
0.8815
-0.024253
-0.024253
0.056230
0.186544
88.06663
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
-0.008649
0.055560
-2.902221
-2.867315
1.561219
Con las series NAFTA e IVF se sigue el mismo procedimiento. Aquí se presentan las últimas salidas, que
no permiten rechazar la hipótesis de raíz unitaria, por lo que se concluye que cada una de las series son
integradas de orden 1.
5
Null Hypothesis: IVF has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 5 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
1.287324
-2.607686
-1.946878
-1.612999
0.9482
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(IVF)
Method: Least Squares
Date: 07/17/04 Time: 14:28
Sample(adjusted): 1987Q3 2001Q1
Included observations: 55 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
IVF(-1)
D(IVF(-1))
D(IVF(-2))
D(IVF(-3))
D(IVF(-4))
D(IVF(-5))
0.007535
0.451134
0.118079
-0.057203
-0.375310
0.334626
0.005854
0.132229
0.134361
0.135116
0.126807
0.123820
1.287324
3.411766
0.878820
-0.423361
-2.959688
2.702515
0.2040
0.0013
0.3838
0.6739
0.0047
0.0094
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.275115
0.201147
0.010920
0.005843
173.5800
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.005638
0.012217
-6.093818
-5.874836
1.850990
Null Hypothesis: NAFTA has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
0.343370
-2.604746
-1.946447
-1.613238
0.7811
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(NAFTA)
Method: Least Squares
Sample(adjusted): 1986Q3 2001Q1
Included observations: 59 after adjusting endpoints
Variable
NAFTA(-1)
D(NAFTA(-1))
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.002603
0.384089
0.007580
0.124962
0.343370
3.073649
0.7326
0.0032
0.072511
0.056240
0.024397
0.033926
136.3852
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.007735
0.025113
-4.555432
-4.485007
1.899924
6
5) Como las tres series son integradas de orden 1, es factible la existencia de una relación de largo plazo
entre ellas. Para estudiarlo, se sigue el procedimiento de Engle-Granger.
Regresión por MCO de PNAF sobre IVF y NAFTA:
Dependent Variable: PNAF
Method: Least Squares
Sample: 1986Q1 2001Q1
Included observations: 61
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
NAFTA
IVF
-0.179601
-1.981093
1.258421
0.018811
0.190530
0.274828
-9.547914
-10.39780
4.578935
0.0000
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.923455
0.920816
0.069119
0.277092
77.97027
0.560147
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
-0.583278
0.245628
-2.458042
-2.354228
349.8627
0.000000
Test Dickey-Fuller Aumentado a los residuos de esta regresión:
Null Hypothesis: RESID01 has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=10)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-3.891942
-2.604073
-1.946348
-1.613293
0.0002
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID01)
Method: Least Squares
Date: 07/17/04 Time: 14:34
Sample(adjusted): 1986Q2 2001Q1
Included observations: 60 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
RESID01(-1)
-0.338277
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.201462
0.201462
0.045753
0.123505
100.4383
Std. Error
t-Statistic
0.086917
-3.891942
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
Prob.
0.0003
-0.003024
0.051200
-3.314611
-3.279705
1.764622
El procedimiento de Engle-Granger, no permite rechazar la hipótesis de que existe una relación de largo
plazo entre las series analizadas, dado que los residuos de la regresión por MCO resultan estacionarios.
Problemas de esta estimación:
1) Los estimadores de los coeficientes no son de mínima varianza porque si bien los residuos son
estacionarios, no resultan ruido blanco, es decir que hay autocorrelación. Sin embargo, son
consistentes.
2) Cuando se estudia la cointegración entre 3 series el procedimiento de Engle-Granger tiene la
desventaja de que podrían existir a lo sumo 2 relaciones de largo plazo, y con él sólo se puede
encontrar una de ellas.
7