Integral Calculus 201-NYB-05 Vincent Carrier

Integral Calculus 201-NYB-05
Vincent Carrier
Exercise Sheet 9
3.3 Trigonometric Integrals
Solve the following integrals.
Z
1.
Z
4
sin θ cos θ dθ
Z
4.
7.
Z
10.
5.
8.
Z
2
13.
Z
16.
Z
19.
Z
22.
1
dθ
1 − sin θ
sin2 θ
dθ
cos θ − 1
25.
3
3
28.
Z
31.
Z
1
dθ
sec θ tan θ
sin2 θ
dθ
cos4 θ
1
dθ
sec θ + 1
cos2 θ
dθ
sin2 θ
sin4 θ
dθ
cos2 θ
sin 2θ cos θ dθ
Z
20.
cos 2θ
dθ
cos θ − sin θ
5
sec θ tan θ dθ
Z
26.
4
sec θ dθ
Z
29.
4
tan θ dθ
Z
32.
Z
35.
4
sin θ dθ
23.
sec θ tan θ dθ
Z
14.
Z
2
2
Z √
3.
cos θ sin3 θ dθ
sec θ
dθ
sec θ − tan θ
sec3 θ
dθ
tan2 θ
Z
sin2 θ
dθ
cos θ
Z
sin3 θ
dθ
cos6 θ
6.
9.
Z
12.
Z
17.
tan θ dθ
Z
11.
Z
cos 2θ
dθ
sin θ
cos3 θ
√
dθ
3
sin θ
sin θ dθ
Z
1
dθ
cos2 θ
cos 3θ dθ
Z
2.
Z
5
cos θ dθ
Z
34.
3
sin2 θ cos2 θ dθ
Z
cos θ
dθ
1 + cos θ
Z
sin θ cos θ
dθ
cos2 θ − sin2 θ
15.
18.
Z
21.
sin 4θ cos θ dθ
Z √
3
tan θ sec4 θ dθ
24.
Z
27.
Z
sec θ
dθ
tan2 θ
Z
tan3 θ
dθ
sec θ
Z
1
dθ
sec θ tan2 θ
30.
33.
36.
tan3 θ dθ
Answers:
1. −
cos5 θ cos7 θ
+
+C
5
7
2.
3. −
2(cos θ)3/2
2(cos θ)7/2
+
+C
3
7
4. sin θ −
5.
θ sin 2θ
−
+C
2
4
7. tan θ + C
9.
1
1
−
+C
5 cos5 θ 3 cos3 θ
11. tan θ −
3θ sin 2θ
+
+C
2
4
3(sin θ)2/3
3(sin θ)8/3
−
+C
2
8
2 sin3 θ sin5 θ
+
+C
3
5
6. ln | sec θ + tan θ| − sin θ + C
8. − cot θ − θ + C
10.
θ sin 6θ
+
+C
2
12
12.
θ sin 4θ
−
+C
8
32
2 cos3 θ
+C
3
13. tan θ + sec θ + C
14. −
15. − csc θ + cot θ + θ + C
16. − ln | csc θ + cot θ| + 2 cos θ + C
17.
3θ sin 2θ sin 4θ
−
+
+C
8
4
32
19. − sin θ − θ + C
21. −
8 cos5 θ 4 cos3 θ
+
+C
5
3
18. −
ln | cos 2θ|
+C
4
20. sin θ − cos θ + C
22. tan θ − θ + C
23.
sec5 θ
+C
5
24.
25.
sec5 θ sec3 θ
−
+C
5
3
26. tan θ +
27.
tan2 θ
+ ln | cos θ| + C
2
28. − ln | csc θ + cot θ| + cos θ + C
29.
tan3 θ
− tan θ + θ + C
3
30. − csc θ + C
31.
tan3 θ
+C
3
32. tan θ + sec θ + C
3(tan θ)4/3
3(tan θ)10/3
+
+C
4
10
tan3 θ
+C
3
33. sec θ + cos θ + C
34. − csc θ + cot θ + θ + C
35. ln | sec θ + tan θ| − csc θ + C
36. − csc θ − sin θ + C